उच्च आयामी परवलयिक पीडीई (बहु-इलेक्ट्रॉन श्रोडिंगर समीकरण) को हल करने में कला की वर्तमान स्थिति क्या है

Question

सरल ध्रुवों के साथ जटिल डोमेन में उच्च आयामी (3-10) परवलयिक पीडीई को हल करने के लिए कला की वर्तमान स्थिति क्या है (प्रपत्र ) और सीमा की स्थिति को अवशोषित?$\frac{1}{|\vec{r}_1 - \vec{r}_2|}$

विशेष रूप से, मैं मल्टी-इलेक्ट्रॉन श्रोडिंगर समीकरण को हल करने में रुचि रखता हूं:

$\left( \sum_i \sum_{j\neq i}\left[ -\frac{\nabla_i^2}{2 m} - \frac{Z_i Z_j}{|\vec{r}_i - \vec{r}_j|} + V(\vec{r}_i, t) \right]\right)\psi = -i\partial_t \psi$

1 से अधिक इलेक्ट्रॉन के साथ एक डायटोमिक अणु के लिए।

Answer 1

समीकरण के लिए समाधान कर रहे हैं में यदि इलेक्ट्रॉनों की संख्याकाफी कम हैतो आप किसी भीपारंपरिकविधि काउपयोग कर सकते हैं। एक डोमेन विवेकाधिकार पद्धति (परिमित अंतर, परिमित तत्व, सीमा तत्व) या एक छद्म व्याख्यात्मक विधि की तरह। चूंकि इस समीकरण को हल करना बहुआयामी तरंग समीकरण को हल करने से ज्यादा कठिन नहीं है।

$$\psi \in \mathbb{C}^{3M}\times\mathbb{R}^+ \enspace .$$

बड़ी प्रणालियों के मामले में समाधान प्राप्त करने के लिए कुछ चाल आवश्यक है। हम इलेक्ट्रॉनों के एक बादल (उनमें से बाकी का एक मतलब क्षेत्र सन्निकटन) के साथ एक इलेक्ट्रॉन की बातचीत के लिए इलेक्ट्रॉन-इलेक्ट्रॉन इंटरैक्शन को प्रतिस्थापित करते हैं, और फिर एक आत्मनिर्भर फैशन में हल करते हैं (मतलब क्षेत्र से आने वाली अशुद्धता के कारण) अवधि)। यह हार्ट्री-फॉक और डेंसिटी फंक्शनल थ्योरी (डीएफटी) में किया जाता है। जहां मूल अंतर समीकरण एक परिवर्तनकारी सूत्रीकरण में बदल जाता है।

डीएफटी आजकल सबसे आम तरीका है, और फायदा यह है कि सभी समीकरण इलेक्ट्रॉन घनत्व के संदर्भ में तैयार किए जाते हैं न कि तरंग समीकरणों के संदर्भ में। तो, समीकरण 3 आयामी स्थान पर स्थित हैं। इन दोनों विधियों का वर्णन करने वाली एक पुस्तक है

• थाइजसेन, जोस। कम्प्यूटेशनल भौतिकी। कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस, 2007. अमेज़न लिंक ।

Answer 2

आप 3 से 10 कण प्रणालियों (3 डी प्रति कण) के लिए हल करना चाहते हैं? जहां तक ​​मुझे जानकारी है, मतलब फील्ड थ्योरीज इतने कम कणों के लिए विशेष रूप से अच्छी तरह से काम नहीं करते हैं, लेकिन ऐसा लगता है कि डायटोमिक अणुओं पर डीएफटी काम किया गया है।

क्या यह एक ऐसी प्रणाली है जहाँ बोर्न-ओपेनहाइमर वैध है? यदि हां, तो मुझे स्लेटर निर्धारक के रैखिक संयोजन का उपयोग करके इलेक्ट्रॉनिक तरंग का विस्तार करने की इच्छा हो सकती है, संभवतः विरल ग्रिड या वर्णक्रमीय विरल ग्रिड का उपयोग करना। यह पेपर शायद मदद कर सकता है ।

एक अन्य विकल्प एक तंग-बाध्यकारी दृष्टिकोण का उपयोग करने की कोशिश करना है, हालांकि आपने जिस सीमा सीमा को अवशोषित करने का उल्लेख किया है, वह बताता है कि आप आयनीकरण / पृथक्करण से जुड़ी समस्याओं के बारे में सोच रहे होंगे। टीबी ज्यादातर उपयोगी होगा यदि आप निम्न स्तर के राज्यों की अनुमानित कोशिश कर रहे थे।

संभवतः बहु- विन्यासीय समय-आश्रित हार्ट्री-फॉक पद्धति जैसी कोई चीज यहां MCTDHF काम कर सकती है ।

अंत में, आप क्वांटम मोंटे कार्लो के तरीकों को देख सकते हैं। ये ऐसे तरीके हैं जिनके द्वारा एकल परमाणुओं के लिए विनिमय और सहसंबंधी कार्यात्मक मॉडल डीएफटी गणना करने के लिए प्राप्त किए जाते हैं। ऐसा लगता है कि पाली-परमाणु विस्तार हैं। (मैं लिंक विशेषाधिकारों से बाहर हूं)।

Comments

3-10 आयाम, कण नहीं: विशेष रूप से 1 से 3 इलेक्ट्रॉनों, 2 नाभिक (नाभिक के लिए 1d, कणों के लिए 6d), एक बॉर्न-ओपेनहाइमर सन्निकटन के बिना। और मैं आयनीकरण प्रकार का सामान कर रहा हूं।

— एंड्रयू स्पोट

Answer 3

$M$$3M$$N$$N$$N^{3M}$$M$$N=10$$10^9$

इस विचार से इस प्रकार है कि एक ही समय में सभी इलेक्ट्रॉनों के साथ समस्या पर विचार करना संभव नहीं है - आपको एक समय में एक या दो इलेक्ट्रॉनों के लिए खुद को प्रतिबंधित करने की आवश्यकता है। यह स्वाभाविक रूप से आपको ऐसे तरीकों की ओर ले जाता है जैसे कि हार्ट्री फॉक विधि जो कि इलेक्ट्रान के ऊपर पुनरावृति करती है जबकि शेष प्रणाली को ठीक रखती है।

मैं इस क्षेत्र को अच्छी तरह से नहीं जानता लेकिन कल्पना करता हूं कि इस विषय पर बहुत सारे उद्धृत और अच्छी तरह से लिखित समीक्षा पत्र हैं।

Comments

$10^9$

खैर, फ़ेरोमेनिक सिस्टम में पाउली सिद्धांत के कारण काफी कम (विरोधी) समरूपताएं हैं जो आप स्वतंत्रता की संख्या की डिग्री को कम करने के लिए शोषण कर सकते हैं (3M-आयामी हाइपरक्यूब के बजाय, आपको केवल संबंधित सिम्पलेक्स पर विचार करने की आवश्यकता है, जिनमें से घन में (3M) (प्रतियां) शामिल हैं। तो आपको केवल बिनोम (एन, 3 एम) आधार कार्यों की आवश्यकता है - अभी भी घातीय है, लेकिन बहुत धीमी गति से बढ़ रहा है। यह एक मांसल कार्य केंद्र की पहुंच में सीमा के निचले छोर को डाल सकता है।

— क्रिश्चियन क्लैसन

3-इलेक्ट्रॉन प्रणाली के लिए, हो सकता है। लेकिन आप अभी भी इससे आगे कुछ नहीं कर पाएंगे। यह अणुओं की एक बड़ी संख्या को नहीं छोड़ता है :-)

— वोल्फगैंग बैंगर्थ

लेकिन सवाल केवल 3-10 चर के लिए पूछ रहा था :) (लेकिन आपकी बात वैध है: इलेक्ट्रॉनों की एक छोटी संख्या से अधिक के साथ कुछ के लिए, आपको डीएफटी जैसे अनुमानित क्षेत्र के मॉडल पर विचार करने की आवश्यकता है; मेरा मुद्दा यह था कि "के बीच" हो सकता है मानक दृष्टिकोण के साथ हल किया "और" केवल लगभग हल किया जा सकता है ", समस्याओं की एक गैर-तुच्छ सीमा है जो" (केवल) गैर-मानक दृष्टिकोण का उपयोग करके हल किया जा सकता है "।)

— ईसाई क्लैसन