एक रेखीय कार्यक्रम में

16

मान लीजिए

\begin{aligned} min A & v e c (U) \\ subject to U_{i, j} \leq max {U_{i, k}, U_{k, j}}, i, j, k = 1, \dots, n \end{aligned}

$\begin{align*} \min A &\mathrm{vec}(U) \\ &\text{subject to } U_{i,j} \leq \max\{U_{i,k}, U_{k,j}\}, \quad i,j,k = 1, \ldots, n \end{align*}$

जहां एक सममित है मैट्रिक्स, और को नया स्वरूप दे में एक आयामी सदिश के साथ प्रविष्टियों। $U$ $n\times n$ $\mathrm{vec}(U)$ $U$ $n^2$

उपरोक्त कार्यक्रम है कि मुझे समस्याओं देता है का हिस्सा है । (नॉन-सिगेटिव मैट्रिक के समाधानों को सीमित करना सरल प्रतीत होता है।) $\max\{⋅,⋅\}$

किसी भी मदद या संदर्भ के लिए अग्रिम धन्यवाद!

optimization linear-programming

— N21
स्रोत

किसी भी कारण से आप दोनों बाधाओं को नहीं जोड़ सकते हैं?

— एरन अहमदिया

1

@AronAhmadia: वह दोनों की कमी है क्योंकि कि के बराबर होगा नहीं जोड़ सकते

सभी के लिए

। मुझे नहीं लगता कि इस समस्या का कोई एलपी सुधार है, लेकिन एक MILP सुधार हो सकता है, भले ही यह संभव है कि इसे हल करना अधिक महंगा हो।

U_{i, j} \leq min {U_{i, k}, U_{k, j}}

$U_{i,j} \leq \min\{U_{i,k}, U_{k,j}\}$

i, j, k

$i, j, k$

— ज्योफ ऑक्सबेरी

@ N21: आप जिन समस्याओं को हल करना चाहते हैं, उनके लिए

कितना बड़ा होना चाहिए?

n

$n$

— ज्योफ ऑक्सबेरी

@Geoff: धन्यवाद! मैं अंत में बड़े की उम्मीद है

, लेकिन अभी मैं सबसे के साथ एक प्रारंभिक समाधान पाने के लिए चिंतित हूँ

से कम, 100, या यहाँ तक कि 10 का कहना है कि

n

$n$

n

$n$

— N21

@GeoffOxberry को स्पष्ट करने के लिए धन्यवाद, मैंने पोस्ट करने से पहले पूरी तरह से नहीं सोचा था।

— एरन अहमदिया

14

संपादित करें: आइए इस स्पष्टीकरण को फिर से आज़माएँ, इस बार जब मैं अधिक जाग रहा हूँ।

निर्माण के साथ तीन बड़े मुद्दे हैं (गंभीरता के क्रम में):

समस्या का कोई स्पष्ट सुधार नहीं है जो स्पष्ट रूप से चिकनी, उत्तल या रैखिक है।
यह बकवास है।
यह जरूरी नहीं कि उत्तल हो।

कोई स्पष्ट चिकनी / उत्तल / रैखिक सुधार नहीं

सबसे पहले, प्रत्येक बाधा का कोई मानक, स्पष्ट सुधार नहीं है । एरन के सुझाव और अधिक आम के लिए लागू होता बाधा है, जिसमें एक बाधा की तरह : निम्न दो बराबर असमानताओं की जगह $\max$ $\min$

U_{i j} \leq min_{k} {U_{i k}, U_{k j}}

$U_{ij} \leq \min_{k}\{U_{ik}, U_{kj}\}$

U_{i j} \leq U_{i k}, \forall k

$U_{ij} \leq U_{ik}, \quad \forall k$

सुधार आदर्श नहीं है, प्रत्येक

बाधा को

रैखिक बाधाओंद्वारा प्रतिस्थापित किया गया है, लेकिन यह एक निरर्थक nonlinear कार्यक्रम को एक रैखिक कार्यक्रम में परिवर्तित करता है, जिसे हल करने के लिए तीव्रता का क्रम है।

U_{i j} \leq U_{k j}, \forall k .

$U_{ij} \leq U_{kj}, \quad \forall k.$

min

$\min$

2 n

$2n$

$\max$ $\max$ $n^2$ $\max$ $2n$

$\max$

Nonsmoothness

$\max$

निरर्थकता एक बड़ी समस्या है क्योंकि:

यह तुरंत आपकी समस्या को गैर-प्रभावी बनाता है
सबसे nonlinear प्रोग्रामिंग सॉल्वर दो बार लगातार अलग-अलग कार्यों को मानते हैं

$\max$

संभव गैर-मान्यता

$\mathbf{g}(\mathbf{x}) \leq \mathbf{0}$

U_{i j} - max_{k} {U_{i k}, U_{k j}} \leq 0, \forall i, j, k .

$U_{ij} - \max_{k}\{U_{ik}, U_{kj}\} \leq 0, \quad \forall i,j,k.$

ये कार्य अवतल हैं।

$-U_{ij}$ $\max_{k}\{U_{ik}, U_{kj}\}$

$\mathbf{g}$

समस्या को हल करने के लिए विकल्प

$U_{i j} \leq max_{k} {U_{i k}, U_{k j}}, \forall i, j, k$ $U_{ij} \leq \max_{k}\{U_{ik}, U_{kj}\} , \quad \forall i,j,k$ $U_{i j} \leq min_{k} {U_{i k}, U_{k j}}, \forall i, j, k,$ $U_{ij} \leq \min_{k}\{U_{ik}, U_{kj}\} , \quad \forall i,j,k,$
निरर्थक कार्यक्रमों के लिए एक बंडल सॉल्वर के साथ अपने निर्माण पर अपनी किस्मत आज़माएं। मुझे इन प्रकार के सॉल्वरों के साथ बहुत अनुभव नहीं है। (मेरा एक सहयोगी अपने शोध में उनका उपयोग करता है।) वे शायद धीमी हैं, क्योंकि वे व्युत्पन्न जानकारी का उपयोग नहीं कर सकते हैं। (मुझे लगता है कि वे इसके बजाय सबग्रेडिएंट या क्लार्क की सामान्यीकृत ग्रेडिएंट जानकारी का उपयोग करते हैं।) यह भी संभावना नहीं है कि आप बंडल सॉल्वर के साथ बड़ी समस्या के उदाहरणों को हल करने में सक्षम होंगे।

— ज्योफ ऑक्सबेरी
स्रोत

1

ज्योफ, अच्छी चीजें; यह महत्वपूर्ण बिंदुओं को हिट करता है और रचनात्मक अंतर्दृष्टि और सुझावों के बहुत सारे प्रदान करता है। मैंने इसे वोट दिया। लेकिन आप इस तथ्य से अलग कुछ के रूप में गैर-असमानता का इलाज कर रहे हैं, जैसा कि आप इसे कहते हैं, "कम से कम समस्या में अधिकतम बाधाओं का कोई मानक सुधार नहीं है जो मुझे पता है"। लेकिन वास्तव में, पूर्व ठीक है कि बाद में क्यों संभव नहीं है। गैर-उत्तल बाधाओं को रैखिक प्रोग्रामिंग में व्यक्त नहीं किया जा सकता है --- पूर्ण विराम! यह एक गैर-उत्तल समस्या है, और इसे या तो मिश्रित-पूर्णांक समस्या के रूप में सुधारना होगा या कुछ अन्य हेमिस्ट्री लागू होगी।

— माइकल ग्रांट

g (x) \leq 0

$\mathbf{g}(x) \leq \mathbf{0}$

g

$\mathbf{g}$

g (x) \leq 0

$\mathbf{g}(\mathbf{x}) \leq \mathbf{0}$

g

$\mathbf{g}$

1

x \leq max {y, z}

$x \le \max\{y,z\}$

(x, y, z)

$(x,y,z)$

1

max {y, z}

$\max\{y,z\}$

3

$-\infty$

U = (\begin{matrix} 1 & \dots & 1 \\ ⋮ & ⋮ \\ 1 & \dots & 1 \end{matrix}) .

$U=\left(\begin{matrix} 1&\cdots &1\\ \vdots & & \vdots\\1&\cdots&1\end{matrix}\right).$

A \cdot vec (U)

$A\cdot\mbox{vec}(U)$

U

$U$

t

$t$

\pm U

$\pm U$

min_{V} (A \cdot vec (V)) \leq m i n_{t} (A \cdot vec (t U)) = - \infty

$\min_V(A\cdot\mbox{vec}(V)) \le min_{t}(A\cdot \mbox{vec}(tU))=-\infty$

— मरणासन्न
स्रोत

U

$U$

- \infty

$-\infty$

U

$U$

\leq 0

$\le 0$

2 tr ({\hat{A}}^{*} U) = ‖ \hat{A} - U ‖^{2} - ‖ \hat{A} ‖^{2} - ‖ U ‖^{2}

$2\mbox{tr}(\hat{A}^\ast U)=\|\hat{A}-U\|^2-\|\hat{A}\|^2-\|U\|^2$

2

$f \le \max \{ f_1, f_2,...,f_n \}$ $n$ $b_i \in \{0,1\}$ $1 \le i \le n$ $M$ $f$

$f \le f_i + (1-b_i) M, \forall i$

$\sum_i b_i = 1$

$M := max_i f_i - min_i f_i$ $f_i$

— केविन
स्रोत

1

x_{i} <= max (a_{i 1}, a_{i 2}, . . ., a_{i n})

$x_i <= \max(a_{i1}, a_{i2}, ..., a_{in})$

x_{i} <= s_{i}

$x_i <= s_i$

s_{i} >= a_{i 1}

$s_i >= a_{i1}$

s_{i} >= a_{i 2}

$s_i >= a_{i2}$

. . .

$...$

s_{i} >= a_{i n}

$s_i >= a_{in}$

c * max (s_{i} - max (a_{i}), 0)

$c*\max(s_i-\max(a_i), 0)$

s_{i} - max (a_{i})

$s_i-\max(a_i)$

c

$c$

$s_i>=\max(a_i)$ $x_i=s_i$ $s_i-\max(a_i)$ समस्याओं के लिए जो अनम्य क्षेत्र में जाते हैं।)

— वोल्फगैंग बंगर्थ
स्रोत

यह एक अच्छा विचार है। यह मानते हुए कि आपके प्रमाण के माध्यम से, समस्या तब बाधा बन जाती है और बाधाओं से अशुद्धता और निरर्थकता को उद्देश्य में ले जाती है, दोनों एक सूत्र में अभी भी अवांछनीय गुण हैं।

— ज्यॉफ ऑक्सबेरी

a_{i j}

$a_{ij}$

(x_{i}, a_{i 1}, a_{i 2}, . . ., a_{i n})

$(x_i,a_{i1},a_{i2},...,a_{in})$

(x_{i}, s_{i}, a_{i 1}, a_{i 2}, . . ., a_{i n})

$(x_i,s_i,a_{i1},a_{i2},...,a_{in})$

1

मुझे टिप्पणी बटन नहीं मिल रहा है ...

$log(x)<5$

यदि यह एक उत्तल सेट है, तो आप विवशता के स्थान पर वापस प्रोजेक्ट करने के लिए Dykstra__projection_algorithm जैसी किसी चीज़ का उपयोग करके, अपने उद्देश्य फ़ंक्शन पर क्रमिक वंश प्रदर्शन कर सकते हैं ।

— टिम
स्रोत

अवतल कार्यों के बारे में टिप्पणी के लिए तैयार; मुझे अपने स्पष्टीकरण के बारे में अधिक सोचना चाहिए। संभव सेट पर प्रोजेक्ट करना एक संभावना है, हालांकि मैं अपने सिर के ऊपर से निश्चित नहीं हूं अगर आप उन एल्गोरिदम को निरर्थक बाधाओं के साथ लागू कर सकते हैं।

— ज्योफ ऑक्सबेरी

x^{2} + y^{2} < 5

$x^2+y^2<5$

"गैर-संवेदी समस्याएं केवल एनपी-हार्ड हैं यदि उनके पास संभावित समाधानों की एक एनपी संख्या है।" NP "nondeterministic बहुपद" के लिए खड़ा है। मैं पूरी तरह से खो गया हूँ कि आप किस बारे में बात कर रहे हैं। दूसरे, मैंने सहमति का उल्लेख किया क्योंकि रैखिक कार्य अवतल और उत्तल होते हैं; समारोह उत्तल नहीं है। सिर्फ इसलिए कि फ़ंक्शन बकवास है और टुकड़ा-रेखीय रैखिक तुरंत संभावना को बाहर नहीं करता है कि एलपी सुधार मौजूद है।

— ज्योफ ऑक्सबेरी

U_{i j} \leq min_{k} {U_{i k}, U_{k j}}

$U_{ij} \leq \min_{k}\{U_{ik}, U_{kj}\}$

क्षमा करें, टिप्पणी को संक्षिप्त करना था, इसलिए मैंने गैर-बहुपद के लिए एनपी और बहुपद के लिए पी का उपयोग किया। मुद्दा यह था कि गैर-उत्तल अनुकूलन हमेशा एनपी-हार्ड नहीं होता है। यह केवल एनपी-हार्ड है यदि संभव समाधानों की संख्या बहुपद की तुलना में WORSE है। भ्रम के लिए क्षमा करें :) आप रैखिक के रूप में सुधार के बारे में सही हैं। आपको लगता है कि "इसके परिणामस्वरूप, आपके कार्यक्रम को एक रैखिक कार्यक्रम के रूप में सुधारने का कोई तरीका नहीं है," क्योंकि गैर-उत्तलता के कारण, मैं सिर्फ यह ध्यान दे रहा था कि इसका संबंध उत्तोलन से नहीं बल्कि रैखिकता से है।

— टिम

0

$-\infty$ $0$

$U \ge 0$ $A$ $n$ $-\infty$ $0$

$a \le b \le c$ $c \le \max(a,b)$ $b=c$ $i,j,k$

$U_{ij} < U_{jk} = U_{ik}$
$U_{ik} < U_{jk} = U_{ij}$
$U_{jk} < U_{ik} = U_{ij}$
$U_{ij} = U_{jk} = U_{ik}$

$t$ $G(t)$ $U_{ij}=t$ $U_{ij}=U_{j k}=t$ $\ell$ $U_{j \ell}=t$ $U_{i\ell}=U_{k\ell}=t$ $G(t)$

— ps
स्रोत