गैलीर्किन पद्धति के साथ सीमा की स्थितियों को कैसे शामिल किया जाए?

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मैं पीडीई को हल करने के लिए गैलेरिन विधियों के बारे में वेब पर कुछ संसाधन पढ़ रहा हूं, लेकिन मैं कुछ के बारे में स्पष्ट नहीं हूं। निम्नलिखित मेरा अपना खाता है जो मैंने समझा है।

निम्नलिखित सीमा मूल्य समस्या (बीवीपी) पर विचार करें:

L [u (x, y)] = 0 on (x, y) \in Ω, S [u] = 0 on (x, y) \in \partial Ω

$L[u(x,y)]=0 \quad \text{on}\quad (x,y)\in\Omega, \qquad S[u]=0 \quad \text{on} \quad (x,y)\in\partial\Omega$

जहां भेदभाव ऑपरेटर रैखिक एक 2nd आदेश है, BVP के डोमेन, है डोमेन की सीमा है, और अंतर ऑपरेटर रैखिक एक 1st आदेश है। फॉर्म के एक अंश के रूप में व्यय करें : $L$ $\Omega\subset\mathbb{R}^2$ $\partial\Omega$ $S$ $u(x,y)$

u (x, y) \approx \sum_{i = 1}^{N} a_{i} g_{i} (x, y)

$u(x,y)\approx \sum_{i=1}^N a_i g_i(x,y)$

जहां कार्यों का एक सेट है जो हम लगभग उपयोग करेंगे । BVP में प्रतिस्थापित: $g_i$ $u$

\sum_{i} a_{i} L [g_{i} (x, y)] = R (a_{1}, . . ., a_{N}, x, y)

$\sum_i a_i L[g_i(x,y)]=R(a_1,...,a_N,x,y)$

चूंकि हमारा अनुमान सही नहीं है, इसलिए अवशिष्ट बिल्कुल शून्य नहीं है। Galerkin-रिट्ज-रैले विधि में हम कम से कम की आवश्यकता द्वारा कार्यों का अनुमान करने के सेट के संबंध में । इसलिये $R$ $R$ $\langle R,g_i \rangle = 0$

⟨ R, g_{i} ⟩ = \sum_{j = 1}^{N} a_{j} ⟨ L [g_{j}], g_{i} ⟩ = 0

$\langle R,g_i \rangle = \sum_{j=1}^N a_j \langle L[g_j],g_i \rangle = 0$

इसलिए, गुणांक खोजने के लिए , हम मैट्रिक्स समीकरण को हल करना होगा: $a_i$

(\begin{array}{ccc} ⟨ L [g_{1}], g_{1} ⟩ & \dots & ⟨ L [g_{N}], g_{1} ⟩ \\ \dots & \dots & \dots \\ ⟨ L [g_{1}], g_{N} ⟩ & \dots & ⟨ L [g_{N}], g_{N} ⟩ \end{array}) (\begin{matrix} a_{1} \\ \dots \\ a_{N} \end{matrix}) = 0

$\left( \begin{array}{ccc} \left\langle L\left[g_1\right],g_1\right\rangle & \ldots & \left\langle L\left[g_N\right],g_1\right\rangle \\ \ldots & \ldots & \ldots \\ \left\langle L\left[g_1\right],g_N\right\rangle & \ldots & \left\langle L\left[g_N\right],g_N\right\rangle \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} a_1 \\ \ldots \\ a_N \end{array} \right)=0$

मेरा प्रश्न है: मैं इसमें सीमा की स्थितियों को कैसे शामिल करूं?

संपादित करें: मूल रूप से सवाल ने कहा कि एक दूसरा क्रम रैखिक अंतर ऑपरेटर था। मैंने इसे 1 ऑर्डर रैखिक अंतर ऑपरेटर में बदल दिया। $S[u]$

pde finite-element boundary-conditions

— becko
स्रोत

1

becko, में आपका स्वागत है scicomp! क्रॉस-पोस्टिंग पर हमारी नीति अन्य स्टैक एक्सचेंज साइटों का अनुसरण करती है । यदि आप अलग-अलग दर्शकों के लिए एक ही प्रश्न (अधिक या कम) दर्जी करते हैं तो यह क्रॉस-पोस्ट करने की अनुमति है। आपके प्रश्न को कुछ समय बाद किसी अन्य साइट पर माइग्रेट करने की अनुमति देना संभव है, यदि आपको लगता है कि आपके प्रश्न का उत्तर उस साइट पर संतोषजनक ढंग से (या बिल्कुल भी) नहीं मिल रहा है, जहां यह शुरू में पोस्ट किया गया है।

— ज्योफ ऑक्सी

हालांकि, आमतौर पर इसे क्रॉस पोस्ट के लिए अपमानजनक व्यवहार माना जाता है। यदि आप एरिया 51 पर बीटा साइटों की सूची देखते हैं, तो उनमें से कई अभी भी एक साल के बाद सार्वजनिक बीटा में हैं। हम अभी भी थोड़ी देर के लिए रहने वाले हैं (कम से कम एक लंबे समय के पैमाने पर जब तक इस साइट पर अधिकांश प्रश्नों का उत्तर दिया जाना चाहिए)। इसके अलावा, जब तक mathकि आपके प्रश्न का उत्तर देने वाले scicompउपयोगकर्ता भी उपयोगकर्ता हैं , तब तक उन्हें अपने उत्तर के लिए उचित क्रेडिट या एट्रिब्यूशन नहीं मिलेगा scicompयदि आप इसे कॉपी-पेस्ट करते हैं math, और इसके विपरीत।

— ज्योफ ऑक्सीबेरी

1

क्या आप सुनिश्चित हैं कि

एक दूसरा ऑर्डर ऑपरेटर भी है? सामान्य तौर पर, यह एक अच्छी तरह से उत्पन्न समस्या नहीं है। उदाहरण के लिए, अगर

, तो आप के लिए पूछ रहे हैं

में

जो बुरी तरह गैर-अद्वितीय समाधान (एक समाधान जैसे किसी भी सीमा की स्थिति के साथ किसी भी बड़े डोमेन पर PDE का समाधान भी है) है। आमतौर पर हम

लिए एक (संभवतः nonlinear) पहले ऑर्डर ऑपरेटर बनने के लिए कहते हैं ।

S

$S$

S = L

$S = L$

L u = 0

$L u = 0$

\bar{Ω}

$\bar\Omega$

S

$S$

— जेड ब्राउन

2

यहां तक कि अगर

, आप अभी भी गैर-अद्वितीय समाधान पर देख रहे हैं। विचार करें कि क्या

लैप्लस ऑपरेटर है और

कोई अन्य दूसरा ऑर्डर रैखिक ऑपरेटर है। तो फिर किसी भी

ऐसी है कि

कुछ निरंतर वेक्टर के लिए

एक और समाधान बनाने के लिए एक समाधान करने के लिए जोड़ा जा सकता है।

S \neq L

$S \ne L$

L

$L$

S

$S$

u

$u$

\nabla u = k

$\nabla u=\mathbf{k}$

k

$\mathbf{k}$

— दान

1

@GeoffOxberry आपके मन की शांति के लिए, पर डुप्लिकेट प्रश्न mathहटा दिया गया है। जाहिर है कि आप यहां सवाल रखने के बारे में सही थे। मुझे बहुत उपयोगी प्रतिक्रियाएं मिली हैं।

— बेको

15

गणितीय सार के बिना एक त्वरित और सामान्य उत्तर। सीमा की स्थिति लागू करने के लिए कई विकल्प हैं, उदाहरण के लिए

सख्ती से गैलेर्किन विधि बोलने के लिए आवश्यक है कि आप ऐसे आधार कार्यों का एक सेट चुनें, जो समस्या की ईसा पूर्व (जैसे कि आधार पुनर्संयोजन और / या सन्निकटन के विभाजन के जरिए संतुष्ट हो) wit inhomogenous solution और लिए जिम्मेदार एक आंशिक योग जो आधार कार्यों पर निर्भर करता है जो समरूप स्थितियों को संतुष्ट करता है) $u_h=u_0+u_N$ $u_0$ $u_N$

जुर्माना तरीकों / Lagrange पलता जहां एक अनिवार्य रूप से एक दंड शब्द है जो सीमा शर्त, निगमित जोड़ने जैसे ए + जहां एक मैट्रिक्स असतत सीमा शर्त और के लिए जिम्मेदार है inhomogenous शब्दों के लिए जिम्मेदार है। सीमा में स्थिति दृढ़ता से लगाया गया है और अन्यथा यह दुर्बलता से लगाया गया है। के विकल्प प्रणाली की कंडीशनिंग प्रभावित करता है। $\tau*B = b + \tau*b_p$ $B$ $b_p$ $\tau\to\infty$ $\tau$
ताऊ विधि जहां कई समीकरणों का आदान-प्रदान किया जाता है (गैलेर्किन प्रणाली में पंक्तियों का संशोधन) सीमा स्थितियों के असतत संस्करणों के साथ जो तब स्पष्ट रूप से लागू होते हैं। नोट: एक विकल्प यह भी है कि अतिरिक्त सीमा स्थितियों के साथ सिस्टम को ओवरडाइट कर दिया जाए।
विवेकाधिकार (रिट्ज विधि) से पहले गॉर्ज़ डाइवर्जेनेशन प्रमेय के माध्यम से गैलेरकिन फॉर्मूलेशन को फिर से लिखना और वॉल्यूम इंटीग्रेशन को सीमा इंटीग्रल्स में बदलना और फिर डिस्क्रिमिनेशन से पहले फॉर्मूलेशन में सीधे (सटीक या लगभग) सीमा शर्तों को शामिल करना।
अंत में, नोडल / मोडल विस्तार के बीच संबंध का शोषण करके, नोडल गैलेर्किन पद्धति को प्राप्त करना भी संभव है जहां सिस्टम का समाधान एक मोडल आधार के बजाय लैगरेंज आधार के गुणांक है।

— एलन पी। इंग्सिग-करुप
स्रोत

1

मुझे लगता है कि

है

यह, है ना?

τ

$\tau$

λ

$\lambda$

— शुहेलो

हां। ठीक कर दिया।

— एलन पी। एंगिग-करुप

1

क्या इसे पढ़ना चाहिए "गैलेरकिन विधि के लिए आवश्यक है कि आप आधार कार्यों का एक सेट चुनें जो समस्या की ईसा पूर्व को संतुष्ट करता है"?

— knl

@knl: मुझे भी यही लगता है, जबकि दूसरे वाक्य का कोई मतलब नहीं है। मैं एक संपादन करूंगा।

— दाविदघ

7

एक संभावना यह है कि सिस्टम मैट्रिक्स और राइट-हैंड साइड वेक्टर को किसी भी अन्य स्वतंत्रता की तरह अज्ञात के रूप में स्वतंत्रता की निर्धारित डिग्री के साथ इकट्ठा किया जाए । फिर, और को निर्धारित डॉफ से जुड़ी पंक्तियों और स्तंभों को शून्य करके, और एक को एक समान विकर्ण प्रविष्टि में डालकर संशोधित किया जाता है, और उचित रूप से आरएच वेक्टर को संशोधित किया जाता है । $A$ $b$ $A$ $b$ $b$

जब आप शून्य पंक्तियों, एक को विकर्ण में डालते हैं और आरएच बदलते हैं ताकि आप निर्धारित मूल्य को लागू करें, सिस्टम अब सममित नहीं है। यही कारण है कि आप कॉलम को शून्य करते हैं और निर्धारित मूल्य के हिसाब से rs वेक्टर को संशोधित करते हैं । $b$

एक अन्य संभावना यह है कि निर्धारित डॉफ के विकर्ण में एक बहुत बड़ी संख्या (आमतौर पर 1e10) को जोड़ा जाए और फिर को प्रविष्टि p * , सेट किया , जहां उस dof का निर्धारित मान है। $p$ $\bar{u}$ $\bar{u}$

— बर्नार्डो एमआर
स्रोत

6

परिमित तत्व विधि के साथ सीमा की स्थिति से निपटने की सामान्य समस्या बहुत जटिल हो सकती है। लेकिन अगर:

इस तरह के केवल अधिरोपण वह यह है कि फार्म पर बनाता है की कि यह कुछ के बराबर है पर । $S(u)$ $S(u)=0$ $u$ $f(x,y)$ $\delta \Omega$
आप अपने तत्वों finagle कर सकते हैं ताकि विभिन्न तत्वों की सीमाओं पर पूरी तरह से है $\delta \Omega$

यह वास्तव में बहुत सरल है। आपका समीकरण:

को साथ बदलने की आवश्यकता है

(\begin{array}{ccc} ⟨ L [g_{1}], g_{1} ⟩ & \dots & ⟨ L [g_{N}], g_{1} ⟩ \\ \dots & \dots & \dots \\ ⟨ L [g_{1}], g_{N} ⟩ & \dots & ⟨ L [g_{N}], g_{N} ⟩ \end{array}) (\begin{matrix} a_{1} \\ \dots \\ a_{N} \end{matrix}) = 0

$\left( \begin{array}{ccc} \left\langle L\left[g_1\right],g_1\right\rangle & \ldots & \left\langle L\left[g_N\right],g_1\right\rangle \\ \ldots & \ldots & \ldots \\ \left\langle L\left[g_1\right],g_N\right\rangle & \ldots & \left\langle L\left[g_N\right],g_N\right\rangle \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} a_1 \\ \ldots \\ a_N \end{array} \right)=0$

(\begin{array}{ccc} ⟨ L [g_{1}], g_{1} ⟩ & \dots & ⟨ L [g_{N}], g_{1} ⟩ \\ \dots & \dots & \dots \\ ⟨ L [g_{1}], g_{N} ⟩ & \dots & ⟨ L [g_{N}], g_{N} ⟩ \end{array}) (\begin{matrix} a_{1} \\ \dots \\ a_{N} \end{matrix}) = b

$\left( \begin{array}{ccc} \left\langle L\left[g_1\right],g_1\right\rangle & \ldots & \left\langle L\left[g_N\right],g_1\right\rangle \\ \ldots & \ldots & \ldots \\ \left\langle L\left[g_1\right],g_N\right\rangle & \ldots & \left\langle L\left[g_N\right],g_N\right\rangle \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} a_1 \\ \ldots \\ a_N \end{array} \right)=\mathbf{b}$

जहाँ दायाँ हाथ सदिश , सीमा स्थितियों का प्रतिनिधित्व करता है। $\mathbf{b}$

निर्धारित करने के लिए , कि का मूल्य निर्धारित अपने आधार के तत्वों सेट पर जो कुछ भी करने के लिए महत्व देता है कि वे सीमा की स्थिति को पूरा करने के की जरूरत है। में , आप उन लोगों से बाहर रखना चाहिए लेकिन नहीं (के तत्वों इन कार्यों के लिए है कि अनुरूप पहले से ही निर्धारित किया गया है ताकि वे मैट्रिक्स में शामिल नहीं किया जाना चाहिए समीकरण)। फिर, की स्थापना की $\mathbf{b}$ $u$ $\delta \Omega$ $\langle L[g_j],g_i \rangle$ $g_j$ $g_i$ $\mathbf{a}$ एक मैट्रिक्स समीकरण के रूप में, और के तत्वों के मूल्योंके भीतर उत्पादों के रूप में सही बाहर पॉप चाहिएके तत्वों के साथ अपने अपने आंतरिक आधार पर ऑपरेटिंग अपने सीमा आधार।

⟨ R, g_{i} ⟩ = \sum_{j = 1}^{N} a_{j} ⟨ L [g_{j}], g_{i} ⟩ = 0

$\langle R,g_i \rangle = \sum_{j=1}^N a_j \langle L[g_j],g_i \rangle = 0$

b

$\mathbf{b}$

L

$L$

— सज्जन
स्रोत

उत्तर के लिए धन्यवाद Dan। मुझे लगता है कि "

निर्धारित करने के लिए ..." (जो आवश्यक हिस्सा है, मुझे लगता है) के पैराग्राफ को समझ में नहीं आता है । क्या आप इसे थोड़ा और स्पष्ट कर सकते हैं?

b

$\mathbf{b}$

— बेको

दूसरी ओर, मैं जिस समस्या को हल करने की कोशिश कर रहा हूं, वह आपके द्वारा निर्धारित दूसरी स्थिति को संतुष्ट करती है: सीमा एक आयत है। पहली शर्त के रूप में, सीमा की स्थिति सीमा पर फ़ंक्शन के मूल्यों को निर्दिष्ट नहीं करती है। सीमा की स्थिति (जैसे कुछ समारोह के दूसरे क्रम डेरिवेटिव के रैखिक संयोजन का मान निर्दिष्ट

, जहां

स्थिरांक हैं। साथ ही सीमा की स्थिति सजातीय है।

a \partial^{2} u / \partial x \partial y + b \partial^{2} u / \partial x^{2} = 0)

$a\partial^2 u/\partial x\partial y +b\partial^2 u/\partial x ^2 = 0)$

a, b

$a,b$

— बेको

@becko: आप अपने प्रश्न में

और

बारे में अधिक स्पष्ट होना चाह सकते हैं । विभिन्न प्रकार की सीमा स्थितियों को विभिन्न तरीकों से नियंत्रित किया जा सकता है।

L

$L$

S

$S$

— दान

1

मुझे लगता है कि यह स्पष्ट करने के लिए मैंने प्रश्न को थोड़ा संपादित किया, मुझे लगता है। मैं उस सटीक समस्या को पोस्ट नहीं करना चाहता जिसे मैं हल करने का प्रयास कर रहा हूं क्योंकि मैं प्रश्न को सामान्य रूप में रखना चाहता हूं। मुझे लगता है कि मैं उस तरीके को बेहतर तरीके से समझ सकता हूं।

— बेको

@becko: हम इसे चैट में स्थानांतरित करना चाहते हैं , क्योंकि यह लंबे समय से चल रहा है।

— दान

2

यहाँ एक विधि को आधार पुनर्संयोजन कहा जाता है , जिसका उल्लेख वर्तमान सूत्र में नहीं किया गया है। मैं JP Boyd, "Chebyshev and Fourier Spectral Methods", 2nd Ed।, Chapter 6.5 .: की पुस्तक का हवाला दे रहा हूँ।

यदि समस्या में अस्वाभाविक सीमा की स्थिति है, तो इसे हमेशा समरूप सीमा स्थितियों के साथ समतुल्य समस्या द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है, इसलिए जब तक कि सीमाएँ रैखिक न हों। पहला चरण एक साधारण फ़ंक्शन चुनना है जो अमानवीय सीमा स्थितियों को संतुष्ट करता है। एक तो एक नया वैरिएबल निर्धारित कर सकते हैं और नए के लिए मजबूर कर समारोह के माध्यम से
$एल यू = च$ $L u = f$ $B(x)$ $v(x)$ $g(x)$ तो संशोधित समस्या यह है कि जहां को संतुष्ट करता है सजातीय सीमा की स्थिति। ... $u (x) \equiv v (x) + B (x) g (x) \equiv च (एक्स) - एल बी (एक्स)$ $u(x) ≡ v(x) + B(x)\\ g(x) ≡ f(x) − L B(x)$ $एल v = जी$ $L v = g$ $v(x)$
शिफ्ट फ़ंक्शन बाधा के अलावा मनमाना है कि इसे सभी अमानवीय सीमाओं की शर्तों को पूरा करना होगा। हालांकि, सबसे सरल विकल्प सबसे अच्छा है: सबसे कम क्रम का बहुपद प्रक्षेप जो काम करता है। $B(x)$

इसके बाद मेरा अपना स्पष्टीकरण आता है:

$\partial_{एक्स} यू (एक्स, y) |_{एक्स = {एक्स}_{0}} = 1।$ $\partial_x u(x,y) |_{x=x_0} = 1.$
$B(x)$
$\partial_{एक्स} यू (एक्स, y) |_{एक्स = {एक्स}_{0}} = 0।$ $\partial_x u(x,y) |_{x=x_0} = 0.$
$यू (एक्स, y) = \underset{मैं जे}{Σ} ए_{मैं जे} φ_{मैं} (एक्स) φ_{जे} (y)$ $u(x,y) \ =\ \sum_{ij} a_{ij} \, \phi_{i}(x) \, \varphi_{j}(y)$ $\partial_{एक्स} यू (एक्स, y) = \underset{मैं जे}{Σ} ए_{मैं जे} φ_{मैं}^{'} (एक्स) φ_{जे} (y)$ $\partial_x u(x,y) \ =\ \sum_{ij} a_{ij} \, \phi^\prime_{i}(x) \, \varphi_{j}(y)$ $x=x_0$
$\phi_i(x)$ $\phi^\prime_i(x)|_{x=x_0} = 0$ $i$
$=1$ $\phi^\prime_i(x)|_{x=x_0} = 1$
$\partial_{x} u (x, y) |_{x = x_{0}} = \sum_{i j} a_{i j} φ_{j} (y)$ $\partial_x u(x,y)|_{x=x_0} \ =\ \sum_{ij} a_{ij} \, \varphi_{j}(y)\,$ $1$ $y$ $a_{ij}$

इस पूरे दृष्टिकोण के बारे में अच्छी बात यह है कि यह अपेक्षाकृत सार स्तर पर काम कर रहा है। आवश्यक सामग्री केवल बीसी ऑपरेटर की रैखिकता और उत्पाद आधार कार्यों के संदर्भ में एक ansatz है। जैसे, यह अनुमानित तरीकों पर भी लागू होता है।

— davidhigh
स्रोत