एडम्स-बैशफोर्थ एल्गोरिदम पर एडम्स-मौलटन का उपयोग करने के सापेक्ष लाभ क्या हैं?

Question

मैं दो युग्मित आयामों में और समय के साथ कम्प्यूटेशनल रूप से दो युग्मित पीडीई की एक प्रणाली को हल कर रहा हूं। चूंकि फ़ंक्शन मूल्यांकन महंगे हैं, इसलिए मैं एक मल्टीस्टेप विधि (रनगे-कुटा 4-5 का उपयोग करके आरंभिक) का उपयोग करना चाहूंगा।

पांच पिछले फ़ंक्शन मूल्यांकन का उपयोग करने वाले एडम्स-बैशफोर्थ पद्धति में की वैश्विक त्रुटि है (यह मामला है जहां नीचे दिए गए विकिपीडिया लेख में s = 5 है), और प्रति चरण एक फ़ंक्शन मूल्यांकन (प्रति पीडीई) की आवश्यकता है।$O(h^5)$$s=5$

दूसरी ओर एडम्स-मौलटन विधि को प्रति चरण दो फ़ंक्शन मूल्यांकन की आवश्यकता होती है: एक भविष्यवाणी कदम के लिए, और दूसरा सुधारक कदम के लिए। एक बार फिर, यदि पांच फ़ंक्शन मूल्यांकन का उपयोग किया जाता है, तो वैश्विक त्रुटि । ( विकिपीडिया लेख में s = ४ )$O(h^5)$$s=4$

तो एडम्स-बैशफोर्थ के ऊपर एडम्स-मौलटन का उपयोग करने के पीछे क्या कारण है? फ़ंक्शन मूल्यांकन के दो बार के लिए इसमें एक ही क्रम की त्रुटि है। सहज रूप से यह समझ में आता है कि एक भविष्यवक्ता-सुधारक विधि अनुकूल होनी चाहिए, लेकिन क्या कोई इसे मात्रात्मक रूप से समझा सकता है?

संदर्भ: http://en.wikipedia.org/wiki/Linear_multistep_method#Adams.E2.80.93Bashforth_methods

Comments

यह प्रश्न गलत है । आप एडम्स-मौलटन का उल्लेख करते हैं, जो पूरी तरह से निहित पद्धति है, लेकिन फिर आप वास्तव में एक भविष्यवक्ता-सुधारक विधि का उपयोग करते हुए चर्चा करते हैं। वे एक ही बात नहीं कर रहे हैं सब पर ।

— डेविड केचेसन

@ डेविड एडम्स-मौलटन पद्धति जिसे मैं संदर्भित करता हूं (जिसे कभी-कभी एडम्स-बैशफोर्थ-मौलटन भी कहा जाता है) एक भविष्यवक्ता-सुधारक विधि है। भविष्यवक्ता कदम एडम्स-बैशफोर्थ का उपयोग करके किया जाता है। भविष्यवाणी का परिणाम तब एडम्स-मौलटन चरण में उपयोग किया जाता है, जैसे कि इसे स्पष्ट करने के लिए। मैं आपको और अधिक विवरण दे सकता हूं यदि यह अस्पष्ट है।

— साइमनसाइकॉम

यह स्पष्ट है। लेकिन एडम्स-मौलटन द्वारा इसका मतलब नहीं है। आपको सही नामों का उपयोग करने की आवश्यकता है।

— डेविड केचेसन

Answer 1

एडम्स-मौलटन विधि काफी अधिक स्थिर है। जब मुझे अंतर सिखाया जाता था, तब जो उपमा दी जाती थी, वह एक्सट्रपलेशन और इंटरपोल के समान होती है। सांख्यिक रूप से संख्यात्मक रूप से सुरक्षित है। यदि आप एक asymptote या कुछ अन्य अजीब सुविधा के लिए होते हैं तो एक्सट्रैपलेशन उड़ सकता है।

उदाहरण के लिए, ode को हल करना

$y'(t) = -y(t)$$y(0) = 1$

तृतीय क्रम एडम्स-बैशफोर्थ पद्धति का उपयोग वास्तव में अधिक अस्थिर हो जाता है क्योंकि टाइमस्टेप कम हो जाता है। सुधारक कदम जोड़कर, आप इस अस्थिरता से बहुत बचते हैं। दो तरीकों के लिए स्थिरता क्षेत्रों का एक प्लॉट यहां दिखाया गया है:

$\lambda$$h$$\lambda$$\lambda h$

Comments

$\lambda$$h$

@SimonSciComp मैंने प्लॉट के नीचे कुछ और स्पष्टीकरण जोड़ा। अगर कुछ और अस्पष्ट है तो मुझे बताएं।

— गोड्रिक सेर

$\lambda h$$\Re(\lambda h)<0$

$\lambda$