थॉमस एल्गोरिथ्म एक सममित तिरछे प्रमुख विरल विरल त्रिभुज रैखिक प्रणाली को हल करने का सबसे तेज़ तरीका है


13

मुझे आश्चर्य है कि अगर थॉमस एल्गोरिथ्म सबसे तेज़ तरीका है (निश्चित रूप से?) एक सममित तिरछे वर्चस्व को हल करने के लिए एल्गोरिदमिक जटिलता (LAPACK आदि जैसे कार्यान्वयन पैकेज की तलाश में नहीं) के संदर्भ में। मुझे पता है कि थॉमस एल्गोरिथ्म और मल्टीग्रिड दोनों जटिलता हैं, लेकिन शायद मल्टीग्रिड के लिए निरंतर कारक कम है? यह मुझे ऐसा नहीं लगता है जैसे मल्टीग्रिड तेज हो सकता है लेकिन मैं सकारात्मक नहीं हूं।O(n)

नोट: मैं उस मामले पर विचार कर रहा हूं जहां मैट्रिसेस बहुत बड़े हैं। या तो प्रत्यक्ष या पुनरावृत्त तरीके स्वीकार्य हैं।

जवाबों:


12

मेरा मानना ​​है कि सटीक ऑपरेशन गिनती के संदर्भ में एक प्रत्यक्ष / सटीक विधि (थॉमस) के लिए एक पुनरावृत्ति विधि (मल्टीग्रिड) की तुलना करना वास्तव में उपयोगी नहीं है। IIRC, थॉमस ऑपरेशन काउंट किसी भी त्रिदलीय प्रणाली के लिए है। केवल एक बार मैं कल्पना कर सकता हूं कि मल्टीग्रेड कंसेप्टिव रूप से धड़क रहा है जो एक रैखिक समाधान के एक तुच्छ मामले के लिए है, और फिर भी प्रत्येक स्तर पर अवशिष्ट का मूल्यांकन करने की लागत थॉमस की लागत के बराबर होगी।8N

मल्टीग्रिड की उपयोगिता इस तथ्य में निहित है कि यह विरल मैट्रिस के लिए सामान्य है, और ट्रिडिओगनल सिस्टम तक सीमित नहीं है।O(N)


धन्यवाद। मुझे एहसास है कि पुनरावृत्त तरीके सटीक नहीं हैं। मुझे एक बहुत छोटी सहिष्णुता (10 ^ -15 कहना) निर्दिष्ट करना चाहिए और तुलनात्मक प्रयोजनों के लिए "सटीक" होने के रूप में व्यवहार किया जाता है।
जेम्स

@ user2697246 ठीक है, आपने "सबसे तेज़" के बारे में पूछा। मल्टीग्रिड (या कोई पुनरावृत्ति योजना) के लिए सटीक अभिसरण दर हमेशा समाधान पर ही निर्भर करने वाली है और शुरुआती अनुमान - एक रैखिक समाधान को प्रभावी ढंग से एक चरण में ठीक से हल किया जाएगा, जबकि कुछ और अधिक थरथरानवाला अधिक संचालन करेगा। थॉमस के पास सभी मामलों के लिए एक सटीक, निश्चित ऑपरेशन गिनती है। व्यावहारिक रूप से, आप कभी भी गैर-तुच्छ मामले के लिए थॉमस (सीरियसली) के लिए त्रिदोषजन्य प्रणाली को हल करने के लिए नहीं जा रहे हैं।
औरेलियस

@ ऑरेलियस क्या थॉमस एल्गोरिदम को समानांतर किया जा सकता है? यदि नहीं, तो यह मल्टीग्रिड का एक प्रमुख लाभ है!
निक अल्जीरिया

3
O(NlogN)N

एक सुधार, थॉमस एल्गोरिथ्म को 8N संचालन की आवश्यकता है, 9N ​​की नहीं। इसके अलावा, "मल्टीग्रिड ... लीनियर सॉल्यूशन" होने से आपका क्या मतलब है? यहां विचाराधीन सभी प्रणालियां रैखिक हैं।
डग लिपिंस्की

11

संक्षिप्त उत्तर यह है कि थॉमस एल्गोरिदम लगभग सभी मामलों के लिए किसी भी पुनरावृत्ति योजना से अधिक तेज़ होगा। अपवाद शायद एक बहुत ही सरल पुनरावृत्ति योजना का एक एकल पुनरावृत्ति लागू करेगा जैसे कि गॉस-सीडेल, लेकिन यह स्वीकार्य समाधान देने की अत्यधिक संभावना नहीं है। इसके अलावा, यह समानांतर प्रसंस्करण चिंताओं की अनदेखी कर रहा है।

O(n)O(n)

5N3N3N22N2


"मल्टीग्रिड त्रि-विकर्ण मैट्रिक्स के मामले में विशेष रूप से खराब विकल्प है क्योंकि यद्यपि मल्टीग्रिड ओ (एन) है, तो स्थिरांक काफी बड़ा है।" मुझे यह भी लगता है, लेकिन गोग्लिंग ने ट्रॉटेनबर्ग की मल्टीग्रिड पुस्तक में एक पंक्ति लाकर 0.1-0.2 की निरंतरता का दावा किया, जो बिना प्रमाण के कहा गया है। मुझे नहीं लगता कि मैं ऐसा मानता हूं।
औरेलियस

1
@ ऑरेलियस दिलचस्प। सामान्य मामले में यह स्पष्ट रूप से असंभव है क्योंकि ट्रिडियोनियल मैट्रिक्स में 3 एन प्रविष्टियां हैं। यदि लागत ~ 0.1 * एन है, तो इसका मतलब है कि आप कभी भी अधिकांश प्रविष्टियों पर काम नहीं करते हैं।
डग लिपिंस्की

हाँ हम एक ही पृष्ठ पर हैं; केवल 3-बिंदु स्टैंसिल का मूल्यांकन करने के लिए 3N संचालन की आवश्यकता होती है। मैं अभी स्किम कर रहा था इसलिए शायद मैंने कथन को पूरी तरह से गलत समझा, लेकिन आप इसे अपने लिए Google पुस्तक अंश में देख सकते हैं।
औरेलियस

4
पूर्ण उद्धरण (पृष्ठ 21) "व्यावहारिक अर्थों में दक्षता का अर्थ है कि इस O (N) कथन में आनुपातिक स्थिरांक छोटे या मध्यम हैं। यह वास्तव में मल्टीग्रिड के लिए मामला है: यदि अच्छी तरह से डिज़ाइन किया गया है, तो एच-इंडेपेड अभिसरण कारक हो सकता है। बहुत छोटा किया जा सकता है (0.1-0.2 या उससे भी कम की सीमा में) और प्रति अज्ञात कदम प्रति ऑपरेशन की गिनती भी छोटी है। " 0.1-0.2 मल्टीग्रिड के प्रत्येक चक्र के लिए अवशिष्ट कमी को संदर्भित करता है। O (N) पर स्थिरांक 1.5-2.0x के क्रम पर मैट्रिक्स प्रति चक्र (एक दर्जन या दो चक्रों के कुल के साथ) गुणा होगा।
गोड्रिक सेर

आह, धन्यवाद @GodricSeer, कि अधिक समझ में आता है।
औरेलियस

0

सिंगल कोर पर भी मल्टीग्रिड लूप ऑप्टिमाइज़र द्वारा वेक्टर किए जा सकते हैं। इसलिए जब ऑपरेशन की गिनती मदद कर सकती है, हमें यह नहीं भूलना चाहिए कि धारावाहिक की दुनिया में भी, प्रोसेसर में वेक्टर समानता है, और इसलिए समय-से-समाधान संभवतः वैसा नहीं हो सकता है जैसा कि हम लागत विश्लेषण से भविष्यवाणी करते हैं।

हमारी साइट का प्रयोग करके, आप स्वीकार करते हैं कि आपने हमारी Cookie Policy और निजता नीति को पढ़ और समझा लिया है।
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.