प्रक्षेप और वक्र फिटिंग का सबसे महत्वपूर्ण पहलू यह समझना है कि उच्च क्रम बहुपद फिट क्यों एक मुद्दा हो सकता है और अन्य विकल्प क्या हैं और तब आप समझ सकते हैं कि वे कब हैं / एक अच्छा विकल्प नहीं है।
उच्च क्रम बहुपद के साथ कुछ मुद्दे:
बहुपद स्वाभाविक रूप से दोलकीय कार्य हैं। जैसे ही बहुपद का क्रम बढ़ता है, दोलनों की संख्या बढ़ जाती है और ये दोलन और अधिक गंभीर हो जाते हैं। मैं यहां सरलीकृत कर रहा हूं, कई और काल्पनिक जड़ों की संभावना इसे और अधिक जटिल बनाती है, लेकिन बिंदु समान है।
बहुपद दृष्टिकोण +/- बहुपद क्रम के बराबर दर पर अनंतता है क्योंकि x +/- अनंत तक जाता है। यह अक्सर एक वांछित व्यवहार नहीं है।
उच्च क्रम बहुपद के लिए बहुपद गुणांक का कम्प्यूटिंग आमतौर पर एक बीमार स्थिति है। इसका मतलब है कि छोटी त्रुटियां (जैसे कि आपके कंप्यूटर में गोलाई) उत्तर में बड़े बदलाव पैदा कर सकती हैं। रैखिक प्रणाली को हल किया जाना चाहिए जिसमें एक वैंडर्मोंडे मैट्रिक्स शामिल है जो आसानी से बीमार हो सकता है।
मुझे लगता है कि शायद इस मुद्दे का दिल वक्र फिटिंग और प्रक्षेप के बीच का अंतर है ।
इंटरपोलेशन का उपयोग तब किया जाता है जब आप मानते हैं कि आपका डेटा बहुत सटीक है, इसलिए आप चाहते हैं कि आपका फ़ंक्शन डेटा बिंदुओं से बिल्कुल मेल खाए। जब आपको अपने डेटा बिंदुओं के बीच मूल्यों की आवश्यकता होती है, तो आमतौर पर एक चिकनी फ़ंक्शन का उपयोग करना सबसे अच्छा होता है जो डेटा की स्थानीय प्रवृत्ति से मेल खाता है। क्यूबिक या हर्माइट स्प्लिन अक्सर इस तरह की समस्या के लिए एक अच्छा विकल्प होते हैं क्योंकि वे गैर-स्थानीय (किसी दिए गए बिंदु से दूर डेटा बिंदुओं पर अर्थ) परिवर्तनों या डेटा में त्रुटियों के प्रति बहुत कम संवेदनशील होते हैं और एक बहुपद की तुलना में कम दोलनशील होते हैं। निम्नलिखित डेटा सेट पर विचार करें:
x = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y = 1 1 1.1 1 1 1 1 1 1 1
एक बहुपद फिट में बहुत बड़े दोलनों होते हैं, विशेष रूप से डेटा सेट के किनारों के पास, एक हर्मीट स्लाइन की तुलना में।
दूसरी ओर, कम से कम वर्गों का सन्निकटन एक वक्र फिटिंग हैतकनीक। वक्र फिटिंग का उपयोग तब किया जाता है जब आपको अपने डेटा की अपेक्षित कार्यक्षमता के बारे में कुछ पता होता है, लेकिन आपको सभी डेटा बिंदुओं से गुजरने के लिए अपने फ़ंक्शन की आवश्यकता नहीं होती है। यह विशिष्ट है जब डेटा में माप त्रुटियां या अन्य गड़बड़ी हो सकती हैं या जब आप डेटा के सामान्य रुझान को निकालना चाहते हैं। कम से कम वक्र वर्ग के लिए बहुपद का उपयोग करके कम से कम एक वर्ग में अक्सर अनुमान लगाया जाता है क्योंकि यह एक रेखीय प्रणाली का परिणाम है जो आपके पाठ्यक्रम में पहले सीखी गई तकनीकों का उपयोग करके हल करने के लिए अपेक्षाकृत सरल है। हालांकि, कम से कम वर्गों की तकनीकें बहुपद फिट की तुलना में बहुत अधिक सामान्य हैं और किसी भी वांछित फ़ंक्शन को डेटा सेट में फिट करने के लिए उपयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि आप अपने डेटा सेट में घातीय वृद्धि की प्रवृत्ति की अपेक्षा करते हैं,
अंत में, अपने डेटा को फिट करने के लिए सही फ़ंक्शन का चयन करना उतना ही महत्वपूर्ण है जितना सही ढंग से प्रक्षेप या कम से कम वर्गों की गणना करना। ऐसा करने से भी (सतर्क) अतिरिक्त होने की संभावना है। निम्नलिखित स्थिति पर विचार करें। 2000-2010 से अमेरिका के लिए जनसंख्या डेटा (लाखों लोगों में) दिया गया:
Year: 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2010
Pop.: 284.97 287.63 290.11 292.81 295.52 298.38 301.23 304.09 306.77 309.35
एक घातीय रैखिककृत कम से कम वर्ग फिट N(t)=A*exp(B*t)या 10 वीं क्रम बहुपद इंटरपोलेंट का उपयोग निम्नलिखित परिणाम देता है:
अमेरिकी जनसंख्या वृद्धि काफी घातीय नहीं है, लेकिन मैं आपको बेहतर फिट का न्यायाधीश बनने दूँगा।