क्या "डबल प्रीकॉन्डिशनिंग" करने का कोई तरीका है

Question

सवाल:

मान लें कि आपके पास एक सममित सकारात्मक निश्चित मैट्रिक्स लिए दो अलग (फैक्टरेड) पूर्व-कलाकार हैं : और जहां कारकों के व्युत्क्रम हैं। लगाने में आसान।$A$

$$A \approx B^TB$$ $$A \approx C^TC,$$ $B, B^T, C, C^T$

जब यह से जानकारी का उपयोग करना संभव है दोनों और या तो तुलना में एक बेहतर Preconditioner निर्माण करने के लिए या अकेले?$B$$C$$B$$C$

Answer 1

आप एडिटिव का उपयोग कर सकते हैं

$$P_a^{-1} x = (B^T B)^{-1} x + (C^T C)^{-1} x,$$

गुणक

$$P_m^{-1} x = (B^T B)^{-1} x + (C^T C)^{-1} \Big(x - A (B^T B)^{-1} x \Big),$$

या सममित गुणक। PETSc में PCCOMPOSITE का उपयोग करके PETSc में इस वर्ग के तरीके उपलब्ध हैं । उदाहरण के लिए,

petsc/src/ksp/ksp/examples/tutorials$ ./ex2 -m 100 -n 100 -ksp_monitor \ -pc_type composite -pc_composite_type multiplicative \ -pc_composite_pcs ilu,gamg 0 KSP Residual norm 7.088415699389e+01 1 KSP Residual norm 1.271768323411e+01 2 KSP Residual norm 1.529853612054e+00 3 KSP Residual norm 1.214841683459e-01 4 KSP Residual norm 8.341606406485e-03 5 KSP Residual norm 6.471990946051e-04 6 KSP Residual norm 8.082672366030e-05 7 KSP Residual norm 6.111138513482e-06 Norm of error 6.93786e-06 iterations 7

उपयोगकर्ताओं के मैनुअल "Preconditioners का मेल" पर एक अनुभाग है।

Comments

बहुत बड़िया धन्यवाद! क्या आप किसी भी सिद्धांत या कागजात के बारे में जानते हैं जो उन परिस्थितियों के बारे में चर्चा करता है जिसके तहत ये संयोजन प्रभावी या अप्रभावी होंगे, या यह सिर्फ बहुत अधिक परीक्षण और त्रुटि है?

— निक अल्जीरिया

सभी पूर्व शर्त के साथ, विश्लेषण एक पूर्व-संचालक ऑपरेटर के स्पेक्ट्रम के संदर्भ में होता है, जिसे अक्सर एक सामान्यीकृत स्वदेशी समस्या के माध्यम से व्यक्त किया जाता है। सहज रूप से, यदि प्रत्येक पूर्ववर्ती व्यक्ति विभिन्न प्रक्रियाओं या स्पेक्ट्रम के विभिन्न भागों को लक्षित करता है, तो संयोजन का इरादा दोनों भागों को सही करना है। इस वर्ग के अधिकांश सफल दृष्टिकोण सबस्पेस सुधार पर आधारित हैं, जिसमें मल्टीग्रिड, डोमेन अपघटन और क्षेत्र विभाजन (प्रत्येक के लिए साहित्य) शामिल हैं। पेट्सक में समानांतर मामलों को उजागर करने के लिए या इन मामलों में मध्यवर्ती परिणामों का पुन: उपयोग करने के लिए अधिक विशिष्ट पूर्व शर्त है।

— जेड ब्राउन

Answer 2

जेड के उत्कृष्ट जवाब के अलावा, मैंने हाल ही में एक विधि प्राप्त की है जो कि लचीले GMRES (FGMRES) में हर दूसरे चरण में पूर्ववर्ती के बीच स्विच करना है, जैसा कि किया जाता है, उदाहरण के लिए,

तेजुयुअर, टीई, एट अल। "परिमित तत्व संगणना के लिए एक नई मिश्रित पूर्व-विधि।" एप्लाइड मैकेनिक्स एंड इंजीनियरिंग में कंप्यूटर के तरीके 99.1 (1992): 27-42। http://repository.ias.ac.in/24680/1/320.pdf