कई चर में संख्यात्मक एकीकरण

चलो और इन चरों में एक समारोह हो। $\vec{x} = (x_1, x_2, \dots, x_n) \in [0,1]^n$ $f(\vec{x}): [0,1]^n \to \mathbb{C}$

क्या इस पुनरावृत्त अभिन्न के लिए एक पुनरावर्ती योजना है?

\int_{[0, 1]^{n}} \prod d x_{i} f (\vec{x})

$\int_{[0,1]^n} \prod dx_i \;f(\vec{x})$

यदि और मैं 100 खंडों में को तोड़ता हूं , तो हमारे पास जोड़ने के लिए अंक हैं। एक होशियार रास्ता होना चाहिए। $n = 10$ $[0,1]$ $10^{20}$

वास्तव में, जिस कार्य को मैं एकीकृत करना चाहता हूं वह एकात्मक समूह का Haar माप है।

\int_{U (n)} f (A) d A = \frac{1}{n!} \int_{[0, 2 π]^{n}} \prod_{j < k} | e^{i θ_{j}} - e^{i θ_{k}} |^{2} \cdot f (θ_{1}, \dots, θ_{n}) \frac{d θ_{1}}{2 π} \dots \frac{d θ_{n}}{2 π}

$\int_{U(n)} f(A) \ dA = \frac{1}{n!} \int_{[0,2\pi]^n} \prod_{j<k} \big|e^{i \theta_j} - e^{i \theta_k}\big|^2 \cdot f(\theta_1, \ldots, \theta_n) \ \frac{d \theta_1}{2\pi} \ \cdots \ \frac{d \theta_n}{2\pi}$

numerical-analysis fourier-analysis

— जॉन मेंगल
स्रोत

यदि आपका आयाम बहुत बड़ा नहीं है, तो आप अपने अभिन्न के लिए विरल चतुर्भुज तरीकों पर भी विचार कर सकते हैं।

— पॉल

@Paul क्या आप इस विषय को एक उत्तर में अधिक समझा सकते हैं? मैं शायद वोट

— करूंगा

जवाबों:

कई चर के साथ एकीकरण के लिए, मोंटे कार्लो विधि आमतौर पर एक सभ्य फिट है। इसके त्रुटि के रूप में कम हो जाती है $O (\sqrt{N})$ $O(\sqrt{N})$ $O(N^{\frac{1}{4}})$ $O (\sqrt{N})$

चूँकि यह संभाव्य है, हालाँकि, मानक विचलन और अपनी त्रुटि का अनुमान लगाने के लिए आपको कई बार अंकों के एक सेट का उपयोग करके इसे एकीकृत करना होगा।

— गोड्रिक द्रष्टा
स्रोत

एकीकरण के लिए, उदाहरण के लिए, सोबेल अनुक्रमों का उपयोग करते हुए अर्ध-मोंटे-कार्लो का उपयोग थोड़ा बेहतर है।

— लुत्ज लेहमन

आह, हाँ, मैंने समान-वितरित अंक (छद्म यादृच्छिक पर) कहा, लेकिन स्पष्ट रूप से दोनों के बीच अंतर नहीं किया।

— गोड्रिक सेर

\frac{1}{n} \sum f (x_{i}) \approx \int_{[0, 1]^{n}} f d x

$\frac{1}{n} \sum f(x_i) \approx \int_{[0,1]^n} f \ dx$

हाँ, सोबोल अनुक्रम अंक के अच्छे वितरण का निर्माण करेगा। आपकी समस्या के लिए अर्ध-मोंटे-कार्लो बेहतर तरीकों में से एक है।

— गोड्रिक सीर

उच्च आयामों में एकीकृत करने के लिए स्पार्स ग्रिड क्वाड्रैटर एक वैकल्पिक तरीका है।

क्वाडरेचर विशिष्ट "इष्टतम" बिंदुओं पर फ़ंक्शन मानों की भारित राशि का मूल्यांकन करने पर निर्भर करता है। पारंपरिक चतुष्कोण उच्च आयामों में एक टेंसर उत्पाद ग्रिड निर्माण का उपयोग करता है, जिसका अर्थ है कि आयाम बढ़ने के साथ-साथ आपको तेजी से बढ़ते अंकों की संख्या पर फ़ंक्शन का मूल्यांकन करना होगा।

ग्रिड चतुर्भुज को विरल करने की चाल यह है कि आप टेनर उत्पाद ग्रिड के एक छोटे से उपसमूह का उपयोग करके समान क्रम सटीकता (असममित अर्थ में) प्राप्त कर सकते हैं। आपके द्वारा चुने जाने वाले विरल बिंदु वे हैं जो एक वांछित कुल डिग्री तक के मोनोमियल को सटीक रूप से एकीकृत करते हैं । कम्प्यूटेशनल बचत (टेंसर उत्पाद ग्रिड की तुलना में) आयाम बढ़ने के साथ काफी बढ़ जाती है।

हालांकि, इस पद्धति में कमियां हैं कि आपको जागरूक होना चाहिए।

यदि आपका फ़ंक्शन सुचारू नहीं है (या अन्यथा बहुपद कार्यों द्वारा अनुमानित नहीं है) तो यह विधि अच्छी तरह से काम नहीं करती है।
जबकि विरल ग्रिड चतुर्भुज की सटीकता का क्रम एक टेनर उत्पाद ग्रिड के बराबर हो सकता है, सापेक्ष सटीकता बहुत खराब हो सकती है। ऐसा इसलिए है क्योंकि विरल ग्रिड के सटीकता के क्रम के सामने स्थिरांक बहुत बड़ा हो सकता है।
विरल ग्रिड अपेक्षाकृत छोटे आयामों के लिए अच्छी तरह से काम करते हैं। लेकिन एक आयाम आता है जिसके बाद आप शायद एक अन्य विधि (जैसे कि मोंटे कार्लो या इसके वेरिएंट) का उपयोग करना बेहतर होगा।

विरल ग्रिडों के बारे में अधिक जानकारी के लिए, मैं उच्च आयामों में बर्कार्ड्ट के विरल ग्रिडों की सलाह देता हूं । यदि आप विरल ग्रिड उत्पन्न करने के लिए कोड में रुचि रखते हैं, तो आप इन मैटलैब फ़ाइलों पर विचार कर सकते हैं ।

— पॉल
स्रोत