तरंगों को पीडीई पर कैसे लागू किया जा सकता है?

Question

मैं सीखना चाहता हूं कि पीडीई पर वेवलेट तरीके कैसे लागू किए जा सकते हैं, लेकिन दुर्भाग्य से मुझे इस विषय के बारे में जानने के लिए एक अच्छा संसाधन नहीं है।

ऐसा लगता है कि तरंगों के कई परिचय प्रक्षेप सिद्धांत पर ध्यान केंद्रित करते हैं, उदाहरण के लिए, अधिमानतः कुछ तरंगों के सुपरपोजिशन द्वारा एक संकेत को इकट्ठा करना। पीडीई के लिए कई बार आवेदन का उल्लेख किया जाता है, उस विषय में गहराई से जाने के बिना। मुझे उन लोगों के लिए अच्छे सारांश लेखों में दिलचस्पी है, जिन्होंने डब्ल्यूएफटी देखा है, लेकिन उस विषय पर कोई अधिक ज्ञान नहीं है। एक अच्छा सारांश, साथ ही साथ, यदि आपको लगता है कि किया जा सकता है, तो यह एक अच्छा सारांश होगा।

मैं विशेष रूप से एक छाप प्राप्त करने में दिलचस्पी रखता हूं, जिस तरह के प्रश्न आम तौर पर दिखाई देते हैं। उदाहरण के लिए, मुझे पता है कि परिमित तत्वों को आमतौर पर Lipschitz सीमा के साथ एक बंधे हुए डोमेन पर PDE के लिए लागू किया जाता है, जो कि ansatz स्पेस (अनुरूपता, गैर-अनुरूपता, ज्यामिति और संयोजन), कैसे अभिसरण सिद्धांत स्थापित करने में विशिष्ट प्रश्न हैं वास्तव में गैलेर्किन सिद्धांत वेवलेट्स के लिए इतना अलग नहीं होना चाहिए), और मुझे कुछ अंतर्ज्ञान है जो गणितीय चीजें कार्यान्वयन में संभव हैं। पीडीई के लिए वेवलेट्स पर इस तरह के एक पक्षी की नजर मेरे लिए बहुत उपयोगी होगी।

Answer 1

वेवलेट्स में बहु-रिज़ॉल्यूशन सन्निकटन गुण होते हैं, लेकिन पीडीई को हल करने के लिए विशेष रूप से लोकप्रिय नहीं हैं। सबसे आम तौर पर उद्धृत कारणों में सीमा की स्थिति, अनइलगंटेड अनिसोट्रॉपी का उपचार, अरेखीय शब्दों का मूल्यांकन और दक्षता को लागू करने में कठिनाई होती है।

वेवलेट्स पहले पूरी तरह से अनुकूली तरीकों के लिए मजबूत अभिसरण परिणाम प्राप्त करने के लिए थे ( कोहेन, डाहमेन, और डेवोर 2001 और 2002 देखें )। हालांकि, इस महत्वपूर्ण सिद्धांत का बीनेव, डाहमेन और डेवोर (2004) ने तेजी से पालन किया , जो अनुकूली परिमित तत्व विधियों के लिए एक समान परिणाम साबित हुए, जो मध्यम आयामों में पारंपरिक पीडीई समस्याओं के लिए अधिक लोकप्रिय हैं। वेवलेट बेस उच्च आयामी समस्याओं के लिए लोकप्रिय हैं जैसे कि स्टोकेस्टिक पीडीई एस श्वाब और गिटल्सन (2011) और इस चर्चा के लिए विरल टेंसर विधियां ।

डिफरेंशियल ऑपरेटर्स ने वेवेज़ बेस में व्यक्त किए जाने पर शर्त संख्या को बांधा है और जैकोबी के साथ पूर्वनिर्धारित किया गया है (इस प्रकार क्रायलोव तरीकों निरंतर संकल्प के पुनरावृत्तियों की संख्या में परिवर्तित होते हैं)। यह येरसेंट (1984), बैंक, ड्यूपॉन्ट, और यसरेन्टेंट (1988) , और अन्य लोगों के पदानुक्रमित मल्टीग्रिड तरीकों से संबंधित है । ध्यान दें कि गुणक मल्टीग्रिड विधियों में एडिटिव विधियों में बेहतर अभिसरण गुण होते हैं। एक मानक मल्टीग्रिड वी-चक्र अनिवार्य रूप से सामान्य क्रम के साथ तरंगिका आधार में मानक सममित गौस-सेडेल के बराबर है। ध्यान दें कि यह शायद ही कभी लागू करने का सबसे अच्छा तरीका है, खासकर समानांतर में।

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डिफरेंशियल ऑपरेटर्स वेवलेट बेस में मूल्यांकन करने के लिए अपेक्षाकृत अधिक महंगे हैं और वांछित संरक्षण गुण स्थापित करना मुश्किल हो सकता है। कुछ लेखक (जैसे वासिलीव, पाओलुकी और सेन 1995) महाधमनी के तरीकों का सहारा लेते हैं और डेरिवेटिव और नॉनलाइन शब्दों का मूल्यांकन करने के लिए परिमित अंतर स्टेंसिल का उपयोग करते हैं। यदि तरंगिका विस्तार अवरुद्ध है (आमतौर पर कम्प्यूटेशनल दक्षता के लिए अच्छा है), तो ये विधियां ब्लॉक-संरचित एएमआर के समान होती हैं।

मैं Beylkin और Keizer (1997) को तरंगों के साथ PDE को हल करने के लिए एक व्यावहारिक परिचय के रूप में सुझाता हूं । पागलपन कोड इन तरीकों पर आधारित है। इसमें विसर्जित सीमाओं के लिए समर्थन है (देखें रीटर, हिल और हैरिसन 2011 ), लेकिन जटिल ज्यामिति में सीमा परतों का प्रतिनिधित्व करने का कोई कुशल तरीका नहीं है। सॉफ्टवेयर का उपयोग अक्सर रसायन विज्ञान की समस्याओं के लिए किया जाता है जिसमें ज्यामिति चिंता का विषय नहीं है।

तरंगों के सामान्य संख्यात्मक विश्लेषण के लिए, मैं कोहेन की 2003 की पुस्तक का सुझाव देता हूं । यह एक विश्लेषण ढांचा प्रस्तुत करता है जिसमें सातत्य समाधान में हेरफेर किया जाता है जब तक कि आप किसी दिए गए सटीकता के लिए इसका मूल्यांकन नहीं करना चाहते हैं, जिस बिंदु पर तरंगिका आधार का मूल्यांकन आवश्यक है।