क्या आरआरटी ​​* न्यूनतम निकासी लागत मीट्रिक के लिए एसिम्प्टोटिक इष्टतमता की गारंटी देता है?

Question

इष्टतम नमूना आधारित प्रस्ताव नियोजन एल्गोरिथ्म (वर्णित इस पत्र में ) टक्कर से मुक्त रास्तों जो नियोजन समय बढ़ने के साथ इष्टतम पथ की ओर अभिसरित उपज के लिए दिखाया गया है। हालाँकि, जहाँ तक मैं देख सकता हूँ, इष्टतमता के प्रमाण और प्रयोगों ने मान लिया है कि विन्यास स्थान में पथ लागत मीट्रिक यूक्लिडियन दूरी है। Can आर आर टी * भी इस तरह के पथ भर बाधाओं से न्यूनतम निकासी अधिकतम के रूप में अन्य पथ गुणवत्ता मैट्रिक्स, के लिए optimality गुण उपज?$\text{RRT}^*$$\text{RRT}^*$

न्यूनतम निकासी को परिभाषित करने के लिए: सादगी के लिए, हम यूक्लिडियन अंतरिक्ष में जाने वाले एक बिंदु रोबोट पर विचार कर सकते हैं। किसी भी कॉन्फ़िगरेशन जो टकराव-मुक्त कॉन्फ़िगरेशन स्थान में है, एक फ़ंक्शन d ( q ) को परिभाषित करें जो रोबोट और निकटतम सी-बाधा के बीच की दूरी को लौटाता है। एक पथ के लिए σ , न्यूनतम निकासी min_clear ( σ ) का न्यूनतम मूल्य है घ ( क्ष ) सभी के लिए क्ष ∈ σ । इष्टतम गति नियोजन में, एक मार्ग के साथ बाधाओं से न्यूनतम निकासी को अधिकतम करने की इच्छा हो सकती है। इसका मतलब होगा कुछ लागत मीट्रिक को परिभाषित करना$q$$d(q)$$\sigma$$\text{min_clear}(\sigma)$$d(q)$$q \in \sigma$ ऐसी है कि ग बढ़ जाती न्यूनतम निकासी कम हो जाती है। एक साधारण समारोह होगा ग ( σ ) = exp ( - min_clear ( σ ) ) ।$c(\sigma)$$c$$c(\sigma) = \exp(-\text{min_clear}(\sigma))$

में पहले कागज को शुरू , कई मान्यताओं पथ लागत मीट्रिक ताकि सबूत पकड़ के बारे में किया जाता है; लागत मेट्रिक की संबद्धता संबंधी मान्यताओं में से एक, जो उपरोक्त न्यूनतम निकासी मीट्रिक के लिए नहीं है। हालाँकि, एल्गोरिथ्म का वर्णन करने वाले अधिक हाल के जर्नल लेख में , कई पूर्व मान्यताओं को सूचीबद्ध नहीं किया गया था, और ऐसा लगता था कि न्यूनतम निकासी लागत मीट्रिक भी एल्गोरिदम द्वारा अनुकूलित किया जा सकता है।$\text{RRT}^*$

के optimality के लिए सबूत है, तो किसी को पता है एक न्यूनतम निकासी मीट्रिक लागत के लिए पकड़ सकता है (शायद एक नहीं मैं ऊपर दे दी है, लेकिन एक और जो एक ही न्यूनतम है), या प्रयोगों के लिए एल्गोरिथ्म की उपयोगिता का समर्थन करने के प्रदर्शन किया गया है, तो ऐसी मीट्रिक?$\text{RRT}^*$

Comments

मैं न्यूनतम निकासी लागत मीट्रिक से परिचित नहीं हूं, हालांकि इसके नाम से मुझे सामान्य विचार मिलता है। क्या यह एक विशिष्ट कार्य या कार्यों का एक वर्ग है?

— डेमनमेकर

अच्छा सवाल: चूंकि मीट्रिक रोबोट पर निर्भर करता है, इसलिए मान लेते हैं कि हम यूक्लोनियन स्पेस में चलते हुए एक होलोनोमिक पॉइंट रोबोट को देख रहे हैं। किसी भी कॉन्फ़िगरेशन q पर, हमारे पास एक फ़ंक्शन d (q) है जो बिंदु रोबोट और निकटतम सी-बाधा के बीच की दूरी को वापस करता है। इसलिए, कॉन्फ़िगरेशन स्थान में एक पथ के लिए, पूरे पथ का न्यूनतम निकासी पथ में सभी q के लिए d (q) का न्यूनतम मूल्य है।

— गियोगादी

मेटा-प्रश्न: मेरे लिए मूल प्रश्न को स्पष्टीकरण के साथ संपादित करने की सिफारिश कब की गई है, जो टिप्पणियों और अन्य उत्तरों में स्पष्ट किया गया है?

— जियोगी

यह एक अच्छा मेटा-प्रश्न है और रोबोटिक्स मेटा एसई में अधिक प्रतिक्रिया मिलेगी । ;) हालांकि, स्पष्टता के लिए प्रश्न को संपादित करना आम तौर पर अच्छा है। मैं विशेष रूप से ऐसा करने की सलाह देता हूं जब अपेक्षित प्रश्नों के साथ उत्तर में प्रवेश नहीं किया जाता है।

— डेमनमेकर

Answer 1

* नोट, , a और b के पथों का संघटन है । तो फिर ग ( ⋅ ) के रूप में परिभाषित न्यूनतम निकासी का तात्पर्य सी ( एक | ख ) = मीटर मैं n ( ग ( एक ) , सी ( ख ) $a|b$$a$$b$$c(\cdot)$$c(a|b)=min(c(a),c(b))$

आप देखें (संदर्भ 1 में):

$\sigma_1$$\sigma_2$ $\in X_{free}$$c(\sigma_1|\sigma_2) = c(\sigma_1) + c(\sigma_2)$

जो बन गया है (संदर्भ 3, समस्या 2 में):

$\sigma_1,\sigma_2\in\Sigma:c(\sigma_1)\leq c(\sigma_1|\sigma_2)$

जो अभी भी न्यूनतम निकासी दूरी के लिए मामला नहीं है।

अद्यतन: पथ लागत पर आराम प्रतिबंध को देखते हुए, आपका सुझाया गया ऍक्स्प (-min_clearance) ठीक लगता है।

Comments

आपके जवाब ने मुझे एहसास दिलाया कि जैसा मैंने वर्णन किया है वह मीट्रिक वास्तव में बीमार है। हम आम तौर पर एक पथ पर न्यूनतम निकासी को अधिकतम करना चाहते हैं, इसलिए वास्तव में एक पथ की लागत को पथ के न्यूनतम निकासी के रूप में बढ़ाना चाहिए। इसके लिए मेरे पास जो पहला कॉस्ट फंक्शन है वह है c (सिग्मा) = 1 / min_clearance (सिग्मा), लेकिन यह फ़ंक्शन को बाधा सीमाओं पर अपरिभाषित छोड़ देता है, और मेरा मानना ​​है कि आरआरटी ​​* को प्रूफ़ काम करने के लिए Q_free को बंद करने की आवश्यकता है । सीमा के मुद्दे को छोड़कर, इस नए लागत समारोह में एकरसता होगी क्योंकि प्रमाण की आवश्यकता होती है।

— जियोगी

मैं एक साधारण लागत समारोह है कि बचा जाता है सीमा मुद्दे ग (सिग्मा) = -min_clearance (सिग्मा) हो सकता है लगता है, लेकिन मुझे यकीन है कि क्या एक नकारात्मक मीट्रिक होने आर आर टी * प्रमाण ... के अन्य भागों में कर सकते हैं नहीं कर रहा हूँ

— giogadi

$\geq$$\epsilon > 0$$\delta$$X_{free}$

एक अन्य संभावित मीट्रिक: c (सिग्मा) = exp (-min_clear (सिग्मा))

— giogadi

मुझे घातीय लागत समारोह सबसे अच्छा लगता है।

— जोश वेंडर हुक

Answer 2

एक में पिछले जवाब , हम इस बात से सहमत है कि एक लागत समारोह के रूप में परिभाषित आया

$c(\sigma) = \text{exp}(-\text{min_clear}(\sigma))$

आरआरटी ​​* के लिए आवश्यक गुणों को संतुष्ट करेगा ताकि इस मीट्रिक के तहत असममित इष्टतमता प्राप्त हो सके।

हालांकि, IJRR लेख जो RRT * का वर्णन करता है, की समीक्षा करने पर, यह लागत फ़ंक्शन तकनीकी रूप से लेख में बनी मान्यताओं को पूरा नहीं करता है । विशेष रूप से, यह लागत फ़ंक्शन सीमा सम्पत्ति का उल्लंघन करता है , जिसे निम्न रूप में परिभाषित किया गया है:

$\exists k_c \quad c(\sigma) \leq k_c\text{TV}(\sigma), \forall \sigma \in \Sigma$

$\text{TV}(\sigma)$

$\sigma_0$$q$$\sigma_0$$c(\sigma_0) = \text{exp}(-d(q)) > 0$

मुझे आश्चर्य है कि अगर आरआरटी ​​* केवल इतनी लागत फ़ंक्शन के तहत एसिम्पोटिक रूप से इष्टतम समाधान नहीं देगा, या अगर यह अभी भी हो सकता है, लेकिन शायद उन मान्यताओं ने कागज में इष्टतमता के प्रमाण को सरल बना दिया।