हैमिल्टन के विरल अनुकरण का लाभ

@ DaftWullie के इस प्रश्न के उत्तर में उन्होंने दिखाया कि क्वांटम गेट्स के संदर्भ में कैसे प्रतिनिधित्व किया जाए, इस लेख में उदाहरण के रूप में मैट्रिक्स का उपयोग किया गया है । हालांकि, मेरा मानना है कि वास्तविक जीवन के उदाहरणों में इतनी अच्छी तरह से संरचित मैट्रिस होने की संभावना नहीं है, इसलिए मैं एक हैमिल्टन को अनुकरण करने के लिए अन्य तरीकों को देखने की कोशिश कर रहा था। मैंने कई लेखों में अहरोनोव और ता-शमा द्वारा इस एक के संदर्भ में पाया है , जिसमें अन्य बातों के अलावा वे कहते हैं कि विरल हैमिल्टन के अनुकरण में कुछ लाभ होना संभव है । हालांकि, लेख को पढ़ने के बाद, मुझे समझ में नहीं आया कि विरल हैमिल्टन का अनुकरण कैसे किया जा सकता है। समस्या को आमतौर पर ग्राफ रंग में से एक के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, हालांकि प्रस्तुति को देखते हुए भी उस @Nelimee ने मैट्रिक्स एक्सपेंशनरी का अध्ययन करने के लिए पढ़ने का सुझाव दिया, यह सब उत्पाद सूत्र के माध्यम से सिल्म्यूलेशन गिरता है।

एक उदाहरण बनाने के लिए, आइए एक यादृच्छिक मैट्रिक्स की तरह लें:

A = [\begin{matrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 8 & 5 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 7 & 0 \\ 0 & 5 & 3 & 4 \end{matrix}];

$A = \left[\begin{matrix} 2 & 0 & 0 & 0\\ 8 & 5 & 0 & 6\\ 0 & 0 & 7 & 0\\ 0 & 5 & 3 & 4 \end{matrix}\right];$ यह उपदेशात्मक नहीं है, लेकिन हैरो, हासिडिम और लॉयड के सुझाव का उपयोग करके हम इसके साथ शुरू होने वाले एक हर्मिटियन मैट्रिक्स का निर्माण कर सकते हैं:

C = [\begin{matrix} 0 & A \\ A^{†} & 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 8 & 5 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 3 & 4 \\ 2 & 8 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 & 5 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 7 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}] .

$C = \left[ \begin{matrix} 0 & A\\ A^{\dagger} & 0 \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 8 & 5 & 0 & 6\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 7 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 3 & 4\\ 2 & 8 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 5 & 0 & 5 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 7 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix}\right].$

अब मेरे पास एक 8x8, 2-विरल हेर्मिटियन मैट्रिक्स है:

क्या मैं उत्पाद सूत्र विधि की तुलना में इसके विकास को अन्य तरीकों से अनुकरण कर सकता हूं?
यहां तक कि अगर मैं उत्पाद सूत्र का उपयोग करता हूं, तो मैं इस तथ्य का शोषण कैसे करूं कि यह विरल है? क्या यह सिर्फ इसलिए है क्योंकि कम गैर-शून्य प्रविष्टियाँ हैं और इसलिए बुनियादी फाटकों के उत्पाद को खोजना आसान होना चाहिए?

algorithm matrix-representation hamiltonian-simulation

— FSic
स्रोत

अंतर्दृष्टि पता चलता है कि कि विरल मैट्रिक्स उपयोगी होते हैं की तर्ज पर चला जाता है: किसी भी के लिए , हम का एक सेट के मामले में यह विघटित कर सकते हैं जिसका अलग-अलग घटकों सभी लघुकरण (बनाने diagonalisation सीधा), यदि मैट्रिक्स विरल है, तो आपको बहुत अधिक विशिष्ट आवश्यकता नहीं होनी चाहिए । तो फिर तुम अनुकरण कर सकते हैं Hamiltonian विकास $H$ $H_i$

H = \sum_{i = 1}^{m} H_{i} .

$H=\sum_{i=1}^mH_i.$

H_{i}

$H_i$

जहां

। उदाहरण के लिए, आपके मामले में, आपके पास

e^{- i H t} = \prod_{j = 1}^{N} e^{- i H_{m} δ t} e^{- i H_{m - 1} δ t} \dots e^{- i H_{1} δ t},

$e^{-iHt}=\prod_{j=1}^Ne^{-iH_m\delta t}e^{-iH_{m-1}\delta t}\ldots e^{-iH_{1}\delta t},$

t = N δ t

$t=N\delta t$

(3 शर्तों तथ्य यह है कि यह एक 3-विरल Hamiltonian है करने के लिए इसी)। मेरा मानना है कि यहां एक रणनीति है: आप अपने हैमिल्टन के सभी गैर-शून्य मैट्रिक्स तत्वों के माध्यम से जाते हैं और उन्हें समूह बनाते हैं ताकि अगर मैं उनके निर्देशांक को

रूप में लिखूं(और मैं हमेशा उनकी जटिल संयुग्म जोड़ी को शामिल करता हूं), मैं जोड़ना जारी रखता हूं मेरी सेट करने के लिए अन्य तत्वों

प्रदान की न तो

और न ही

के बराबर

H_{1} = \frac{1}{4} X \otimes (18 I - 6 Z \otimes Z - 4 Z \otimes I) H_{2} = \frac{1}{4} (X \otimes (11 I + 5 Z) \otimes X + Y \otimes (11 I + 5 Z) \otimes Y) H_{3} = \frac{1}{4} (11 X \otimes X - Y \otimes Y) \otimes (I - Z)

$H_1=\frac14 X\otimes(18\mathbb{I}-6Z\otimes Z-4Z\otimes\mathbb{I}) \\ H_2=\frac14(X\otimes(11\mathbb{I}+5Z)\otimes X+Y\otimes(11\mathbb{I}+5Z)\otimes Y)\\ H_3=\frac14(11X\otimes X-Y\otimes Y)\otimes(\mathbb{I}-Z)$

(i, j)

$(i,j)$

(k, l)

$(k,l)$

k

$k$

l

$l$

i

$i$ या

.. यह एक के लिए मतलब होगा

Hamiltonian -sparse, आपके पास

अलग

।

j

$j$

m

$m$

m

$m$

H_{i}

$H_i$

समस्या यह है कि जरूरी नहीं कि यह सीधे अभ्यास में काम करे। एक बात के लिए, अभी भी कई मैट्रिक्स तत्व हैं जो आपको गुजरना है, लेकिन यह हमेशा जिस तरह से आप इसे स्थापित कर रहे हैं उसके साथ ऐसा ही होने वाला है।

$f(j,l)$ $l^{th}$ $j^{th}$

$\alpha_i$

H = \sum_{i} α_{i} U_{i}

$H=\sum_i\alpha_iU_i$

H = U_{1} + α U_{2}

$H=U_1+\alpha U_2$

U_{1}

$U_1$

U_{2}

$U_2$

V = | 0 ⟩ ⟨ 0 | \otimes U_{1} + | 1 ⟩ ⟨ 1 | \otimes U_{2}

$V=|0\rangle\langle 0|\otimes U_1+|1\rangle\langle 1|\otimes U_2$

| 0 ⟩ + \sqrt{α} | 1 ⟩

$|0\rangle+\sqrt{\alpha}|1\rangle$

V

$V$

| 0 ⟩ + \sqrt{α} | 1 ⟩

$|0\rangle+\sqrt{\alpha}|1\rangle$

U_{1} + α U_{2}

$U_1+\alpha U_2$

(1 - α)^{2} / (1 + α)^{2}

$(1-\alpha)^2/(1+\alpha)^2$

— DaftWullie
स्रोत

सिर्फ 2 चीजें जो मुझे समझ नहीं आईं: 1) जब आप कहते हैं कि आप हमेशा जटिल संयुग्म जोड़े को शामिल करते हैं तो आपका क्या मतलब है? 2) दैवज्ञ द्वारा प्रदान की गई स्थिति का ज्ञान हमें किस तरीके से मदद करना चाहिए? विघटित हैमिल्टन के प्रतिनिधित्व वाली इकाइयों के सेट को निर्धारित करने में हमारी मदद करने से?

— FSic

@ F.Siciliano (2) ओरेकल से प्राप्त ज्ञान मदद करता है क्योंकि यह आपको मैट्रिक्स के केवल गैर-शून्य तत्वों के माध्यम से काम करने देता है बजाय मैट्रिक्स के हर तत्व से गुजरने के लिए यह पता लगाने के लिए कि कौन से गैर-शून्य हैं।

— DaftWullie

H

$H$

h_{i j}

$h_{ij}$

(j, i)

$(j,i)$

h_{i j}^{*}

$h_{ij}^*$

h_{i}

$h_i$