क्वांटम सर्किट में एक मैट्रिक्स घातीय को कैसे लागू किया जाए?

शायद यह एक भोला सवाल है, लेकिन मैं यह पता नहीं लगा सकता कि वास्तव में क्वांटम सर्किट में मैट्रिक्स को कैसे एक्सप्लेन किया जाए। यदि मैं इसकी घातांक प्राप्त करना चाहता हूं, तो एक सामान्य वर्ग मैट्रिक्स A मान लें , $e^{A}$ , मैं श्रृंखला का उपयोग कर सकते हैं

e^{A} ≃ I + A + \frac{A^{2}}{2!} + \frac{A^{3}}{3!} + . . .

$e^{A} \simeq I+ A+\frac{A^2}{2!}+\frac{A^3}{3!}+...$

इसका सन्निकटन करना है। मुझे नहीं लगता कि क्वांटम गेट्स का उपयोग करके ऐसा ही कैसे किया जाता है, उदाहरण के लिए हैमिल्टनियन अनुकरण करने के लिए इसे लागू करें। कुछ मदद?

— FSic
स्रोत

यह स्पष्ट नहीं है कि आप क्वांटम सर्किट की बात कर रहे हैं जो के इनपुट के रूप में लेता है और या हैमिल्टनियन सिमुलेशन (यानी एक सर्किट का निर्माण करता है जिसका एकात्मक मैट्रिक्स मैच )।

A

$A$

e^{A}

$e^A$

e^{i A}

$e^{iA}$

— नेल्लीमे

मेरी गलती; मुझे क्या मतलब है, एक मैट्रिक्स ए लिया, मैं अपने सर्किट में इसके घातीय होना चाहता हूं,

e^{i A}

$e^{iA}$ ।

— FSIC

अपने प्रश्न का सुधार करना:

जेनेरिक वर्ग मैट्रिक्स के लिए हैमिल्टन सिमुलेशन कैसे करें $A$ ?

त्वरित उत्तर : यह संभव नहीं है।

हैमिल्टन सिमुलेशन (एचएस) का लक्ष्य एक क्वांटम सर्किट (यानी गेट्स का उत्तराधिकार) खोजना है जो इस तरह काम करता है $U(t) = e^{-iAt}$ एक क्वांटम राज्य पर। यहाँ $U(t)$ एकात्मक होने की आवश्यकता है (क्वांटम गेट्स के गुणों के कारण) और इसी तरह $e^{-iAt}$ एकात्मक होने की भी जरूरत है।

तो HS एल्गोरिथ्म केवल मैट्रिसेस पर लागू होता है $A$ ऐसा है कि $e^{-iAt}$ एकात्मक है। हर hermitian मैट्रिक्स इस संपत्ति को संतुष्ट generic square matrixकरता है , लेकिन हर नहीं करता है। आपकी समस्या के आधार पर, यह सीमा एक मुद्दा हो सकती है या नहीं भी हो सकती है लेकिन आप HS का उपयोग नहीं कर सकते हैं $e^{-iAt}$ एकात्मक नहीं है।

उदाहरण के लिए HHL एल्गोरिथ्म (जो कि HS का उपयोग करता है $A$ एक प्रणाली के साथ एक सबरूटीन के रूप में) $Ax=b$ , अगर $e^{-iAt}$ एकात्मक नहीं है आप इसके बजाय समस्या पर विचार कर सकते हैं

C y = (\begin{matrix} 0 & A \\ A^{†} & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 \\ x \end{matrix}) = (\begin{matrix} b \\ 0 \end{matrix}),

$Cy = \begin{pmatrix} 0 & A \\ A^\dagger & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ x\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}b \\ 0\end{pmatrix},$ इसे HHL के साथ हल करें (जो अब संभव है क्योंकि नया मैट्रिक्स है

C

$C$ हेर्मिटियन है) और ठीक हो

x

$x$ ।

तो अब दिलचस्प सवाल यह है:

किसी दिए गए hermitian मैट्रिक्स के लिए हैमिल्टनियन सिमुलेशन कैसे करें $A$ ?

और उत्तर के गुणों पर निर्भर करेगा $A$ ।

यह एक बहुत बड़ा शोध विषय है और इस पर बहुत सारी बातें कही जाती हैं। मैं यहां हर तरीके को पेश नहीं करूंगा क्योंकि वे काफी जटिल हैं और मुझे इन सबकी समझ नहीं है। यहां उन पेपर्स / प्रस्तुतियों की सूची दी गई है जो एचएस से संबंधित हैं और जो एचएस के साथ शुरू करना दिलचस्प हो सकता है:

एक छोटे क्वांटम कंप्यूटर पर हैमिल्टन की गतिशीलता का अनुकरण : एचएस के बारे में स्लाइड। यहां तक कि अगर यह एक प्रस्तुति है, तो यह हैमिल्टनियन सिमुलेशन पर पाया गया सबसे पूर्ण स्रोत है। यह जल्दी से 3 अलग-अलग तरीकों को प्रस्तुत करता है और प्रत्येक विधि के लिए दिलचस्प कागजात का हवाला देता है।
क्वांटम एल्गोरिदम पर एंड्रयू नोट्स (एंड्रयू एम। चिल्ड्स, 2017) : हाल ही में बल्कि पूर्ण। एचएस की चर्चा अध्याय 25 (पृष्ठ 123) में की गई है।
स्परिंग हैमिल्टन के अनुकरण के लिए सटीक में संभावित सुधार : 1 में प्रस्तुत 3 विधियों में से एक विवरण में प्रस्तुत किया गया है।
स्फ़ील हैमिल्टन के अनुकरण के लिए कुशल क्वांटम एल्गोरिदम : 1 में प्रस्तुत 3 विधियों में से एक अन्य विवरण में प्रस्तुत करता है।

— Nelimee
स्रोत

धन्यवाद, विशेष रूप से संदर्भों के लिए, मैं उन पर एक नज़र डालूंगा!

— एफएसिक

मैं आपको पहले संदर्भ से शुरू करने की सलाह देता हूं। यह सबसे पूर्ण है और यह अन्य लेखों के लिए लिंक देता है। मेरे लिए (व्यक्तिगत दृष्टिकोण), ट्रॉट्टर-सुजुकी फॉर्मूला का उपयोग करने वाली पहली तकनीक सबसे अधिक समझने योग्य है। लेकिन यह आपके लिए समान नहीं हो सकता है!

— नेल्लीमे

हर धर्मनिरपेक्ष मैट्रिक्स इस संपत्ति को संतुष्ट करते हैं : अधिक विशेष रूप से, सभी और केवल हर्मिटियन मेट्रिसेस के पास यह संपत्ति है

— glS