कई कागजात यह कहते हैं कि हैमिल्टन सिमुलेशन बीक्यूपी-पूर्ण है (उदाहरण के लिए, सभी मापदंडों पर लगभग इष्टतम निर्भरता के साथ हैमिल्टनियन सिमुलेशन और क्यूबिटाइजेशन द्वारा हैमिल्टन सिमुलेशन ।)

यह देखना आसान है कि हैमिल्टन सिमुलेशन बीक्यूपी-हार्ड है क्योंकि किसी भी क्वांटम एल्गोरिथ्म को हैमिल्टनियन सिमुलेशन में कम किया जा सकता है, लेकिन बीक्यूपी में हैमिल्टन सिमुलेशन कैसे है?

यानी, बीक्यूपी में हैमिल्टनियन सिमुलेशन निर्णय समस्या क्या है और हैमिल्टनियन किन परिस्थितियों में ठीक है ?

— groupsgroupsgroups
स्रोत

विशेष रूप से हैमिल्टन की स्थितियों के संबंध में, विभिन्न प्रकार के बहुत सारे हैं। यह एक खेल का एक सा है, उदाहरण के लिए, हेमिल्टन के सरलतम संभव वर्ग को खोजने और खोजने के लिए जिसके लिए अनुकरण अभी भी बीक्यूपी-पूर्ण है।

$|\psi\rangle$ $H$ $\hat O$ $\|\hat O\|\leq 1$ $t$ $\langle\psi|e^{iHt}\hat O e^{-iHt}|\psi\rangle$ $\frac12+a$ $\frac12-a$ $a$ $a=\frac16$

आगे की जानकारी

हैमिल्टनियन सिमुलेशन BQP- हार्ड है

मूल निर्माण (मूल रूप से फेनमैन के कारण, यहां थोड़ा ट्विक किया गया) मूल रूप से दिखाता है कि आप हैमिल्टनियन को कैसे डिज़ाइन कर सकते हैं जो किसी भी बीक्यूपी-पूर्ण संगणना सहित किसी भी क्वांटम कम्प्यूटेशन को लागू करता है। आपके द्वारा देखा जाने वाला अवलोकनीय एक विशेष आउटपुट क्वाइब पर सिर्फ , दो माप 'हां' और 'नहीं' के अनुरूप है। $Z$

हेमिल्टन का सबसे सरल प्रकार जो आप सोच सकते हैं कि अनुक्रमिक इकाईयों की गणना पर विचार करना है पर अभिनय करना , एक राज्य से शुरू होता है । फिर आप एक अतिरिक्त क्वाइबल्स का परिचय कर सकते हैं , और Hamiltonian निर्दिष्ट करें। यदि आप अपनी प्रारंभिक स्थिति को इस प्रकार तैयार करते हैं तब एक समय के बाद , यह a में होगा। स्थिति जहाँ $N-1$ $U_n$ $M$ $|0\rangle^{\otimes M}$ $N$

H = \frac{2}{N} \sum_{n = 1}^{N - 1} \sqrt{n (N - n)} (| 10 ⟩ ⟨ 01 |_{n, n + 1} \otimes U + | 01 ⟩ ⟨ 10 |_{n, n + 1} \otimes U^{†}) .

$H=\frac{2}{N}\sum_{n=1}^{N-1}\sqrt{n(N-n)}\left(|10\rangle\langle 01|_{n,n+1}\otimes U+|01\rangle\langle 10|_{n,n+1}\otimes U^\dagger\right).$

| 1 ⟩ | 0 ⟩^{\otimes (N - 1)} | 0 ⟩^{\otimes M}

$|1\rangle|0\rangle^{\otimes(N-1)}|0\rangle^{\otimes M}$

N π / 4

$N\pi/4$

| 0 ⟩^{\otimes (N - 1)} | 1 ⟩ | Φ ⟩

$|0\rangle^{\otimes (N-1)}|1\rangle|\Phi\rangle$

| Φ ⟩

$|\Phi\rangle$ वांछित गणना का उत्पादन है। मज़ेदार युग्मन शक्ति जो मैंने यहाँ उपयोग की है, विशेष रूप से नियतात्मक विकास को देने के लिए , को चुना जाता है, और यह पूर्ण राज्य हस्तांतरण की अवधारणा से संबंधित हैं । आमतौर पर आपको परिणाम समान युग्मन के साथ, लेकिन संभावित विकास के साथ दिखाई देंगे।

\sqrt{n (N - n)}

$\sqrt{n(N-n)}$

यह देखने के लिए कि यह कैसे काम करता है, आप राज्यों के एक सेट को परिभाषित करते हैं हैमिल्टन की कार्रवाई तब जो साबित करता है कि विकास एक उप-स्थान तक ही सीमित है जो एक त्रिदलीय मैट्रिक्स (जो कि पूर्ण राज्य हस्तांतरण में अध्ययन की गई विशिष्ट चीज है) द्वारा दर्शाया गया है।

| ψ_{n} ⟩ = | 0 ⟩^{\otimes (n - 1)} | 1 ⟩ | 0 ⟩^{\otimes N - n} \otimes (U_{n - 1} U_{n - 2} \dots U_{1} | 0 ⟩^{\otimes M}) .

$|\psi_n\rangle=|0\rangle^{\otimes(n-1)}|1\rangle|0\rangle^{\otimes{N-n}}\otimes\left(U_{n-1}U_{n-2}\ldots U_1|0\rangle^{\otimes M}\right).$

H | ψ_{n} ⟩ = \frac{2}{N} \sqrt{(n - 1) (N + 1 - n)} | ψ_{n - 1} ⟩ + \frac{2}{N} \sqrt{n (N - n)} | ψ_{n + 1} ⟩,

$H|\psi_n\rangle=\frac2N\sqrt{(n-1)(N+1-n)}|\psi_{n-1}\rangle+\frac2N\sqrt{n(N-n)}|\psi_{n+1}\rangle,$

N \times N

$N\times N$

बेशक, इस हैमिल्टन में कोई विशेष रूप से अच्छा गुण नहीं है - यह अत्यधिक गैर-स्थानीय है, उदाहरण के लिए। कई तरकीबें हैं जिन्हें हैमिल्टन को सरल बनाने के लिए खेला जा सकता है, उदाहरण के लिए, एक आयामी। यदि आप चाहते हैं, तो यह अधिक जटिल प्रारंभिक उत्पाद स्थिति तैयार करने की लागत पर, यह तर्कसंगत रूप से अपरिवर्तनीय भी हो सकता है (उस बिंदु पर, गणना अब हैमिल्टनियन में एन्कोडेड नहीं है, जो सार्वभौमिक है, लेकिन इनपुट स्थिति में एन्कोडेड है) । यहाँ देखें , उदाहरण के लिए।

हैमिल्टनियन सिमुलेशन

किसी भी हैमिल्टन का विकास जो कुछ जाली पर स्थानीय है, एक प्रारंभिक उत्पाद राज्य पर कार्य करता है, एक समय के लिए जो सिस्टम आकार में बहुपद से अधिक नहीं है, एक क्वांटम कंप्यूटर द्वारा अनुकरण किया जा सकता है, और किसी भी कुशलतापूर्वक कार्यान्वयन योग्य माप पर लागू किया जा सकता है एक अवलोकनीय अनुमान। इस अर्थ में, आप देख सकते हैं कि हैमिल्टन सिमुलेशन किसी क्वांटम संगणना से अधिक कठिन नहीं है, पिछले कथन का प्रति-बिंदु है कि क्वांटम अभिकलन हैमिल्टन के अनुकरण से अधिक कठिन नहीं है।

ऐसा करने के कई तरीके हैं (और हाल ही में कुछ पेपर हुए हैं जो हैमिल्टन के कुछ वर्गों के लिए त्रुटि स्केलिंग में महत्वपूर्ण सुधार दिखाते हैं)। हैरे काफी सरल है। हैमिल्टनियन लें जिसे आप अनुकरण करना चाहते हैं। इसे अलग-अलग हिस्सों में विभाजित करें, , जिनमें से प्रत्येक लघुकरण करता है। उदाहरण के लिए, किसी ग्राफ़ पर निकटतम पड़ोसी हैमिल्टन पर, आपको ग्राफ़ की अधिकतम डिग्री से अधिक टुकड़ों की आवश्यकता नहीं है। आप तब एट्रिब्यूशन को Trotterize करते हैं, सन्निकटन तो, आपको बस एक सर्किट का निर्माण करना है , जो जैसे शब्दों को लागू करता है, जो कि आने वाले शब्दों $H$ $H_i$

e^{i H t} \approx {(e^{- i H_{1} δ t} e^{- i H_{2} δ t} \dots e^{- i H_{n} δ t})}^{t / δ t}

$e^{iHt}\approx \left(e^{-iH_1\delta t}e^{-iH_2\delta t}\ldots e^{-iH_n\delta t}\right)^{t/\delta t}$

e^{- i H_{1} δ t}

$e^{-iH_1\delta t}$

H_{1} = \sum_{n} h_{n}

$H_1=\sum_nh_n$ , जिनमें से प्रत्येक छोटी संख्या में केवल क्वेट पर कार्य करता है। चूँकि यह कम संख्या में एकात्मक है, एक सार्वभौमिक क्वांटम कंप्यूटर इसे लागू कर सकता है।

e^{- i H_{1} δ t} = \prod_{n} e^{- i h_{n} δ t}

$e^{-iH_1\delta t}=\prod_{n}e^{-ih_n\delta t}$

— DaftWullie
स्रोत

हैमिल्टनियन सिमुलेशन BQP- पूर्ण है

आगे की जानकारी

हैमिल्टनियन सिमुलेशन BQP- हार्ड है

हैमिल्टनियन सिमुलेशन