क्या आकार के साथ क्वांटम इंजीनियरिंग पैमानों की जटिलता का कोई अनुमान है?

Question

यह मुझे लगता है कि क्वांटम कंप्यूटिंग की संभावनाओं के लिए एक अत्यंत प्रासंगिक प्रश्न यह होगा कि क्वांटम सिस्टम की इंजीनियरिंग जटिलता आकार के साथ कैसे होती है। मतलब, एक एन -क्वेट कंप्यूटर की तुलना में 1 -क्वेट कंप्यूटर बनाना आसान है । मेरे मन में, यह मोटे तौर पर तथ्य यह है कि यह आसान है विश्लेषणात्मक हल करने के लिए के अनुरूप है n 1 एक से -body समस्याओं n -body समस्या है, क्योंकि उलझाव क्वांटम पहली जगह में कंप्यूटिंग के पीछे प्राथमिक प्रेरकों कारक है।$n$ $1$$n$$n$ $1$$n$

मेरा प्रश्न इस प्रकार है: ऐसा लगता है कि हम वास्तव में कैसे निर्माण और एक को नियंत्रित करने का 'कठिनाई' के बारे में ध्यान देना चाहिए -body क्वांटम प्रणाली के साथ बढ़ता एन । एक गेट वास्तुकला, या यहां तक कि एक एल्गोरिथ्म को ठीक करें - वहाँ तथ्य यह है कि एक से उत्पन्न होने वाले सिद्धांत में एक कठिनाई है n -qubit कंप्यूटर है एक क्वांटम कई शरीर समस्या? और यह कि गणितीय रूप से, हमारी समझ है कि क्वांटम घटनाएँ शास्त्रीय घटनाओं में कैसे पैमाना है? यहाँ कठिनाई को किसी भी तरीके से परिभाषित किया जा सकता है, और जिस प्रश्न के बारे में हम ध्यान देंगे, वह है, लगभग 1000 -क्वेंट मशीन (जो कि इसकी तरंगों के समतुल्य को संरक्षित कर रहा है) को नियंत्रित कर रहा है, 'मात्र' 100 x को नियंत्रित करने की तुलना में कठिन है$n$$n$$n$$1000$$100$ -क्वेट मशीन, या 100 2 , या 100 ! या 100 100 ? क्या हमारे पास यह मानने का कोई कारण है कि यह कमोबेश पूर्व है, और बाद का नहीं?$10$$100^2$$100!$$100^{100}$

Comments

हा, पता नहीं क्या और मेरा नेतृत्व करने वाला था ...

— कीथ रश

हाय @KeithRush भी पहले वाक्य में कुछ याद नहीं है? शानदार सवाल।

— MEE -

बिल्कुल डुप्लिकेट नहीं, लेकिन मुझे लगता है कि दो सवालों के जवाब गहराई से जुड़े हैं: quantumcomputing.stackexchange.com/questions/1803/…

— agaitaarino

Answer 1

यह एक ऐसा प्रश्न है जिसके बारे में मैं 10 वर्षों से अधिक समय से सोच रहा हूं। 2008 में मैं एक छात्र था, और मैंने अपने क्वांटम कंप्यूटिंग प्रोफेसर से कहा कि मैं क्वांटम एल्गोरिदम के प्रदर्शन की "भौतिक जटिलता" का अध्ययन करना चाहता था जिसके लिए "कम्प्यूटेशनल जटिलता" को क्वांटम कम्प्यूटेशन से लाभ के लिए जाना जाता था।

उदाहरण के लिए ग्रोवर खोज की आवश्यकता है क्वांटम गेट्सO केविपरीत(n)शास्त्रीय गेट्स, लेकिन क्या होगा अगर क्वांटम गेट्स स्केल को नियंत्रित करने की लागतn4 केरूप में होजबकि शास्त्रीय गेट्स के लिए यह केवलn है?$\mathcal{O}(\sqrt{n})$$\mathcal{O}(n)$$n^4$$n$

उसने तुरंत उत्तर दिया:

"निश्चित रूप से भौतिक जटिलता का आपका विचार कार्यान्वयन पर निर्भर करेगा"

जो सच निकला। NMR के साथ qubits में हेरफेर करने की "शारीरिक जटिलता" सुपरकंडक्टिंग क्वैबिट्स की तुलना में बहुत खराब है, लेकिन हमारे पास मामले के लिए n के संबंध में शारीरिक कठिनाई के लिए कोई सूत्र नहीं है ।$n$$n$

ये कदम आपको उठाने होंगे:

1. अपने क्वांटम कंप्यूटर के लिए एक सटीक विकृति मॉडल के साथ आओ। यह उदाहरण के लिए, GaAs क्वांटम डॉट, एक डायमंड NV केंद्र में स्पिन स्पिन के लिए अलग-अलग होगा।
2. सही ढंग से डिकॉरेन्स की उपस्थिति में क्वैब की गतिशीलता की गणना करें।
3. प्लॉट बनाम एन , जहां एफ डिकोडर के बिना प्राप्त होने वाले परिणाम की तुलना में एन डिकॉहर्ड क्विबिट्स की निष्ठा है। 4. यह आपको त्रुटि दर का संकेत दे सकता है (लेकिन अलग-अलग एल्गोरिदम में अलग-अलग निष्ठा आवश्यकताएं होंगी)। 5।$F$$n$$F$$n$

कोड सुधारने में त्रुटि चुनें। यह आपको बताएगा कि त्रुटि दर लिए, आपको प्रत्येक तार्किक qubit के लिए कितने भौतिक qubits की आवश्यकता है । 6. अब आप क्वांटम कंप्यूटर "इंजीनियरिंग" की लागत (सहायक की संख्या के संदर्भ में आवश्यक) की साजिश कर सकते हैं।$E$

अब आप देख सकते हैं कि प्रश्न पूछने के लिए आपको यहाँ क्यों आना पड़ा और इसका उत्तर किसी पाठ्यपुस्तक में नहीं था:

चरण 1 कार्यान्वयन के प्रकार पर निर्भर करता है (NMR, फोटोनिक्स, SQUIDS, आदि)
चरण 2 बहुत कठिन है। डेकोहरेंस-फ्री डायनेमिक्स को 64 क्विबिट के लिए भौतिक सन्निकटन के बिना सिम्युलेटेड किया गया है , लेकिन गैर-मार्कोवियन, गैर-पर्टुरेटिव डायनिक्स विथ डेकोरेन्स वर्तमान में 16 क्विबिट तक सीमित है ।
चरण 4 एल्गोरिथ्म पर निर्भर करता है। तो भौतिक जटिलता का कोई "सार्वभौमिक स्केलिंग" नहीं है, भले ही एक विशेष प्रकार के कार्यान्वयन (जैसे एनएमआर, फोटोनिक्स, स्क्वॉयड, आदि) के साथ काम कर रहे हों।
चरण 5 त्रुटि सुधार कोड की पसंद पर निर्भर करता है

तो, अपने दो सवालों के जवाब देने के लिए विशेष रूप से:

$100$$10$$100^2$$100!$$100^{100}$

यह चरण 1 में आपकी पसंद पर निर्भर करता है , और कोई भी चरण 1 से चरण 3 के माध्यम से सभी तरह से अभी तक जाने में सक्षम नहीं हुआ है, एक विशिष्ट एल्गोरिथ्म के लिए, यहां तक ​​कि संख्या की संख्या के संबंध में भौतिक जटिलता के लिए एक सटीक सूत्र प्राप्त करने के लिए। तो यह अभी भी एक खुला प्रश्न है, खुले क्वांटम सिस्टम की गतिशीलता की नकल करने की कठिनाई से सीमित है।

क्या हमारे पास यह मानने का कोई कारण है कि यह कमोबेश पूर्व है, और बाद का नहीं?

$n!$$n^{100}$$n$

Comments

$n$$\rho$$(\mathbb{C}^2)^{\otimes n}$$n$$\rho$$n$

क्या आप "infinitesimal गतिशीलता" से मतलब है? सदिश क्षेत्र का निर्धारण किस बिंदु पर गतिकी द्वारा किया जाता है? क्या (फिशर मीट्रिक टेन्सर क्षेत्र का उपयोग करके) के मान की गणना करें? क्या आपका मतलब वेक्टर फ़ील्ड के मान की गणना करना है? यह संभवतः एक अच्छा विचार प्रतीत होता है, लेकिन अगर यह है कि मुझे लगता है कि आप का मतलब है, जो कि टी = 0 पर infinitesimal समय के लिए decoherence को देखना है, तो मुझे नहीं पता कि यह मीट्रिक के रूप में कितना मूल्यवान है, क्योंकि यह लेता है डिकॉयर्सेंस के लिए अपनी पूरी ताकत तक पहुंचने का समय, क्योंकि डेकोरेन्स की ताकत को स्नान प्रतिक्रिया समारोह की विशेषता है, जो टी के साथ अभिन्न है।

— user1271772

$(M_n , g)$$n$$M_n$$\rho$$T_\rho M_n$$r(\rho)$। यदि आप सभी संभावित राज्यों में वर्चस्व चाहते हैं तो ग्रेडिएंट एसेंट करें। यह सदिश क्षेत्र को परिभाषित करने वाले डिकॉरेन्स की दर का एक बहुत बड़ा हिस्सा है जो गतिशीलता को परिभाषित करता है। इसका उपयोग उस दर सीमा के कारण बड़े पैमाने पर भी काढ़े को बाध्य करने के लिए किया जा सकता है।

— हुसैन

Answer 2

सर्किट की जटिलता

मुझे लगता है कि पहला मुद्दा वास्तव में यह समझना है कि क्वांटम प्रणाली को 'नियंत्रित' करने का क्या मतलब है। इसके लिए, यह शास्त्रीय मामले के बारे में सोचना शुरू करने में मदद कर सकता है।

$n$$2^n$$2$$2^{2^n}$$2^n/n$$k$$2^n$

$n$$\epsilon$$O(n^2)$, फिर एक 1000-क्वाइब मशीन को उचित रूप से नियंत्रित करना 10-क्वाइब मशीन को नियंत्रित करने की तुलना में 10000 गुना कठिन है, इस अर्थ में कि आपको इसे अधिक समय तक क्षय से बचाने की आवश्यकता है, इसे लागू करें कि कई और द्वार आदि।

असम्बद्धता

टिप्पणियों के बाद,

आइए एक विशिष्ट एल्गोरिथ्म या एक विशिष्ट प्रकार के सर्किट पर विचार करें। मेरे प्रश्न को शांत किया जा सकता है - क्या कोई संकेत, सैद्धांतिक या व्यावहारिक है कि कैसे (इंजीनियरिंग) विकृति को रोकने की समस्या है क्योंकि हम इन सर्किटों की संख्या को मापते हैं?

यह दो शासनों में विभाजित है। छोटे पैमाने पर क्वांटम उपकरणों के लिए, त्रुटि सुधार से पहले, आप कह सकते हैं कि हम NISQ शासन में हैं । यह उत्तर संभवतः उस शासन के लिए सबसे अधिक प्रासंगिक है। हालाँकि, जैसे-जैसे आपका डिवाइस बड़ा होता जाएगा, वैसे-वैसे रिटर्न कम होते जाएंगे; इंजीनियरिंग के कार्य को पूरा करने के लिए कुछ और चौकियाँ जोड़ना कठिन और कठिन हो जाता है।

$p$$\leq p$$p$$p$$1\%$$O(-\log\epsilon)$$\epsilon$$O(-\log\epsilon)$पैमाने के कारक। विशिष्ट संख्याओं के लिए, आप एंड्रयू स्टीन द्वारा की गई गणनाओं के प्रकार में दिलचस्पी ले सकते हैं: यहां देखें (हालांकि संख्याओं को शायद अब थोड़ा सुधार किया जा सकता है)।

क्या वास्तव में काफी सम्मोहक है यह देखने के लिए कि इन संबंधों में गुणांक कैसे बदलते हैं क्योंकि आपकी गेट त्रुटि थ्रेसहोल्ड त्रुटि के करीब और करीब आती है। मैं अपने हाथों को एक उपयुक्त गणना पर रखने के लिए प्रतीत नहीं कर सकता (मुझे यकीन है कि एंड्रयू स्टीन ने कुछ बिंदु पर एक किया था। संभवतः यह एक ऐसी बात थी जो मैं गया था।), लेकिन वे वास्तव में बुरी तरह से उड़ाते हैं, इसलिए आप संचालन करना चाहते हैं। दहलीज के नीचे एक सभ्य मार्जिन के साथ।

उस ने कहा, इन विचारों के प्रासंगिक होने से पहले आपकी वास्तुकला के बारे में कुछ धारणाएं बनानी होंगी। उदाहरण के लिए, पर्याप्त समानता होनी चाहिए; आपको कंप्यूटर के विभिन्न हिस्सों पर एक साथ कार्य करने में सक्षम होना चाहिए। यदि आप एक समय में केवल एक ही कार्य करते हैं, तो त्रुटियाँ हमेशा बहुत जल्दी होंगी। आप यह भी चाहते हैं कि कोई भी चीज़ खराब न हो, आप अपनी निर्माण प्रक्रिया को बड़ा कर सकें। ऐसा लगता है कि, उदाहरण के लिए, सुपरकंडक्टिंग क्विबिट इसके लिए काफी अच्छा होगा। उनका प्रदर्शन मुख्य रूप से इस बात पर निर्भर करता है कि आप सर्किट के विभिन्न हिस्सों को कितने सही तरीके से बना सकते हैं। आप इसे एक के लिए सही पाते हैं, और आप कई क्विट बनाने के लिए कई बार दोहरा सकते हैं।

Comments

यह अनिवार्य रूप से मेरा मतलब है, लेकिन एल्गोरिथम की जटिलता को दूर करना, और इंजीनियरिंग की जटिलता पर ध्यान केंद्रित करना - विशेष रूप से decoherence को रोकना। आइए एक विशिष्ट एल्गोरिथ्म या एक विशिष्ट प्रकार के सर्किट पर विचार करें। मेरे प्रश्न को शांत किया जा सकता है - क्या कोई संकेत, सैद्धांतिक या व्यावहारिक है कि कैसे (इंजीनियरिंग) विकृति को रोकने की समस्या है क्योंकि हम इन सर्किटों की संख्या को मापते हैं?

— कीथ रश

@ कीथ्रश ओके! अब मुझे समझ में आने लगा कि आप क्या हैं :) संक्षेप में, यह दोष सहिष्णुता की कम्प्यूटेशनल जटिलता है - एक निश्चित संख्या में उच्च गुणवत्ता वाले तार्किक क्वेट प्राप्त करने के लिए समय और स्थान ओवरहेड्स क्या हैं - और कुछ ऐसा है जो लोगों ने काम किया है काफी ध्यान से। मैं संबंधित जानकारी को कल खोदने की कोशिश करूंगा, जब तक कि कोई और मुझे इसके लिए नहीं मारता।

— दफ्तुल्ली

Answer 3

क्वांटम सिस्टम के बारे में सोचने का एक तरीका है, जो त्रुटि सुधार के साथ होता है, और एक एन्कोडेड एल्गोरिथ्म में निर्मित होता है, या सामान्य मामले में भी जहां हम एक एल्गोरिथ्म प्रोग्राम करते हैं, एक क्वाइल की निष्ठा सुनिश्चित करता है। तो, की एक प्रणाली के लिए$m$$n$

तो एक अर्थ में, "निष्ठा" एक अनुमान दे सकती है, प्रोसेसर में त्रुटि कितनी है। यदि आप क्वांटम कंप्यूटर का उपयोग रासायनिक प्रतिक्रिया गतिकी, या किसी अन्य समस्या की गणना करने के लिए करते हैं, जो क्वांटम स्पीडअप (या यहां तक ​​कि "क्वांटम वर्चस्व" अंततः प्राप्त करने के लिए) का उपयोग कर सकता है, तो आप डिक्रिप्शन द्वारा प्रभावित हो सकते हैं, या यहां तक ​​कि आप कितनी जल्दी सुपरपोजिशन प्राप्त कर सकते हैं। , त्रुटि मुक्त ऑपरेशन में एक भूमिका निभा सकता है। "निष्ठा" एक त्रुटि अनुमान दे सकती है, चाहे हम 1 qubit का उपयोग करें, या 200 qubit कहें। एडिबैटिक मामले में, जहां रिसाव की गलतियां होती हैं, आप उच्च निष्ठा देने के लिए "हैमिल्टनियन" को "इंजीनियर" भी कर सकते हैं।

ध्यान दें कि कुशल त्रुटि सुधार की सुविधा के लिए, 99.5% + की त्रुटि दर अत्यधिक वांछनीय है। त्रुटि दर सटीकता के लिए क्वैब के बीच इलेक्ट्रॉन स्पिन पढ़ने के प्रकार की हो सकती है। इस तरह के मामले में, 99.5% या 99.8% (पांच या छह सिग्मा टाइप आत्मविश्वास) की त्रुटि दर, सिस्टम को स्केल करते समय कम ओवरहेड्स (त्रुटि सुधार) की आवश्यकता होगी।