क्वांटम उलझाव क्या है, और यह क्वांटम त्रुटि सुधार में क्या भूमिका निभाता है?

Question

मैं समझना चाहता हूं कि क्वांटम उलझाव क्या है और क्वांटम त्रुटि सुधार में क्या भूमिका है।

नोट : @JamesWootton और @NielDeBeaudrap के सुझावों के अनुसार, मैंने यहां शास्त्रीय उपमा के लिए एक अलग प्रश्न पूछा है ।

Comments

मैं यह तर्क दूंगा कि यह पूछा गया थोड़ा अधिक व्यापक है। शायद "क्वांटम त्रुटि सुधार के लिए उलझाव क्यों आवश्यक है" जैसे कुछ और, शास्त्रीय उपमा के लिए एक अलग प्रश्न है।

— जेम्स वॉटसन

मैंने एक प्रश्न का संपादन किया, फिर महसूस किया कि यह पिरामिडों पर मेरे उत्तर के प्रति पूर्वाग्रह करेगा। लेकिन @ चन्नी, मैं जेम्स से सहमत हूं कि आपको दो प्रश्नों में से एक पर ध्यान देना चाहिए।

— निएल डे ब्यूड्रैप

@JamesWootton और Niel, सलाह के लिए धन्यवाद। मैं इसे अभी से ध्यान में रखूंगा। लेकिन चूँकि इस प्रश्न के तीन उत्तर पहले से ही हैं, क्या यह ठीक होगा अगर मैं इसे दो अलग-अलग प्रश्नों में विभाजित करूँ?

— चिन्नी

@ चन्नी मुझे लगता है कि यह ठीक है। शायद आपको उत्तरदाताओं को उनके उत्तर के नीचे टिप्पणियों में सूचित करना चाहिए कि वे अपने उत्तर को (यदि लागू हो) भी 'विभाजित' कर सकते हैं।

— छिपकली

Answer 1

चर के बीच शास्त्रीय संबंध तब होते हैं जब चर यादृच्छिक दिखाई देते हैं , लेकिन जिनके मान किसी तरह व्यवस्थित रूप से सहमत (या असहमत) पाए जाते हैं। हालांकि, हमेशा कोई (या कुछ) होगा जो 'जानता है' कि वास्तव में किसी भी मामले में चर क्या कर रहे हैं।

अंतिम भाग को छोड़कर चर के बीच उलझाव एक समान है। यादृच्छिकता वास्तव में यादृच्छिक है। माप के समय तक यादृच्छिक परिणाम पूरी तरह से अनिर्दिष्ट हैं। लेकिन किसी तरह चर, हालांकि वे आकाशगंगाओं द्वारा अलग हो सकते हैं, फिर भी सहमत होना जानते हैं।

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तो त्रुटि सुधार के लिए इसका क्या मतलब है? आइए एक साधारण बिट के लिए त्रुटि सुधार के बारे में सोचकर शुरू करें ।

शास्त्रीय बिट को संग्रहीत करते समय, जिस प्रकार की त्रुटियों के बारे में आपको चिंता करने की आवश्यकता है, वे बिट फ़्लिप और इरेज़र जैसी चीजें हैं। तो हो सकता है कि कुछ आपके 0लिए एक 1या इसके विपरीत बन जाए । या आपका बिट कहीं भटक सकता है।

जानकारी की सुरक्षा के लिए, हम यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि हमारे तार्किक बिट्स (वास्तविक जानकारी जिसे हम संग्रहीत करना चाहते हैं) केवल एकल भौतिक बिट्स पर केंद्रित नहीं हैं । इसके बजाय, हमने इसे फैलाया। इसलिए, हम एक सरल पुनरावृत्ति एन्कोडिंग का उपयोग कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, जहां हम अपनी जानकारी को कई भौतिक बिट्स पर कॉपी करते हैं। इससे हम अपनी जानकारी अभी भी प्राप्त कर सकते हैं, भले ही कुछ भौतिक बिट्स विफल हो गए हों।

यह त्रुटि सुधार का मूल काम है: हम अपनी जानकारी को बाहर फैलाते हैं, ताकि त्रुटियों को गड़बड़ाने के लिए इसे कठिन बना सकें।

क्वैब के लिए, चिंता करने के लिए और अधिक प्रकार की त्रुटि है। उदाहरण के लिए, आप यह जान सकते हैं कि qup सुपरपोज़िशन स्टेट्स में हो सकते हैं, और माप इनको बदल देते हैं। अनवांटेड माप इसलिए शोर का एक और स्रोत है, जो पर्यावरण के साथ बातचीत के कारण होता है (और इसलिए कुछ अर्थों में 'हमारे क्वेटर्स को देखते हुए')। इस प्रकार के शोर को डीकोहरेंस के रूप में जाना जाता है।

तो यह चीजों को कैसे प्रभावित करता है? मान लीजिए कि हम पुनरावृत्ति एन्कोडिंग का उपयोग क्वबिट्स के साथ करते हैं। इसलिए हम प्रतिस्थापित करते हैं साथ हमारे वांछित तार्किक क्वाइल स्टेट में | 000 ... 000 and , कई भौतिक qubits में दोहराया, और प्रतिस्थापित | 1 ⟩ साथ | 111 ... 111⟩ । यह फिर से बिट फ़्लिप और इरेज़र से बचाता है, लेकिन यह आवारा माप के लिए इसे और भी आसान बनाता है। अब पर्यावरण मापता है कि क्या हमारे पास है | 0 ⟩ या | 1 1 कई क्वैब में से किसी एक को देखकर। यह डिकॉयर्स के प्रभाव को बहुत मजबूत बना देगा, जो कि हम बिल्कुल नहीं चाहते थे!$|0\rangle$$|000...000\rangle$$|1\rangle$$|111...111\rangle$$|0\rangle$$|1\rangle$

इसे ठीक करने के लिए, हमें अपनी तार्किक qubit जानकारी को विचलित करने के लिए decoherence के लिए इसे कठिन बनाने की आवश्यकता है, जैसे कि हमने बिट फ़्लिप और इरेज़ के लिए इसे कठिन बना दिया था। इसके लिए, हमें अपनी तार्किक qubit को मापने के लिए कठिन बनाना होगा। इतना कठिन भी नहीं है कि हम इसे जब चाहें, निश्चित रूप से नहीं कर सकते, लेकिन पर्यावरण को आसानी से करने के लिए बहुत कठिन है। इसका मतलब यह है कि यह सुनिश्चित करना कि एक एकल भौतिक qubit को मापने के लिए हमें तार्किक qubit के बारे में कुछ भी नहीं बताना चाहिए। वास्तव में, हमें इसे बनाना चाहिए ताकि क्वैबिट के बारे में किसी भी जानकारी को निकालने की तुलना में क्वाइट्स का एक पूरा गुच्छा मापा जाए और उनके परिणामों की आवश्यकता हो। कुछ अर्थों में, यह एन्क्रिप्शन का एक रूप है। आपको पहेली के पर्याप्त टुकड़ों की आवश्यकता है ताकि किसी भी विचार का पता चल सके कि तस्वीर क्या है।

हम इसे शास्त्रीय रूप से करने की कोशिश कर सकते हैं। जानकारी कई बिट्स के बीच जटिल सहसंबंधों में फैल सकती है। पर्याप्त बिट्स को देखकर और सहसंबंधों का विश्लेषण करके, हम तार्किक बिट के बारे में कुछ जानकारी निकाल सकते हैं।

लेकिन यह जानकारी प्राप्त करने का एकमात्र तरीका नहीं होगा। जैसा कि मैंने पहले उल्लेख किया है, शास्त्रीय रूप से हमेशा कोई न कोई ऐसा कुछ होता है जो पहले से ही सब कुछ जानता है। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता है कि यह एक व्यक्ति है, या बस हवा में पैटर्न का कारण है जब एन्क्रिप्शन किया गया था। किसी भी तरह से, जानकारी हमारे एन्कोडिंग के बाहर मौजूद है, और यह अनिवार्य रूप से एक ऐसा वातावरण है जो सब कुछ जानता है। इसके अस्तित्व का मतलब है कि अप्रासंगिकता एक अपूरणीय डिग्री के साथ हुई है।

इसलिए हमें उलझाव की जरूरत है। इसके साथ, हम क्वांटम चर के सही और अनजाने यादृच्छिक परिणामों में सहसंबंधों का उपयोग करके जानकारी को छिपा सकते हैं।

Answer 2

Entanglement क्वांटम सूचना और क्वांटम गणना का एक स्वाभाविक हिस्सा है। यदि यह मौजूद नहीं है --- यदि आप चीजों को इस तरह से करने की कोशिश करते हैं कि उलझाव पैदा नहीं होता है --- तो आपको क्वांटम कम्प्यूटेशन से कोई लाभ नहीं मिलता है। और अगर एक क्वांटम कंप्यूटर कुछ दिलचस्प कर रहा है, तो यह बहुत अधिक उलझाव पैदा करेगा, कम से कम साइड-इफ़ेक्ट के रूप में।

हालांकि, इसका मतलब यह नहीं है कि उलझाव "क्या क्वांटम कंप्यूटरों को जाता है" है। Entanglement एक मशीन के कताई गियर की तरह है: कुछ भी नहीं होता है यदि वे मोड़ नहीं रहे हैं, लेकिन इसका मतलब यह नहीं है कि उन गियर को जल्दी से स्पिन करने के लिए पर्याप्त है मशीन को वह करना है जो आप चाहते हैं। (Entanglement है के लिए इस तरह से एक आदिम संसाधन संचार , लेकिन नहीं गणना के लिए जहाँ तक किसी को भी देखा गया है।)

यह क्वांटम त्रुटि सुधार के लिए उतना ही सही है जितना कि गणना के लिए। त्रुटि सुधार के सभी रूपों की तरह, क्वांटम त्रुटि सुधार एक बड़ी प्रणाली के चारों ओर जानकारी वितरित करके काम करता है, विशेष रूप से सूचना के कुछ औसत दर्जे के टुकड़ों के सहसंबंधों में। एंटैंग्लमेंट केवल सामान्य तरीका है जिसमें क्वांटम सिस्टम सहसंबद्ध हो जाते हैं, इसलिए यह कोई आश्चर्य नहीं होना चाहिए कि एक अच्छा क्वांटम त्रुटि सुधार कोड फिर बहुत सारे उलझाव को शामिल करता है। लेकिन इसका मतलब यह नहीं है कि "आपके सिस्टम को उलझाव से भरा पंप" देने की कोशिश करना, कुछ प्रकार के हीलियम गुब्बारे की तरह, कुछ ऐसा है जो क्वांटम जानकारी की सुरक्षा के लिए उपयोगी या सार्थक है।

जबकि क्वांटम त्रुटि सुधार को कभी-कभी उलझाने के संदर्भ में अस्पष्ट रूप से वर्णित किया जाता है, अधिक महत्वपूर्ण यह है कि इसमें विभिन्न 'वेधशालाओं' का उपयोग करके समता जांच शामिल है। इसका वर्णन करने के लिए सबसे महत्वपूर्ण उपकरण स्टेबलाइजर औपचारिकता है। स्टेबलाइज़र की औपचारिकता का उपयोग कुछ राज्यों को बड़ी मात्रा में उलझाव के साथ करने के लिए किया जा सकता है, लेकिन इससे भी महत्वपूर्ण बात यह है कि यह आपको बहु-गुणक गुणों ("वेधशाला") के बारे में काफी आसानी से अनुमति देता है। उस दृष्टिकोण से, एक को यह समझ में आ सकता है कि क्वांटम त्रुटि सुधार सामान्य रूप से उलझाव की तुलना में स्पिन-हैमिल्टन के कम-ऊर्जा कई-शरीर भौतिकी से बहुत अधिक निकटता से संबंधित है।

Answer 3

उलझाव के बराबर कोई शास्त्रीय नहीं है। Entanglement शायद Dirac (bra-ket) अंकन का उपयोग करके सबसे अच्छी तरह से समझा जाता है।

प्रत्येक क्वेट (ket) अवस्था में हो सकता है या राज्य में | 1 ⟩ या एक superposition में अल्फा | 0 ⟩ + बीटा | 1 that जहां α और β जटिल संख्याएं हैं जो पूरा करते हैं | α | 2 + | β | 2 = 1 । यदि आपके पास दो qubits हैं, तो 2-qubit प्रणाली के आधार राज्य हैं | 0 ⟩ ⊗ | 0 ⟩ , | 0 ⟩ ⊗ $\left|0\right>$$\left|1\right>$$\alpha\left|0\right> + \beta \left|1\right>$$\alpha$$\beta$$|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1$$\left|0\right> \otimes \left|0\right>$ , | 1 ⟩ ⊗ | 0 ⟩ , और | 1 ⟩ ⊗ | 1 ⟩ । अंकन को सरल बनाने के लिए, भौतिक विज्ञानी अक्सर इन्हें लिखते हैं | 00 ⟩ , | 01 ⟩ , | 10 ⟩ , और | 11 ⟩ । इसलिए राज्य में होना | 01 | का मतलब है कि राज्य में पहली क्वाइब | 0 और दूसरी रानी राज्य में है | 1 ⟩ ।$\left|0\right> \otimes \left|1\right>$$\left|1\right> \otimes \left|0\right>$$\left|1\right> \otimes \left|1\right>$$\left|00\right>$$\left|01\right>$$\left|10\right>$$\left|11\right>$$\left|01\right>$$\left|0\right>$$\left|1\right>$

अब तरह की एक सुपरपोजिशन पर विचार करें | 01 ⟩ + बीटा | 10 ⟩ । इसका मतलब यह है कि राज्य में पहली qubit है | 0 ⟩ संभावना के साथ | α | 2 और राज्य में | 1 in अन्यथा, दूसरी श्रेणी में रहते हुए हमेशा विपरीत स्थिति में होता है कि पहले एक में है: दो कण उलझे हुए हैं।$\alpha \left|01\right> + \beta \left|10\right>$$\left|0\right>$$|\alpha|^2$$\left|1\right>$

यह महत्वहीन है कि इस उदाहरण में, उलझी हुई कतारें विपरीत राज्यों में होती हैं: वे एक ही अवस्था में हो सकती हैं और फिर भी उलझ सकती हैं। क्या मायने रखता है कि उनके राज्य एक दूसरे से स्वतंत्र नहीं हैं। इसने भौतिकविदों के लिए प्रमुख सिरदर्द पैदा कर दिया है क्योंकि इसका मतलब है कि qubits (या उन्हें ले जाने वाले कण) एक साथ सख्ती से स्थानीय गुण नहीं हो सकते हैं और यथार्थवाद नामक एक अवधारणा द्वारा शासित होते हैं (उनके राज्यों को आंतरिक संपत्ति के रूप में दर्शाते हैं)। आइंस्टीन ने प्रसिद्ध परिणामी विरोधाभास कहा (यदि आप अभी भी स्थानीयता और यथार्थवाद को मानते हैं) "दूरी पर डरावना कार्य।"

क्वांटम त्रुटि सुधार में Entanglement एक विशेष भूमिका नहीं निभाता है: त्रुटि सुधार कम्प्यूटेशनल आधार (जिसमें उलझाव नहीं है) में हर राज्य के लिए काम करना चाहिए। फिर यह स्वचालित रूप से इन राज्यों के सुपरपोजिशन (जो राज्यों को उलझा सकता है) के लिए भी काम करता है।

Comments

मैं इसे बेहतर ढंग से समझना चाहता हूं, अगर उलझाव है, तो क्या इन त्रुटि सुधार एल्गोरिदम के प्रदर्शन में सुधार होगा या यह खराब हो जाएगा? इसके अलावा, क्या उलझाव के बिना क्वांटम सिस्टम होना संभव है ?

— चन्नी

उलझना या होना क्वांटम त्रुटि सुधार को प्रभावित नहीं करता है। हां, उलझनों के बिना क्वांटम सिस्टम हैं; राज्य एक ऐसी प्रणाली में एक उत्पाद राज्य कहा जाता है क्योंकि यह (पहले qubit के राज्य) के रूप में लिखा जा सकता है (दूसरा qubit के राज्य), आदि$\otimes$

— पिरामिड

@ पिरामिड: मुझे लगता है कि बयान "उलझाव के बराबर कोई शास्त्रीय नहीं है '(जबकि कहने के लिए आम है) थोड़ा मजबूत बयान है। एक शास्त्रीय एनालॉग है , हालांकि यह किसी भी तरह से गहराई से रहस्यमय नहीं है। हम इसे हर बार आमंत्रित करते हैं। समझाना कि क्या उलझाव है --- और फिर साहसपूर्वक दावा करें कि "उलझाव का कोई शास्त्रीय एनालॉग नहीं है" ताकि लोगों को उसी शास्त्रीय एनालॉग के साथ उलझने से बचाया जा सके। लेकिन त्रुटि सुधार के संदर्भ में, उस शास्त्रीय एनालॉग की भूमिका ठीक वही है जो है। इस मुद्दे पर, क्योंकि यह वही है जो शास्त्रीय त्रुटि सुधार कार्य करता है।

— नील डे ब्यूड्रैप

@NieldeBeaudrap जिस तरह से मैं उलझाव (एक गैर-उत्पाद राज्य) को समझता हूं, यह कथन अत्यधिक मजबूत होने के बजाय सटीक है।

— पिरामिड

सहसंबद्ध शास्त्रीय यादृच्छिक चर की एक जोड़ी भी एक गैर-उत्पाद राज्य है, और यह इस तरह से सटीक है कि यह उलझाव के लिए एक शास्त्रीय एनालॉग है। जो आपके कथन को "मजबूत" बनाता है वह यह है कि 'गैर-अनुरूप' घटना के बजाय 'एनालॉग' के बीच में जहां कोई लाइन खींचता है, वहां पसंद की स्वतंत्रता होती है, और आप एक उच्च सीमा पर रेखा खींचते हैं (जैसा है) ऐतिहासिक कारणों से उलझाव के साथ पारंपरिक)।

— निएल डे बेउड्रप

Answer 4

शुद्ध कहे जाने वाले कोड की एक निश्चित श्रेणी के लिए, क्वांटम त्रुटि सुधार के लिए उलझाव की मौजूदगी एक आवश्यक और पर्याप्त आवश्यकता है , यानी एक निश्चित संख्या में सबसिस्टम को प्रभावित करने वाली सभी त्रुटियों को ठीक करने के लिए।

क्वांटम त्रुटि को ठीक करने के लिए क्ले-लफलामे की शर्तों को याद करें कोड को त्रुटियों के एक निश्चित समूह का पता लगाने में सक्षम होने के लिए $\{E_\alpha\}$ : किसी भी असामान्य आधार को चुनें $|i_\mathcal{Q}\rangle$ कि फैला कोड अंतरिक्ष। तब त्रुटि $E_\alpha$ का पता लगाया जा सकता है अगर और केवल अगर

$$\begin{equation} \langle i_\mathcal{Q} | E_\alpha | j_\mathcal{Q} \rangle = \delta_{ij} C(E_\alpha). \quad\quad\quad (1) \end{equation}$$

ध्यान दें कि $C(E_\alpha)$ एक स्थिर है जो केवल विशिष्ट त्रुटि $E_\alpha$ पर निर्भर करता है , लेकिन $i$ और $j$ पर नहीं । (इसका मतलब यह है कि त्रुटि $E_\alpha$ सभी राज्यों में उसी तरह कोड उप-क्षेत्र को प्रभावित करती है)। के मामले में $C(E_\alpha) \propto \operatorname{tr}(E_\alpha)$ , कोड कहा जाता है, तो शुद्ध । माना जाता है कि कई स्टेबलाइजर कोड इस रूप के हैं, हालांकि किट्टेव के टॉरिक कोड नहीं।

हमें एक त्रुटि-मॉडल मान लें जहां हम केवल इस बात में रुचि रखते हैं कि हमारी त्रुटियां कितने सबसिस्टम हैं। यदि हमारा कोड सभी त्रुटियों को पहचान सकता है $E_\alpha$ जो कि अधिकतम $(d-1)$ उपतंत्रों पर अनायास कार्य करता है, तो कोड को दूरी $d$ कहा जाता है । परिणामस्वरूप, $\lfloor(d-1)/2\rfloor$ सबसिस्टम को प्रभावित करने वाली त्रुटियों के किसी भी संयोजन को सुधारा जा सकता है ।

इस प्रकार है कि दूरी $d$ शुद्ध कोडों के लिए , कोड उप-क्षेत्र में पड़े प्रत्येक वेक्टर को अधिकतम किसी भी द्विदलीय में उलझाया जाना चाहिए, जिसका छोटा सबसिस्टम सबसे अधिक आकार में है $(d-1)$ : यह देखने के लिए, ध्यान दें कि प्रत्येक $E_\alpha \neq \mathbb{1}$ और वेक्टर $|v_\mathcal{Q} \rangle$ उपस्पेस में (हमारे ONB मनमाने ढंग से चुना गया था), एक कि है

$$\begin{equation} \langle E \rangle = \operatorname{tr}(E |v_\mathcal{Q} \rangle\langle v_\mathcal{Q}|) = \langle v_\mathcal{Q} |E_\alpha|v_\mathcal{Q} \rangle = \operatorname{tr}(E) = 0. \end{equation}$$

इस प्रकार अधिकांश $(d-1)$ पार्टियों पर सभी वेधशालाएं गायब हो रही हैं, और सभी कम घनत्व वाले मेट्रिसेस पर $(d-1)$ पार्टियों को अधिकतम मिश्रित किया जाना चाहिए। इसका तात्पर्य है कि $|v_\mathcal{Q}\rangle$ अधिकतम के किसी भी चुनाव के लिए उलझा है $(d-1)$ दलों बनाम शेष।

परिशिष्ट (पर्याप्तता के लिए): Eq के समतुल्य परिभाषा के रूप में। (1): सभी त्रुटियों $E_\alpha$ की तुलना में कम से अभिनय $d$ स्थानों किया जा सकता है का पता चला , तभी सभी के लिए है, तो $|v\rangle, |w\rangle$ में कोड सबस्पास निम्नलिखित शर्त रखता है,

$$\begin{equation} \langle v| E_\alpha | v\rangle = \langle w | E_\alpha| w\rangle. \end{equation}$$

शुद्ध कोड के मामले में, उपरोक्त अभिव्यक्ति गायब हो जाती है। यह इस प्रकार है कि यदि किसी के पास एक उप-स्थान है जहां हर राज्य अधिकतम (डी -1) पार्टियों बनाम बाकी के द्विदलीय के लिए उलझा हुआ है, तो यह दूरी $d$ का एक शुद्ध कोड है ।

tl; dr: एक बड़ी दूरी $d$ , एक शुद्ध कोड में अत्यधिक उलझे हुए राज्य होते हैं। यह कोड के अस्तित्व के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त आवश्यकता है।

परिशिष्ट: हमने इस प्रश्न पर आगे गौर किया, विवरण मैक्सिमल डिस्टेंस और हाइली एंटैंगल्ड सबस्पेस के पेपर क्वांटम कोड में पाया जा सकता है । एक ट्रेड-ऑफ है: क्वांटम कोड जितनी अधिक त्रुटियों को सही कर सकता है, कोड स्पेस में प्रत्येक वेक्टर को उतना अधिक उलझना होगा। यह समझ में आता है, क्योंकि यदि जानकारी जहां कई कणों के बीच वितरित नहीं की जाती है, तो पर्यावरण - कुछ क्विट को पढ़कर - कोड स्पेस में संदेश को पुनर्प्राप्त कर सकता है। यह अनिवार्य रूप से कोडिंग संदेश को नष्ट कर सकता है, नॉन-क्लोनिंग प्रमेय के कारण। इस प्रकार एक उच्च दूरी को उच्च उलझाव की आवश्यकता होती है।

Answer 5

यहां क्वांटम कोड्स में उलझने की भूमिका के बारे में सोचने का एक तरीका है जो मुझे लगता है कि फेलिक्स हबर्स की प्रतिक्रिया का पूरक है।

मान लीजिए कि हम एक अधिकतम उलझा हुआ राज्य लेते हैं $|\Psi\rangle_{RQ}$ और $Q$ सिस्टम को कुछ क्वांटम त्रुटि-सुधार कोड में रिकॉर्ड करें । मान लीजिए कि कोड सब -सिस्टम S 1 , S 2 , S 3 में $Q$ रिकॉर्ड करता है , जो कि किसी एक सबसिस्टम को मिटाने के लिए ठीक किया जा सकता है (मैंने एक सरल उदाहरण लिया है, लेकिन सामान्यीकरण संभव हैं)।$S_1,S_2,S_3$

फिर, त्रुटि सुधार स्थितियों के बारे में सोचने का एक एंट्रोपिक तरीका है (जैसा कि अधिक बीजीय घुटने-लाफलामे की स्थिति की तुलना में)। विशेष रूप से, यदि

$$I(R:S_3) = 0$$

फिर यह निम्नानुसार है कि $Q$ को $S_1S_2$ से पुनर्प्राप्त किया जा सकता है । उदाहरण के लिए देखें arXiv: इस तथ्य की एक अच्छी प्रस्तुति के लिए quant-ph / 0112106 ।

त्रुटि सुधार के लिए इस एन्ट्रोपिक दृष्टिकोण का उपयोग करना कोडों में उलझाव को समझने के लिए काफी सीधे मार्ग हैं। उदाहरण के लिए, हम यह साबित कर सकते हैं कि,

$$I(S_1S_2:S_3) \geq 2\log d_R$$

निम्नलिखित नुसार। पहले हम इसकी परिभाषा के संदर्भ में यह पारस्परिक जानकारी लिखते हैं,

$$I(S_1S_2:S_3) = S(S_1S_2) + S(S_3) - S(S_1S_2S_3)$$

$X$$RS_1S_2S_3X$

$$I(S_1S_2:S_3) = S(S_3XR) + S(S_3) - S(XR)$$

Note that since we can recover $Q$ from $S_1S_2$, $I(R:S_3X)=I(R:X)=0$. Using this in the above

$$I(S_1S_2:S_3) = S(S_3|X) + S(S_3)$$

Finally, we can bound the right hand side here below by $2 \log d_R$. The intuition behind how we can do this is that $S_3$ is ``significant'' in the sense that there is a set of shares (say $S_1$) which itself reveals no information about $Q$, but together with $S_3$ allows $Q$ to be recovered. Given this, we expect $S_3$ must carry $2\log d_R$ of entropy, since transferring it can be used to establish $2\log d_R$ worth of entanglement. A similar intuition appears in arXiv:quant-ph/0608223. More precisely we consider the quantity $I(R:S_1S_3) - I(R:S_1)$, which some basic manipulations reveal

$$I(R:S_1S_3) - I(R:S_1) = S(S_3|S_1) + S(S_3|XS_2) \leq S(S_3) + S(S_3|X)$$

But then we notice $I(R:S_1S_3) \geq 2\log d_R$ since $S_1S_3$ allows recovery of $Q$, while $I(R:S_1)=0$ by the entropic error correction condition. This lower bounds $S(S_3) + S(S_3|X)$ and so lower bounds $I(S_1S_2:S_3)$.