आप एक बिंदु का निर्धारण कैसे कर सकते हैं एक लाइन खंड पर दो अन्य बिंदुओं के बीच?

Question 1

मान लें कि आपके पास 2 बिंदुओं वाला एक दो आयामी विमान है (जिसे a और b कहा जाता है) प्रत्येक बिंदु पर x पूर्णांक और ay पूर्णांक द्वारा दर्शाया गया है।

आप यह निर्धारित कर सकते हैं कि a और b द्वारा परिभाषित रेखा खंड पर कोई अन्य बिंदु c है?

मैं अजगर का सबसे अधिक उपयोग करता हूं, लेकिन किसी भी भाषा में उदाहरण सहायक होंगे।

Question 2

जांचें कि क्या (बा) और (सीए) का क्रॉस उत्पाद है, जैसा कि डेरियस बेकन बताता है, अगर आपको बताते हैं कि अंक ए, बी और सी संरेखित हैं।

लेकिन, जैसा कि आप जानना चाहते हैं कि यदि c और b के बीच में है, तो आपको यह भी जांचना होगा कि (ba) और (ca) का डॉट उत्पाद धनात्मक है और a और b के बीच की दूरी के वर्ग से कम है।

गैर-अनुकूलित छद्मकोड में:

def isBetween(a, b, c):
    crossproduct = (c.y - a.y) * (b.x - a.x) - (c.x - a.x) * (b.y - a.y)

    # compare versus epsilon for floating point values, or != 0 if using integers
    if abs(crossproduct) > epsilon:
        return False

    dotproduct = (c.x - a.x) * (b.x - a.x) + (c.y - a.y)*(b.y - a.y)
    if dotproduct < 0:
        return False

    squaredlengthba = (b.x - a.x)*(b.x - a.x) + (b.y - a.y)*(b.y - a.y)
    if dotproduct > squaredlengthba:
        return False

    return True

Question 3

यहाँ है कि मैं यह कैसे करूँगा:

def distance(a,b):
    return sqrt((a.x - b.x)**2 + (a.y - b.y)**2)

def is_between(a,c,b):
    return distance(a,c) + distance(c,b) == distance(a,b)

Question 4

देखें कि क्या के पार उत्पाद b-aऔर c-aहै 0: साधन सभी बिंदुओं समरेख हैं कि। यदि वे हैं, तो जांचें कि क्या cनिर्देशांक a's और s के बीच का है b। जब तक x या y निर्देशांक का उपयोग करें, तब तक aऔर bउस अक्ष पर अलग होते हैं (या वे दोनों पर समान हैं)।

def is_on(a, b, c):
    "Return true iff point c intersects the line segment from a to b."
    # (or the degenerate case that all 3 points are coincident)
    return (collinear(a, b, c)
            and (within(a.x, c.x, b.x) if a.x != b.x else 
                 within(a.y, c.y, b.y)))

def collinear(a, b, c):
    "Return true iff a, b, and c all lie on the same line."
    return (b.x - a.x) * (c.y - a.y) == (c.x - a.x) * (b.y - a.y)

def within(p, q, r):
    "Return true iff q is between p and r (inclusive)."
    return p <= q <= r or r <= q <= p

यह उत्तर तीन अपडेट की गड़बड़ी हुआ करता था। उनसे सार्थक जानकारी: सुंदर कोड में ब्रायन हेस का अध्याय एक कोलीनियरिटी-परीक्षण फ़ंक्शन के लिए डिज़ाइन स्थान को कवर करता है - उपयोगी पृष्ठभूमि। विंसेंट के जवाब ने इसे बेहतर बनाने में मदद की। और यह हेस था जिसने एक्स या वाई निर्देशांक में से केवल एक का परीक्षण करने का सुझाव दिया था; मूल रूप से कोड के स्थान पर था ।andif a.x != b.x else

Question 5

यहाँ एक और दृष्टिकोण है:

मान लें कि दो बिंदु A (X1, y1) और B (x2, y2) हैं
उन बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा का समीकरण है (x-X1) / (y-y1) = (x2-X1) / (y2-y1) .. (बस ढलान को समान बनाते हुए)

बिंदु C (x3, y3) A & B के बीच स्थित होगा यदि:

x3, y3 उपरोक्त समीकरण को संतुष्ट करता है।
x3 झूठ 1 और x2 और y3 के बीच y1 और y2 के बीच स्थित है (तुच्छ जांच)

Question 6

खंड की लंबाई महत्वपूर्ण नहीं है, इस प्रकार एक वर्गमूल का उपयोग करने की आवश्यकता नहीं है और इससे बचा जाना चाहिए क्योंकि हम कुछ सटीक खो सकते हैं।

class Point:
    def __init__(self, x, y):
        self.x = x
        self.y = y

class Segment:
    def __init__(self, a, b):
        self.a = a
        self.b = b

    def is_between(self, c):
        # Check if slope of a to c is the same as a to b ;
        # that is, when moving from a.x to c.x, c.y must be proportionally
        # increased than it takes to get from a.x to b.x .

        # Then, c.x must be between a.x and b.x, and c.y must be between a.y and b.y.
        # => c is after a and before b, or the opposite
        # that is, the absolute value of cmp(a, b) + cmp(b, c) is either 0 ( 1 + -1 )
        #    or 1 ( c == a or c == b)

        a, b = self.a, self.b             

        return ((b.x - a.x) * (c.y - a.y) == (c.x - a.x) * (b.y - a.y) and 
                abs(cmp(a.x, c.x) + cmp(b.x, c.x)) <= 1 and
                abs(cmp(a.y, c.y) + cmp(b.y, c.y)) <= 1)

उपयोग के कुछ यादृच्छिक उदाहरण:

a = Point(0,0)
b = Point(50,100)
c = Point(25,50)
d = Point(0,8)

print Segment(a,b).is_between(c)
print Segment(a,b).is_between(d)

Question 7

C ++ में दिए गए कोड के साथ, इसके बारे में जाने का एक अलग तरीका है। दो बिंदुओं को देखते हुए, l1 और l2 यह उनके बीच के रेखा खंड को व्यक्त करने के लिए मामूली है

l1 + A(l2 - l1)

जहां 0 <= A <= 1. यह एक पंक्ति के वेक्टर प्रतिनिधित्व के रूप में जाना जाता है यदि आप इस समस्या के लिए इसका उपयोग करने से परे किसी भी अधिक रुचि रखते हैं। हम इसके x और y घटकों को विभाजित कर सकते हैं:

x = l1.x + A(l2.x - l1.x)
y = l1.y + A(l2.y - l1.y)

एक बिंदु (एक्स, वाई) लें और ए के लिए हल करने के लिए अपने एक्स और वाई घटकों को इन दो अभिव्यक्तियों में स्थानापन्न करें। बिंदु उस रेखा पर है यदि दोनों अभिव्यक्तियों में ए के लिए समाधान समान हैं और 0 <= ए <= 1. क्योंकि A के लिए हल करने के लिए विभाजन की आवश्यकता होती है, ऐसे विशेष मामले होते हैं जिन्हें लाइन खंड के क्षैतिज या ऊर्ध्वाधर होने पर शून्य से विभाजन को रोकने के लिए हैंडलिंग की आवश्यकता होती है। अंतिम समाधान इस प्रकार है:

// Vec2 is a simple x/y struct - it could very well be named Point for this use

bool isBetween(double a, double b, double c) {
    // return if c is between a and b
    double larger = (a >= b) ? a : b;
    double smaller = (a != larger) ? a : b;

    return c <= larger && c >= smaller;
}

bool pointOnLine(Vec2<double> p, Vec2<double> l1, Vec2<double> l2) {
    if(l2.x - l1.x == 0) return isBetween(l1.y, l2.y, p.y); // vertical line
    if(l2.y - l1.y == 0) return isBetween(l1.x, l2.x, p.x); // horizontal line

    double Ax = (p.x - l1.x) / (l2.x - l1.x);
    double Ay = (p.y - l1.y) / (l2.y - l1.y);

    // We want Ax == Ay, so check if the difference is very small (floating
    // point comparison is fun!)

    return fabs(Ax - Ay) < 0.000001 && Ax >= 0.0 && Ax <= 1.0;
}

Question 8

अधिक ज्यामितीय दृष्टिकोण का उपयोग करते हुए, निम्नलिखित दूरियों की गणना करें:

ab = sqrt((a.x-b.x)**2 + (a.y-b.y)**2)
ac = sqrt((a.x-c.x)**2 + (a.y-c.y)**2)
bc = sqrt((b.x-c.x)**2 + (b.y-c.y)**2)

और परीक्षण है कि क्या एसी + बीसी के बराबर होती है अब :

is_on_segment = abs(ac + bc - ab) < EPSILON

ऐसा इसलिए है क्योंकि तीन संभावनाएँ हैं:

3 बिंदु एक त्रिकोण बनाते हैं => एसी + बीसी> एबी
वे कोलिनियर हैं और c , ab सेगमेंट के बाहर है => ac + bc> ab
वे समतल होते हैं और c , ab खंड => ac + bc = ab के अंदर होता है

Question 9

ठीक है, रैखिक बीजगणित (वैक्टर के क्रॉस उत्पाद) के बहुत सारे उल्लेख और यह एक वास्तविक (निरंतर या अस्थायी बिंदु) स्थान में काम करता है लेकिन सवाल विशेष रूप से कहा गया है कि दो बिंदु पूर्णांक के रूप में व्यक्त किए गए थे और इस तरह एक क्रॉस उत्पाद सही नहीं है समाधान हालांकि यह एक अनुमानित समाधान दे सकता है।

सही समाधान दो बिंदुओं के बीच में ब्रेसेनहैम की रेखा एल्गोरिथम का उपयोग करना है और यह देखने के लिए कि क्या तीसरा बिंदु रेखा पर बिंदुओं में से एक है। यदि अंक पर्याप्त रूप से दूर हैं कि एल्गोरिथ्म की गणना गैर-निष्पादित है (और यह वास्तव में इसके लिए बहुत बड़ा होना चाहिए) तो मुझे यकीन है कि आप चारों ओर खुदाई कर सकते हैं और अनुकूलन पा सकते हैं।

Question 10

(सीए) और (बा) के बीच का स्केलर उत्पाद उनकी लंबाई के उत्पाद के बराबर होना चाहिए (इसका मतलब है कि वैक्टर (सीए) और (बीए) एक ही दिशा के साथ गठबंधन किए गए हैं)। इसके अलावा, (सीए) की लंबाई (बा) के बराबर या उससे कम होनी चाहिए। स्यूडोकोड:

# epsilon = small constant

def isBetween(a, b, c):
    lengthca2  = (c.x - a.x)*(c.x - a.x) + (c.y - a.y)*(c.y - a.y)
    lengthba2  = (b.x - a.x)*(b.x - a.x) + (b.y - a.y)*(b.y - a.y)
    if lengthca2 > lengthba2: return False
    dotproduct = (c.x - a.x)*(b.x - a.x) + (c.y - a.y)*(b.y - a.y)
    if dotproduct < 0.0: return False
    if abs(dotproduct*dotproduct - lengthca2*lengthba2) > epsilon: return False 
    return True

Question 11

मुझे यह पता लगाने के लिए जावास्क्रिप्ट की आवश्यकता थी कि उपयोगकर्ता कर्सर एक निश्चित रेखा के ऊपर है या नहीं। इसलिए मैंने दारा बेकन द्वारा दिए गए जवाब को ताबूत में बदल दिया:

is_on = (a,b,c) ->
    # "Return true if point c intersects the line segment from a to b."
    # (or the degenerate case that all 3 points are coincident)
    return (collinear(a,b,c) and withincheck(a,b,c))

withincheck = (a,b,c) ->
    if a[0] != b[0]
        within(a[0],c[0],b[0]) 
    else 
        within(a[1],c[1],b[1])

collinear = (a,b,c) ->
    # "Return true if a, b, and c all lie on the same line."
    ((b[0]-a[0])*(c[1]-a[1]) < (c[0]-a[0])*(b[1]-a[1]) + 1000) and ((b[0]-a[0])*(c[1]-a[1]) > (c[0]-a[0])*(b[1]-a[1]) - 1000)

within = (p,q,r) ->
    # "Return true if q is between p and r (inclusive)."
    p <= q <= r or r <= q <= p

Question 12

आप कील और डॉट उत्पाद का उपयोग कर सकते हैं:

def dot(v,w): return v.x*w.x + v.y*w.y
def wedge(v,w): return v.x*w.y - v.y*w.x

def is_between(a,b,c):
   v = a - b
   w = b - c
   return wedge(v,w) == 0 and dot(v,w) > 0

Question 13

यहां मैंने इसे स्कूल में कैसे किया। मैं भूल गया कि यह एक अच्छा विचार क्यों नहीं है।

संपादित करें:

@ डैरिक बेकन: एक "ब्यूटीफुल कोड" किताब का हवाला देते हैं जिसमें एक स्पष्टीकरण है कि नीचे दिया गया कोड अच्छा विचार क्यों नहीं है।

#!/usr/bin/env python
from __future__ import division

epsilon = 1e-6

class Point:
    def __init__(self, x, y):
        self.x, self.y = x, y

class LineSegment:
    """
    >>> ls = LineSegment(Point(0,0), Point(2,4))
    >>> Point(1, 2) in ls
    True
    >>> Point(.5, 1) in ls
    True
    >>> Point(.5, 1.1) in ls
    False
    >>> Point(-1, -2) in ls
    False
    >>> Point(.1, 0.20000001) in ls
    True
    >>> Point(.1, 0.2001) in ls
    False
    >>> ls = LineSegment(Point(1, 1), Point(3, 5))
    >>> Point(2, 3) in ls
    True
    >>> Point(1.5, 2) in ls
    True
    >>> Point(0, -1) in ls
    False
    >>> ls = LineSegment(Point(1, 2), Point(1, 10))
    >>> Point(1, 6) in ls
    True
    >>> Point(1, 1) in ls
    False
    >>> Point(2, 6) in ls 
    False
    >>> ls = LineSegment(Point(-1, 10), Point(5, 10))
    >>> Point(3, 10) in ls
    True
    >>> Point(6, 10) in ls
    False
    >>> Point(5, 10) in ls
    True
    >>> Point(3, 11) in ls
    False
    """
    def __init__(self, a, b):
        if a.x > b.x:
            a, b = b, a
        (self.x0, self.y0, self.x1, self.y1) = (a.x, a.y, b.x, b.y)
        self.slope = (self.y1 - self.y0) / (self.x1 - self.x0) if self.x1 != self.x0 else None

    def __contains__(self, c):
        return (self.x0 <= c.x <= self.x1 and
                min(self.y0, self.y1) <= c.y <= max(self.y0, self.y1) and
                (not self.slope or -epsilon < (c.y - self.y(c.x)) < epsilon))

    def y(self, x):        
        return self.slope * (x - self.x0) + self.y0

if __name__ == '__main__':
    import  doctest
    doctest.testmod()

Question 14

लाइन खंड पर कोई बिंदु ( ए , बी ) (जहां ए और बी वैक्टर हैं) को दो वैक्टर ए और बी के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है :

दूसरे शब्दों में, यदि c रेखाखंड पर स्थित है ( a , b ):

c = ma + (1 - m)b, where 0 <= m <= 1

मीटर के लिए हल , हम प्राप्त करते हैं:

m = (c.x - b.x)/(a.x - b.x) = (c.y - b.y)/(a.y - b.y)

तो, हमारा परीक्षण (पायथन में) हो गया:

def is_on(a, b, c):
    """Is c on the line segment ab?"""

    def _is_zero( val ):
        return -epsilon < val < epsilon

    x1 = a.x - b.x
    x2 = c.x - b.x
    y1 = a.y - b.y
    y2 = c.y - b.y

    if _is_zero(x1) and _is_zero(y1):
        # a and b are the same point:
        # so check that c is the same as a and b
        return _is_zero(x2) and _is_zero(y2)

    if _is_zero(x1):
        # a and b are on same vertical line
        m2 = y2 * 1.0 / y1
        return _is_zero(x2) and 0 <= m2 <= 1
    elif _is_zero(y1):
        # a and b are on same horizontal line
        m1 = x2 * 1.0 / x1
        return _is_zero(y2) and 0 <= m1 <= 1
    else:
        m1 = x2 * 1.0 / x1
        if m1 < 0 or m1 > 1:
            return False
        m2 = y2 * 1.0 / y1
        return _is_zero(m2 - m1)

Question 15

c # से http://www.faqs.org/faqs/graphics/algorithms-faq/ -> विषय 1.02: मैं एक बिंदु से एक पंक्ति की दूरी कैसे पता करूँ?

Boolean Contains(PointF from, PointF to, PointF pt, double epsilon)
        {

            double segmentLengthSqr = (to.X - from.X) * (to.X - from.X) + (to.Y - from.Y) * (to.Y - from.Y);
            double r = ((pt.X - from.X) * (to.X - from.X) + (pt.Y - from.Y) * (to.Y - from.Y)) / segmentLengthSqr;
            if(r<0 || r>1) return false;
            double sl = ((from.Y - pt.Y) * (to.X - from.X) - (from.X - pt.X) * (to.Y - from.Y)) / System.Math.Sqrt(segmentLengthSqr);
            return -epsilon <= sl && sl <= epsilon;
        }

Question 16

यहाँ कुछ जावा कोड है जो मेरे लिए काम करते हैं:

boolean liesOnSegment(Coordinate a, Coordinate b, Coordinate  c) {

    double dotProduct = (c.x - a.x) * (c.x - b.x) + (c.y - a.y) * (c.y - b.y);
    if (dotProduct < 0) return true;
    return false;
}

Question 17

कैसे के बारे में सिर्फ यह सुनिश्चित करना है कि ढलान एक ही है और बिंदु दूसरों के बीच है?

दिए गए अंक (X1, y1) और (x2, y2) (x2> X1 के साथ) और उम्मीदवार बिंदु (a, b)

if (b-y1) / ((-X1) = (y2-y2) / (x2-X1) और X1 <a x2

तब (ए, बी) लाइन पर होना चाहिए (X1, y1) और (x2, y2)

Question 18

एक उत्तर # 2 वेक्टर श्रेणी का उपयोग करके

public static bool IsOnSegment(this Segment2D @this, Point2D c, double tolerance)
{
     var distanceSquared = tolerance*tolerance;
     // Start of segment to test point vector
     var v = new Vector2D( @this.P0, c ).To3D();
     // Segment vector
     var s = new Vector2D( @this.P0, @this.P1 ).To3D();
     // Dot product of s
     var ss = s*s;
     // k is the scalar we multiply s by to get the projection of c onto s
     // where we assume s is an infinte line
     var k = v*s/ss;
     // Convert our tolerance to the units of the scalar quanity k
     var kd = tolerance / Math.Sqrt( ss );
     // Check that the projection is within the bounds
     if (k <= -kd || k >= (1+kd))
     {
        return false;
     }
     // Find the projection point
     var p = k*s;
     // Find the vector between test point and it's projection
     var vp = (v - p);
     // Check the distance is within tolerance.
     return vp * vp < distanceSquared;
}

ध्यान दें कि

s * s

सी # में ऑपरेटर ओवरलोडिंग के माध्यम से सेगमेंट वेक्टर का डॉट उत्पाद है

कुंजी अनंत रेखा पर बिंदु के प्रक्षेपण का लाभ उठा रही है और देख रही है कि प्रक्षेपण की स्केलर मात्रा हमें तुच्छ रूप से बताती है कि प्रक्षेपण खंड पर है या नहीं। हम फजी सहिष्णुता का उपयोग करने के लिए अदिश मात्रा की सीमा को समायोजित कर सकते हैं।

यदि प्रक्षेपण सीमा के भीतर है तो हम परीक्षण करते हैं यदि बिंदु से प्रक्षेपण तक की दूरी सीमा के भीतर है।

क्रॉस उत्पाद दृष्टिकोण पर लाभ यह है कि सहिष्णुता का एक सार्थक मूल्य है।

Question 19

यहाँ एकता में C # के साथ मेरा समाधान है।

private bool _isPointOnLine( Vector2 ptLineStart, Vector2 ptLineEnd, Vector2 ptPoint )
{
    bool bRes = false;
    if((Mathf.Approximately(ptPoint.x, ptLineStart.x) || Mathf.Approximately(ptPoint.x, ptLineEnd.x)))
    {
        if(ptPoint.y > ptLineStart.y && ptPoint.y < ptLineEnd.y)
        {
            bRes = true;
        }
    }
    else if((Mathf.Approximately(ptPoint.y, ptLineStart.y) || Mathf.Approximately(ptPoint.y, ptLineEnd.y)))
    {
        if(ptPoint.x > ptLineStart.x && ptPoint.x < ptLineEnd.x)
        {
            bRes = true;
        }
    }
    return bRes;
}

Question 20

जूल्स के उत्तर का # संस्करण:

public static double CalcDistanceBetween2Points(double x1, double y1, double x2, double y2)
{
    return Math.Sqrt(Math.Pow (x1-x2, 2) + Math.Pow (y1-y2, 2));
}

public static bool PointLinesOnLine (double x, double y, double x1, double y1, double x2, double y2, double allowedDistanceDifference)
{
    double dist1 = CalcDistanceBetween2Points(x, y, x1, y1);
    double dist2 = CalcDistanceBetween2Points(x, y, x2, y2);
    double dist3 = CalcDistanceBetween2Points(x1, y1, x2, y2);
    return Math.Abs(dist3 - (dist1 + dist2)) <= allowedDistanceDifference;
}

Question 21

आप उस लाइन सेगमेंट के लिए पॉइंट समीकरणों के साथ लाइन समीकरण को हल करके इसे कर सकते हैं। आप कुछ सीमा लागू कर सकते हैं क्योंकि अच्छी तरह से यह अंतरिक्ष में सबसे अधिक संभावना है जो एक अस्थायी बिंदु मान द्वारा परिभाषित किया गया है और आपको सटीक एक हिट नहीं करना चाहिए। Php में उदाहरण

function getLineDefinition($p1=array(0,0), $p2=array(0,0)){
    
    $k = ($p1[1]-$p2[1])/($p1[0]-$p2[0]);
    $q = $p1[1]-$k*$p1[0];
    
    return array($k, $q);
    
}

function isPointOnLineSegment($line=array(array(0,0),array(0,0)), $pt=array(0,0)){
    
    // GET THE LINE DEFINITION y = k.x + q AS array(k, q) 
    $def = getLineDefinition($line[0], $line[1]);
    
    // use the line definition to find y for the x of your point
    $y = $def[0]*$pt[0]+$def[1];

    $yMin = min($line[0][1], $line[1][1]);
    $yMax = max($line[0][1], $line[1][1]);

    // exclude y values that are outside this segments bounds
    if($y>$yMax || $y<$yMin) return false;
    
    // calculate the difference of your points y value from the reference value calculated from lines definition 
    // in ideal cases this would equal 0 but we are dealing with floating point values so we need some threshold value not to lose results
    // this is up to you to fine tune
    $diff = abs($pt[1]-$y);
    
    $thr = 0.000001;
    
    return $diff<=$thr;
    
}