एक गोलाकार बहुभुज केन्द्रक की गणना

Question

मैं एक गोले पर बहुभुज के लिए सेंट्रोइड्स की गणना करने का एक सामान्य तरीका चाहूंगा।

अब तक, सबसे अच्छा ऑनलाइन संदर्भ प्रतीत होता है:

जेफ जेननेस द्वारा ग्राफिक्स और आकार के लिए उपकरण ।

वहाँ वर्णित विधि बहु गोलाकार त्रिभुज में बहुभुज को विघटित करने का सुझाव देती है, और गोलाकार त्रिभुज केन्द्रक के औसत की गणना करती है, जो गोलाकार त्रिभुज क्षेत्र द्वारा भारित होता है।

मुझे पता है कि एक गोलाकार बहुभुज केंद्रक को परिभाषित करने के कई तरीके हैं, लेकिन मैं बिंदुओं और पॉलीलाइन के लिए निम्नलिखित परिभाषाओं के अनुरूप कुछ देख रहा हूं:

• अंक : अंक का प्रतिनिधित्व करने वाले कार्टेशियन वैक्टर के अंकगणितीय माध्य।
• पॉलीलाइन : प्रत्येक खंड के मध्य बिंदुओं का प्रतिनिधित्व करने वाले कार्टेशियन वैक्टर के भारित माध्य, प्रत्येक खंड की (गोलाकार) लंबाई से भारित।

यह एक उचित निरंतरता है कि बहुभुज केन्द्रक को त्रिभुजाकार अपघटन के भारित माध्य के रूप में परिभाषित किया गया है, जो क्षेत्र द्वारा भारित है।

मेरा प्रश्न यह है कि क्या उपरोक्त संदर्भ में प्रयोग किए गए त्रिकोण अपघटन की परवाह किए बिना विधि काम करेगी। विशेष रूप से, यह एक मनमाना बिंदु के सापेक्ष त्रिकोण में विघटित होने का उल्लेख करता है, यहां तक ​​कि बहुभुज के लिए बाहरी, जैसे कि कुछ त्रिभुजों में नकारात्मक क्षेत्र होंगे जो नकारात्मक वजन में योगदान करते हैं।

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Answer 1

यह तब भी लगातार काम नहीं करेगा जब आप एकल, निश्चित बिंदु के सापेक्ष सभी त्रिकोणासन करेंगे । समस्या यह है कि गोलाकार और यूक्लिडियन गणनाओं को किसी भी विचार के बिना मिश्रित किया जा रहा है कि उनका क्या मतलब हो सकता है।

इसे स्पष्ट करने का एक तरीका यह है कि आप एक अति-त्रिभुज पर विचार करें, जैसे कि एक गोलार्ध का लगभग आधा हिस्सा। उदाहरण के लिए, (lon, lat) = (-179, 0) पर शुरू होकर, भूमध्य रेखा के साथ (0, 0) तक चलता है, फिर उत्तरी ध्रुव (0, 90) तक, फिर शुरुआत में (- 179, 0)। यह एक 90-179-90 त्रिकोण है जिसमें पश्चिमी गोलार्ध के अधिकांश उत्तरी आधे भाग शामिल हैं। समस्या यह है कि इसके समापन बिंदु (चित्र में सफेद डॉट्स के रूप में दिखाए गए) एक विमान में व्यावहारिक रूप से झूठ बोलते हैं: एक ध्रुव पर है और अन्य दो इसके लगभग विपरीत दिशा में हैं। इस प्रकार उनका औसत, गोला (लाल बिंदु) पर वापस आ गया है, लगभग ध्रुव पर है - लेकिन यह किसी भी उचित केंद्र से उतना ही दूर है जितना कि कोई भी प्राप्त कर सकता है:

एक अन्य उदाहरण के रूप में, आइए इसके केंद्र, उत्तरी ध्रुव के सापेक्ष ऊपरी गोलार्ध का प्रतिनिधित्व करने वाले बहुभुज को त्रिभुज करें। हम हमेशा पश्चिमी गोलार्ध को दो समान हिस्सों में विभाजित करेंगे, उनमें से प्रत्येक में 90-90-90 त्रिभुज (जिससे विशाल, गोलार्ध-फैले त्रिकोण के साथ किसी भी समस्या से बचा जा सके)। हालाँकि, पूर्वी गोलार्ध को n बराबर अर्ध-ल्युन्स में विभाजित किया जाएगा । Lune k ( k = 1, 2, ..., n ) के कोने ( निर्देशांक, लॉन) निर्देशांक हैं

((k-1) * 180/n, 0),  (k * 180/n, 0),  (k * 180/n, 90).

यह आंकड़ा k = 8 के लिए सेटअप दिखाता है। लाल डॉट्स व्यक्तिगत उपकरण "केंद्र" हैं, जिन्हें "टूल फॉर ग्राफिक्स एंड शेप्स" दस्तावेज़, पीपी 65-67 के अनुसार गणना की जाती है।

गणना करते हुए, मुझे लगता है कि k = 2 के साथ, क्षेत्र-भारित केंद्र वास्तव में उत्तरी ध्रुव पर है (जैसा कि समरूपता के संकेत द्वारा इंगित किया जाएगा), लेकिन जैसे-जैसे n बढ़ता है, परिणाम जल्दी से पश्चिमी गोलार्ध में और में बदल जाता है सीमा, देशांतर -90 डिग्री के साथ 89.556 डिग्री के अक्षांश तक पहुंचती है। यह उत्तरी ध्रुव से लगभग 50 किलोमीटर दक्षिण में है।

कुल मिलाकर, 20,000 किलोमीटर की लंबाई वाले बहुभुज के लिए एक +/- 50 किलोमीटर त्रुटि छोटी है; इस मामले में विभिन्न त्रिभुजों के कारण मनमानी भिन्नता की कुल मात्रा केवल 0.5% है। जाहिर तौर पर नकारात्मक त्रिकोणों को शामिल करके सापेक्ष त्रुटियों को बड़े पैमाने पर किया जा सकता है (बस एक छोटे त्रिकोण के सापेक्ष कुछ बड़े त्रिकोणों को जोड़ और घटाएं)। इसके बावजूद, गोलाकार संगणना करने के प्रयास में जाने वाला कोई भी व्यक्ति प्रक्षेपण त्रुटियों से बचने की कोशिश कर रहा है, इसलिए वे उच्च सटीकता की तलाश कर रहे हैं। इस त्रिकोणासन विधि की सिफारिश नहीं की जा सकती है।

Comments

आपने प्रदर्शित किया है कि त्रुटियां बड़े एन के लिए जमा हो सकती हैं, लेकिन यह स्पष्ट नहीं है कि दृष्टिकोण आवश्यक रूप से त्रुटिपूर्ण है। N का क्या मूल्य सीमित करने के मूल्य को प्राप्त करने के लिए इस्तेमाल किया?

— जेसन डेविस

इसके अलावा, गणना करने के लिए और इस में गहराई से देखने के लिए बहुत बहुत धन्यवाद। मैं अभी थोड़ा और स्पष्टीकरण चाहता हूं इससे पहले कि मैं इस मुद्दे को रख सकूं। :)

— जेसन डेविस

जेसन, मैंने आपको कुछ अंतर्ज्ञान देने के लिए एक प्रारंभिक उदाहरण जोड़ा। सीमा खुद ही तेजी से आ रही है; कुछ दर्जन लून आपको कई महत्वपूर्ण अंक मिलेंगे। लेकिन नए उदाहरण के लिए किसी भी शंका वाले शंका को शांत करना चाहिए, जो कि इस भारित त्रिकोणासन को कुछ भी उचित लगता है - केवल छोटे त्रिकोणों को छोड़कर, जहाँ आप पहले स्थान पर अनुमानित निर्देशांक में गणना करना बेहतर समझते हैं। गोलाकार गणना करने का एकमात्र कारण यह है कि जब आपके विश्लेषण का क्षेत्र वास्तव में वैश्विक है, तो सभी अनुमानों में बहुत अधिक विकृति होती है।

— whuber

शानदार, धन्यवाद। इसलिए अगर मैं सही ढंग से समझूं, तो कार्टेशियन वैक्टरों का औसत एक गोलाकार त्रिकोण (विशेष रूप से आपके पहले उदाहरण जैसे बड़े वाले) के लिए एक उचित सेंट्रोइड में परिणाम नहीं करता है। मैं बेहतर तरीकों की जांच करूँगा, जैसे कि महान-सर्कल के मध्यस्थों का चौराहा ढूंढना।

— जेसन डेविस

BTW, मुझे अभी भी उम्मीद है कि ऊपर के समान गोलाकार क्षेत्र-भारित सेंट्रोइड काम करेगा। कल्पना करें कि प्रत्येक बहुभुज को गोले के मूल में एक शीर्ष जोड़कर एक 3D वॉल्यूम दिया जा रहा है। फिर अपने मूल से जुड़े एक अदृश्य स्ट्रिंग द्वारा क्षेत्र को निलंबित करें और एक स्थिर संतुलन खोजें। सेंट्रोइड बॉटलमॉस्ट बिंदु है (यह गोलाकार सतह पर द्रव्यमान के केंद्र का प्रक्षेपण है)। यह कुछ अस्पष्ट मामलों से अलग हटकर काम करना चाहिए जैसे कि भूमध्य रेखा के चारों ओर जाने वाली एक पट्टी, जहां मैं सिर्फ एक समझदार बिंदु चुन सकता हूं। यदि आपको लगता है कि यह लायक है, तो एक नए प्रश्न पर चर्चा करने में खुशी होगी।

— जेसन डेविस

Answer 2

यह गुण का गुणन करने के लिए एक अच्छा विचार है जो एक बहुभुज का केन्द्रक होना चाहिए। यहाँ मेरे मानदंड हैं:

(ए) यह बहुभुज इंटीरियर की एक संपत्ति है (बजाय कोने या किनारों की)। इस प्रकार, एक अतिरिक्त वर्टेक्स डालकर दो में एक किनारे को विभाजित करना सेंट्रोइड की स्थिति को नहीं बदलना चाहिए। ध्यान दें कि सेन्ट्रोइड की जेननेस की परिभाषा इस कसौटी पर विफल होती है, क्योंकि केन्द्रक की स्थिति इस बात पर निर्भर करेगी कि एक बहुभुज को त्रिभुजों में कैसे विभाजित किया जाता है।

(b) पॉलीगॉन के आकार को थोड़ा बढ़ाकर सेंट्रोइड को थोड़ा बढ़ाना चाहिए। यह बहुभुज की समग्र सीमा (जैसे, एक गोलार्द्ध में) पर प्रतिबंध लगाने के लिए आवश्यक है। इस प्रतिबंध के बिना, उन मामलों का निर्माण करना आसान है जहां केन्द्रक अचानक पृथ्वी के विपरीत दिशा में एक छोटी सी गति के साथ घूमता है। यह स्थिति उन तरीकों को बाहर करती है जिनके लिए आवश्यक है कि सेंट्रोइड बहुभुज के अंदर स्थित हो।

(c) इसे छोटे बहुभुजों के लिए केन्द्रक की प्लैनर परिभाषा को कम करना चाहिए।

यहाँ दो दृष्टिकोण इन मानदंडों को पूरा करते हैं:

(1) तीन आयामों में दीर्घवृत्त बहुभुज के लिए केंद्रक की गणना करें और दीर्घवृत्त सतह (दीर्घवृत्त के लिए एक सामान्य के साथ) पर वापस प्रोजेक्ट करें। बड़ा फायदा: बहुभुज को सरल आकार में तोड़कर सेंटीमीटर की गणना की जा सकती है।

(2) केंद्रक बहुभुज के भीतरी भाग में सभी बिंदुओं के लिए न्यूनतम RMS भू-दूरी के साथ बिंदु है। Buss और Fillmore देखें, "गोलाकार खानों और अंतर्वेशन के लिए गोलाकार नीलामी और अनुप्रयोग", ग्राफिक्स 20 , 95-126 (2001) पर ACM लेनदेन । बड़ा लाभ: परिणामी बिंदु इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि सतह ³ R में कैसे अंतर्निहित है ।

दुर्भाग्य से, इनमें से कोई भी परिभाषा व्यवहार में लाने के लिए सरल नहीं है। हालाँकि , पहली विधि को केवल एक गोले के लिए किया जा सकता है। उपयोग करने के लिए सबसे अच्छा "प्राथमिक" क्षेत्र बहुभुज के एक छोर से घिरा हुआ चतुर्भुज है, किनारे के अंत-बिंदुओं और भूमध्य रेखा के माध्यम से दो मेरिडियन। पूरे बहुभुज के लिए परिणाम किनारों पर योगदान को समेटता है। (अतिरिक्त कदम उठाने की जरूरत है यदि बहुभुज एक पोल को घेरता है।)

मान लें कि किनारे के अंत-बिंदु हैं ( ₁ , λ ₁ ) और ( , ₂ , λ ₂ )। Α ₁ और α ₂ द्वारा किनारे और एंडपॉइंट्स के अज़ीमुथ को दें । गोले की त्रिज्या मानकर 1, चतुर्भुज का क्षेत्रफल है

  A = α ₂ - α ₁
      = 2 tan [ ¹ [tan (λ ₂ - λ ₁ ) पाप φ (½ ₂ + ) ₁ ) / cos ½ ( + ₂ + ) ₁ )]

(बेसेल के कारण क्षेत्र के लिए यह सूत्र, आमतौर पर त्रिकोण के क्षेत्र के आमतौर पर इस्तेमाल किए जाने वाले L'Hilier के सूत्र की तुलना में संख्यात्मक रूप से बेहतर व्यवहार किया जाता है।)

इस चतुर्भुज के लिए केन्द्रक के घटक द्वारा दिए गए हैं

  2 एक ⟨ एक्स ⟩ = φ ₂ पाप (λ ₂ - λ ₀ ) - φ ₁ पाप (λ ₁ - λ ₀ )
  2 एक ⟨ y ⟩ = क्योंकि α ₀ (σ ₂ - σ ₁ ) - (φ ₂ cos (λ ₂ - λ ₀ ) - φ ₁ cos (λ ₁ - λ ₀ ))
  2 एक ⟨ z ⟩ = (λ ₂ - λ ₁ ) - α पाप ₀ (σ ₂ - σ₁ )

जहां the ₂ - is ₁ किनारे की लंबाई है, और λ ₀ और α ₀ किनारे के देशांतर और एजिमुथ हैं जहां यह भूमध्य रेखा को पार करता है, और x और y अक्षों को उन्मुख किया जाता है ताकि भूमध्य रेखा x = पर हो 1, y = 0. ( जेड पोल के माध्यम से अक्ष है, निश्चित रूप से।)

Comments

क्या आप बता सकते हैं कि जेननेस के केन्द्रक की स्थिति इस बात पर निर्भर करेगी कि एक बहुभुज को त्रिभुजों में कैसे विभाजित किया जाता है? मुझे पता है @ व्हिबर के उदाहरण से कि गोलाकार त्रिभुजों के लिए जेननेस की केन्द्रक गणना गलत है, लेकिन क्या होगा यदि इसके बजाय गोलाकार त्रिभुज माध्यकों पर आधारित एक केन्द्रक का उपयोग किया जाता है? क्या यह अभी भी विफल होगा?

— जेसन डेविस

जेननेस प्रभावी रूप से गोलाकार बहुभुज को प्लानेर त्रिकोण के एक सेट द्वारा बदल देता है और उनके केन्द्रक की गणना करता है। स्पष्ट रूप से (?), परिणाम विभाजन पर निर्भर करेगा। गोलाकार त्रिभुजों के केन्द्रक का उपयोग करते हुए मैंने जो गणना की, वह ठीक है। आप जेई ब्रॉक, एक गोलाकार त्रिभुज के लिए जड़ता टेन्सर, जे एप्लाइड मैकेनिक्स 42, 239 (1975) में केन्द्रक के लिए सूत्र पा सकते हैं dx.doi.org/10.1115/1.3423535

— cffk

मैंने ब्रॉक के कागज पर एक और नज़र डाली। गोलाकार त्रिभुज के द्रव्यमान के केंद्र के लिए उनके सूत्र में त्रिभुज के किनारों पर एक योग शामिल है। इसलिए इसे बहुभुज पर लागू करने के लिए तुच्छ रूप से सामान्यीकृत किया जा सकता है (इसे त्रिकोण में तोड़ने की आवश्यकता के बिना)।

— cffk

क्या आपको लगता है कि बेसेल के कारण क्षेत्र की गणना के लिए एक संदर्भ प्रदान किया गया है? मुझे यह कहीं भी नहीं मिल रहा है, और मैं एक तेज (और सटीक) गोलाकार बहुभुज क्षेत्र दिनचर्या लिखने में रुचि रखता हूं। धन्यवाद!

— जेसन डेविस

मैंने इसे पाया, और महसूस किया कि आपने इसका अंग्रेजी में अनुवाद किया है, इसलिए धन्यवाद। :)

— जेसन डेविस