UTM ज़ोन के बाहर क्षेत्र विकृति की गणना?

Question

मेरा एक सहकर्मी दो यूटीएम क्षेत्र में फैले डेटा के साथ काम कर रहा है। अधिकांश डेटा एक ज़ोन में है, दूसरे ज़ोन में कुछ आउटलेर्स के साथ। वह जानना चाहते हैं कि उन बाहरी लोगों का क्षेत्र विरूपण क्या होगा यदि वे मुख्य UTM क्षेत्र में थे।

क्या यह जानने के लिए कि अन्य UTM क्षेत्र में कितनी दूर हैं, क्षेत्रीय विकृति की गणना करने का एक सूत्र है?

Answer 1

UTM केंद्रीय मध्याह्न में 0.9996 के पैमाने कारक के साथ अनुप्रस्थ मर्केटर प्रक्षेपण का उपयोग करता है। मर्केटर में, डिस्टेंस स्केल फैक्टर अक्षांश का एकांत है (एक स्रोत: http://en.wikipedia.org/wiki/Mercator_projection ), इस क्षेत्र कारक का वर्ग क्षेत्रफल कारक है, क्योंकि यह इस पर लागू होता है (क्योंकि यह लागू होता है) सभी दिशाएं, मर्केटर कंफर्म हो रहा है)। भूमध्य रेखा के लिए गोलाकार दूरी के रूप में अक्षांश को समझना , और एक गोले के साथ दीर्घवृत्त का अनुमान लगाते हुए, हम इस सूत्र को मर्केटर प्रक्षेपण के किसी भी पहलू पर लागू कर सकते हैं। इस प्रकार:

केंद्रीय गुणक के दूरी (कोणीय) दूरी के सेकेंड कारक 0.9996 गुना है। क्षेत्र मात्रा कारक इस मात्रा का वर्ग है।

इस दूरी को खोजने के लिए, एक मनमाना बिंदु से एक भू-स्थान के साथ यात्रा करते हुए गोलाकार त्रिभुज पर विचार करें (lon, lat) = (लंबो, फी) देशांतर म्यू पर केंद्रीय मध्याह्न रेखा की ओर, उस मध्याह्न के निकटतम ध्रुव पर, और फिर मूल बिंदु पर लैम्बडा मध्याह्न के साथ वापस। पहला मोड़ एक समकोण और दूसरा लांबड़ा-मु का कोण है। अंतिम भाग में यात्रा की गई राशि 90-फ़ि डिग्री है। साइनेस की गोलाकार कानून इस त्रिकोण राज्यों के लिए आवेदन किया

sin (lambda-mu) / sin (दूरी) = sin (90 डिग्री) / sin (90-phi)

समाधान के साथ

दूरी = आर्किंस (पाप (लाम्बा-म्यू) * कॉस (फी))।

यह दूरी एक कोण के रूप में दी गई है, जो कि सेक्युलर की गणना के लिए सुविधाजनक है।

उदाहरण

केंद्रीय मेरिडियन -183 + 17 * 6 = -81 डिग्री के साथ UTM जोन 17 पर विचार करें। आज्ञाकारी स्थान को देशांतर -90 डिग्री, अक्षांश 50 डिग्री पर होना चाहिए। फिर

चरण 1: -90 डिग्री (-90, 50) से -81 डिग्री मेरिडियन के बराबर दूरी आर्किंस (पाप (9 डिग्री) * कॉस (50 डिग्री) = 0.1007244 रेडियन के बराबर होती है।

चरण 2: क्षेत्र विरूपण बराबर होता है (0.9996 * सेकंड (0.1007244 रेडियंस)) ^ 2 = 1.009406।

(जीआरएस 80 दीर्घवृत्त के साथ संख्यात्मक गणना 1.009435 के रूप में मान देती है, यह दिखाती है कि हमने जो उत्तर दिया है, वह 0.3% बहुत कम है: यह दीर्घवृत्त के समान क्रम है, जो गोलाकार सन्निकटन के कारण त्रुटि को दर्शाता है।)

अनुमान

यह समझने के लिए कि क्षेत्र कैसे बदलता है, हम समग्र अभिव्यक्ति को सरल बनाने के लिए कुछ ट्रिगर पहचान का उपयोग कर सकते हैं और लैंबडा-म्यू में टेलर श्रृंखला के रूप में विस्तार कर सकते हैं (बिंदु के देशांतर के बीच विस्थापन और UTM केंद्रीय मध्याह्न के देशांतर)। यह करने के लिए बाहर काम करता है

क्षेत्र स्केल फैक्टर ~ 0.9992 * (1 + कॉस (phi) ^ 2 * (लैम्ब्डा-म्यू) ^ 2)।

ऐसे सभी विस्तार के साथ, कोण लंबो-म्यू को रेडियन में मापा जाना चाहिए। त्रुटि 0.9992 * cos (phi) ^ 4 * (लैम्ब्डा-म्यू) ^ 4 से कम है, जो सन्निकटन और 1 के बीच अंतर के वर्ग के करीब है - अर्थात्, दशमलव बिंदु के बाद मान का वर्ग ।

उदाहरण के लिए phi = 50 डिग्री (0.642788 के कोसाइन के साथ) और लंबो-म्यू = -9 डिग्री = -0.15708 रेडियन, सन्निकटन 0.9992 * (1 + 0.642788 ^ 2 * (-0.15708) ^ 2) = 1.009387 देता है। दशमलव बिंदु और वर्ग को देखते हुए, हम घटाते हैं (सही मान जाने के बिना भी) कि इसकी त्रुटि (0.009387) ^ 2 = 0.0001 से कम नहीं हो सकती है (और वास्तव में त्रुटि केवल एक-पाँचवीं है कि आकार)।

इस विश्लेषण से यह स्पष्ट होता है कि उच्च अक्षांशों पर (जहाँ cos (phi) छोटा है), स्केल त्रुटियाँ हमेशा छोटी होंगी; और कम अक्षांशों पर, क्षेत्र के पैमाने की त्रुटियाँ अनुदैर्ध्य में अंतर के वर्ग की तरह व्यवहार करेंगी।

Comments

मैं हमेशा एक सुविचारित उत्तर देने के लिए आप पर भरोसा कर सकता हूं

— kenbuja

+1 हाथ में असली मांस होना बहुत अच्छा है। मेरा गणितीय रूप से चुनौती भरा मस्तिष्क मात्रात्मक परिणामों की व्याख्या करने में मदद करने के लिए एक साथ दृश्य चाहता है, कुछ एक ला टिसोट इंडिकट्रिक्स । (मैं "जोड़ने वाला था, लेकिन यह एक नया प्रश्न है", केवल यह पता चलता है कि ऐसा नहीं है: gis.stackexchange.com/questions/31651/… :-)

— मैट

जब तक आप जोन से अच्छी तरह से बाहर नहीं हो जाते, तब तक टीआई ज्यादा नहीं दिखाता, @Matt: यह बिल्कुल एक मर्केटर प्रोजेक्शन के लिए TI जैसा लगेगा (जैसा कि आपके प्रश्न में दिखाया गया है) लेकिन 90 डिग्री घुमाया गया। (मैं अन्य TI सवाल आप संदर्भ जवाब देने के लिए चाहते हैं, लेकिन यह एक विस्तृत गणना के लिए कहता है और मैं सिर्फ इतना है कि अभी वर्तमान करने के लिए समय नहीं है।)

— whuber

Answer 2

जियोग्राफिकल का टूल जियोकॉनवर्ट

http://geographiclib.sf.net/html/GeoConvert.1.html

UTM ज़ोन के बीच एक उदार ओवरलैप की अनुमति देता है (विशेष रूप से, पड़ोसी ज़ोन में रूपांतरण की अनुमति है, बशर्ते कि परिणामस्वरूप ईस्टिंग रेंज [0 किमी, 1000 किमी]) में हो। GeoConvert भी मध्याह्न अभिसरण और पैमाने की रिपोर्ट कर सकता है और, नोटों के रूप में, क्षेत्र विरूपण पैमाने का वर्ग है।

उदाहरण के लिए, आपका "मुख्य" क्षेत्र 42 है और आपको एक बिंदु दिया गया है

41 एन 755778 3503488

(कंधार विश्वविद्यालय) जो कि जोन 42 के पश्चिम में लगभग 29 किमी है। इसे जोन 42 में बदलने के लिए, उपयोग करें

गूंज 41 एन 755778 3503488 | GeoConvert -u -z 42 ==> 42N 186710 3505069

जोन 42 में मध्याह्न अभिसरण और पैमाने का निर्धारण करने के लिए, -c ध्वज जोड़ें

गूंज 41 एन 755778 3503488 | GeoConvert -u -z 42 -c ==> -1.73405 1.0008107

तो क्षेत्र विरूपण 1.0008107 ^ 2 = 1.0016221 है।