पृथ्वी की सतह पर एक पंक्ति को देखते हुए, मैं इसे कैसे लंबवत एक रेखा को साजिश रचूं?


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पृथ्वी की सतह पर एक पंक्ति को देखते हुए, मैं इसे कैसे लंबवत एक रेखा को साजिश रचूं?

माफी अगर यह एक बहुत ही सरल सवाल है। मैंने सोचा कि यह एक सीधा काम होगा, लेकिन यह काउंटर-सहज साबित हो रहा है।

मैं नीचे दिए गए आंकड़े में नीली रेखा से शुरू करता हूं (लिंक देखें - मैं अभी तक आंकड़े अपलोड करने में असमर्थ हूं)। मैंने ब्लू लाइन (m) के ग्रेडिएंट की गणना करके एक लंब रेखा पाई, फिर ग्रेडिएंट -1 (m) के साथ एक और लाइन (ग्रीन) की साजिश रची। जब मैं मतलाब ('प्लॉट' और 'एक्सिस बराबर' का उपयोग करके) लाइनों को प्लॉट करता हूं, तो वे अपेक्षा के अनुसार लंबवत दिखते हैं।

http://imgur.com/7qMkx

हालाँकि, जब मैं इन पंक्तियों को Google अर्थ (KML टूलबॉक्स का उपयोग करके) निर्यात करता हूं, तो वे लंबवत नहीं दिखतीं (नीचे लिंक देखें, छोटी रेखा पिछली आकृति से नीली रेखा है)।

http://imgur.com/ncJQ7

मैं समझता हूं कि घुमावदार सतहों पर अजीब चीजें होती हैं, लेकिन मुझे लगा कि लाइनों को कम से कम स्थानीय रूप से लंबवत दिखना चाहिए। मुझे संदेह है कि इसका Google धरती में प्रक्षेपण से कुछ लेना-देना है - विशेष रूप से, यह तथ्य कि ग्रिड कोशिकाएँ लगभग समान लंबाई वाली दिखाई देती हैं, फिर भी अनुदैर्ध्य किनारे की लंबाई = 1 डिग्री है, जबकि अक्षांशीय छोर की लंबाई / 0.5 है डिग्री।

तो, संक्षेप में:

  • एक घुमावदार सतह पर लंबवत रेखा को खोजने की मेरी विधि क्या है? (अर्थात, ग्रेडिएंट -1 / m के साथ एक लाइन प्लॉट करना)
  • Google धरती छवि में, क्या लंबवत रेखाएँ अपेक्षा के अनुसार दिखती हैं, या कुछ अजीब चल रहा है?

अपडेट करें:

अधिक संदर्भ प्रदान करने के लिए: मैं एक विमान से लिए गए रडार डेटा को देख रहा हूं। बहुरंगी क्षेत्र 'स्वैथ' है, जहाँ अवलोकन दर्ज किए गए हैं। ऊपर बताई गई व्याख्या के साथ मैंने जो नीली रेखा शुरू की, वह स्वाथ के समानांतर है: यह विमान की उड़ान रेखा है (विमान लगभग दक्षिण-पश्चिम दिशा में आगे बढ़ रहा था)। रडार बाईं ओर उड़ान लाइन की दिशा में रूढ़िवादी दिखता है। मैं उड़ान लाइन के लिए लंबवत रेखा खींचने की कोशिश कर रहा हूं; यह वह दिशा होनी चाहिए जो रडार देख रहा है, और स्वेत को बड़े करीने से काटना चाहिए। जैसा कि आप देख सकते हैं, यह मामला नहीं है।

यहां छवि विवरण दर्ज करें


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वास्तव में, गूगल सही ढंग से कोण चित्रण है, जबकि अपने मैटलैब साजिश नहीं है ...
whuber

उत्तर के लिए धन्यवाद, व्हीबर। इसका मतलब यह है कि मेरे द्वारा गणना की गई रेखा वास्तव में मूल के लिए लंबवत नहीं है? या इसका मतलब यह है कि जिस तरह से मैं मटलब में लाइनों को देखता हूं वह किसी तरह गलत है? मैंने खुद को समझाने के लिए मतलाब में 'अक्ष बराबर' कमांड का इस्तेमाल किया कि रेखाएं लंबवत हैं, लेकिन मुझे उम्मीद है कि यह ठीक से पृथ्वी की वक्रता का प्रतिनिधित्व नहीं करेगा।
पॉल किटिंग

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आपकी पहली व्याख्या सही है, पॉल। का उपयोग करते हुए (लोन, लेट) जैसे कि वे कार्टेसियन निर्देशांक दिशाओं को इतनी बुरी तरह से विकृत करते हैं कि ज्यादातर कोण विकृत हो जाते हैं। इसलिए, कार्टेशियन फॉर्मूला -1 / m का उपयोग करने से आपको भाग्यशाली दिशाओं (या भूमध्य रेखा पर) के एक जोड़े को छोड़कर एक समकोण के करीब नहीं मिलेगा। एक वैकल्पिक विधि प्रदान करने के लिए, यह जानने में मदद मिलेगी कि आप किस प्रकार की "लाइन" चाहते हैं (उदाहरण के लिए जियोडेसिक या रंबल लाइन), इसे प्लॉट करने में आपका उद्देश्य, और इसे कब तक करने की आवश्यकता होगी। (शॉर्ट लंबाई सरल अनुमानों पर विचार किया जा करने के लिए अनुमति देते हैं।)
whuber

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बीटीडब्ल्यू, आप इन मुद्दों के बारे में हमारी साइट पर कुछ अनुमानों को पढ़कर बहुत कुछ सीख सकते हैं ।
whuber

बहुत बहुत धन्यवाद, whuber। बहुत ही रोचक। मैंने समस्या वर्णन में अधिक संदर्भ प्रदान किया है, ऊपर। मुझे जिस लंबाई की आवश्यकता है वह अपेक्षाकृत कम है (स्वाथ की चौड़ाई, ऊपर दिखाया गया है, जो एक डिग्री के कुछ दसवें भाग है) इसलिए मान्य अनुमानों पर किसी भी सुझाव की बहुत सराहना की जाएगी। लिंक के लिए भी धन्यवाद - मैं इसकी जांच करूंगा।
पॉल किटिंग

जवाबों:


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एक सुरुचिपूर्ण सिद्धांत एक सरल उत्तर प्रदान करता है:

एक चिकनी घुमावदार सतह पर सभी बिंदु पर्याप्त रूप से बड़े पैमाने पर सपाट हैं।

इसका मतलब यह है कि निर्देशांक के अमीन परिवर्तन (आमतौर पर उनमें से केवल एक के शामिल होने के बाद), हम यूक्लिडियन ज्यामिति के सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं, जैसे कि कंप्यूटिंग दूरी के लिए पाइथोगोरियन प्रमेय और लंबवत खोजने के लिए नकारात्मक-पारस्परिक-ढलान सूत्र।

अक्षांश और देशांतर के साथ गोले पर (ध्रुवों से दूर, जहां देशांतर विलक्षण हो जाता है), हम सभी को ध्रुवों की डिग्री के सिकुड़ने की अवधि को प्रतिबिंबित करने के लिए पूर्व-पश्चिम दिशा को पुनर्विक्रय करने की आवश्यकता है क्योंकि एक ध्रुव के पास पहुंचता है। पृथ्वी के एक गोलाकार मॉडल के साथ, उस संकोचन को अक्षांश के कोसाइन द्वारा दिया जाता है। यह केवल कथानक के पहलू अनुपात में बदलाव है, इससे अधिक कुछ नहीं।

यह उन क्षेत्रों के लिए काम करता है जो उत्तर-दक्षिण में अक्षांश के कुछ अंशों से अधिक नहीं होते हैं और ध्रुव पर नहीं जाते हैं।

इसलिए, आपको केवल इतना करना है:

  1. एक विशिष्ट अक्षांश के कोसाइन द्वारा सभी अनुदैर्ध्य को गुणा करें।

  2. लंबवत रेखा की गणना करें।

  3. समन्वय समायोजन को पूर्ववत करें।

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि विमान का ट्रैक इसे (लोन, लैट) = (-78, 40) से (-79, 41) तक ले गया। हम 40 और 41 के बीच लेट होने के लिए एक विशिष्ट अक्षांश ले सकते हैं, जैसे कि 40.5।

चरण 1 समायोजित निर्देशांक हैं (-78 * cos (40.5), 40) = (-59.31167, 40) और (-79 * cos (40.5), 41) = (-60.07207, 41)।

चरण 2 प्रश्न एक नकारात्मक-पारस्परिक-ढलान विधि का उपयोग करके ऐसा करने का प्रस्ताव करता है। यह सही होगा, लेकिन यह कुछ मामलों में विफल होगा (जहां ढलान अनंत है)। यह वेक्टर अंकगणित का उपयोग करने के लिए अधिक सामान्य और अधिक शक्तिशाली है। यहां बताया गया है कि गणना कैसे होती है।

उड़ान पथ के लिए दिशा वेक्टर अपनी शुरुआत से अंत तक विस्थापन है,

v =  (-60.07207, 41) - (-59.31167, 40)
  =  (-0.7604, 1.0).

किसी भी सदिश (x, y) को समकोण पर घुमाते हुए दक्षिणावर्त (y, -x) उत्पन्न करता है, जो दाईं ओर लंबवत दिशा है

w = (1.0, 0.7604).

पायथागॉरियन प्रमेय के अनुसार, इस वेक्टर की लंबाई इसके गुणकों के वर्गों के योग का वर्गमूल है,

|w| = sqrt(1^2 + 0.7604^2) = 1.256268

आइए, कहते हैं, इस वेक्टर के साथ विमान की उड़ान के शुरुआती बिंदु से 0.2 डिग्री। शुरुआत (-59.31167, 40) पर है और विस्थापन 0.2 / | w | समय w, पर समाप्त होता है

(-59.31167, 40) + 0.2 / 1.256268 * (1.0, 0.7604) = (-59.15247  40.12106).

चरण 3 समायोजन को पूर्ववत करने के लिए, चरण 1 में उपयोग किए गए उसी कोसाइन द्वारा किसी भी परिणामी बिंदुओं के पहले निर्देशांक को विभाजित करें:

(-59.15247/cos(40.5), 40.12106) = (-77.79064, 40.12106)

यदि आप 1: 1 पहलू अनुपात का उपयोग करके इन बिंदुओं को प्लॉट करते हैं, तो कोण एक समकोण के बजाय अपवित्र प्रतीत होगा। लेकिन यदि आप पहलू अनुपात को 1: cos (40.5) (लगभग 4: 3) में बदलते हैं, तो कोण 90 डिग्री पर सही ढंग से दिखाई देगा। जब आप Google के मर्केटर सहित - किसी भी अनुरूप प्रक्षेपण का उपयोग करके बिंदुओं की साजिश करते हैं - तो कोण भी सही होगा।


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यह शानदार है, whuber बहुत बहुत धन्यवाद। यह बहुत स्पष्ट स्पष्टीकरण है कि मैं कहां गलत हूं, और मैं समस्या को कैसे ठीक कर सकता हूं। मैंने लंब रेखा को प्राप्त करने के लिए मतलाब के 'अज़ीमुथ' और 'रेकॉन' फ़ंक्शंस का उपयोग करके समाप्त कर दिया है, लेकिन यह कैसे करना है, इसके बारे में अधिक विस्तृत, पहले-सिद्धांतों की व्याख्या को देखना अच्छा है। बहुत धन्यवाद।
पॉल किटिंग
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