एक गोले के रूप में पृथ्वी का अनुमान लगाना कितना सही है?

Question

पृथ्वी को एक गोले के रूप में अंजाम देते समय मैं किस स्तर की त्रुटि का सामना कर सकता हूं? विशेष रूप से, जब अंकों के स्थान के साथ काम करते हैं और, उदाहरण के लिए, उनके बीच महान सर्कल की दूरी।

क्या एक दीर्घवृत्त की तुलना में औसत और सबसे खराब स्थिति में कोई अध्ययन है? मैं सोच रहा हूं कि अगर मैं आसान गणनाओं के लिए एक क्षेत्र के साथ जाऊं तो मैं कितनी शुद्धता का त्याग करूंगा।

मेरे विशेष परिदृश्य में सीधे WGS84 के मानचित्रण शामिल हैं जैसे कि वे किसी भी परिवर्तन के बिना एक पूर्ण क्षेत्र ( IUGG द्वारा परिभाषित माध्य त्रिज्या के साथ) पर निर्देशांक थे ।

Comments

क्या आप विशेष रूप से एक गोलाकार मॉडल में रुचि रखते हैं या क्या आप दीर्घवृत्त मॉडल में रुचि रखते हैं? मुझे लगता है कि त्रुटि की मात्रा एक क्षेत्र और एक दीर्घवृत्त के बीच बहुत भिन्न होगी।

— जय लौरा

इस उत्तर में एक संबंधित विश्लेषण दिखाई देता है । अपने प्रश्न का उत्तर प्राप्त करने के लिए, हालांकि, आपको यह निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है कि पृथ्वी को एक गोले के रूप में कैसे अनुमानित किया जाता है। कई सन्निकटन उपयोग में हैं। वे सभी कार्य करने के लिए समान हैं, 'f' = u (f, l) और l '= v (f, l) जहां (f, l) क्षेत्र के भौगोलिक निर्देशांक हैं और (f', l ') भौगोलिक निर्देशांक हैं दीर्घवृत्त। Bugayevskiy & Snyder, Map Projections, A Reference Manual में खंड 1.7 ("एक गोले की सतह पर क्रांति के दीर्घवृत्त का परिवर्तन") देखें । टेलर और फ्रांसिस [1995]।

— whuber

यह Google / बिंग EPSG 900913 प्रोजेक्शन (जिसमें WGS84 निर्देशांक का उपयोग करता है, लेकिन वे एक गोले पर थे जैसे प्रोजेक्ट्स का उपयोग करता है) पर शुरुआती बहस के समान है और शायद ईपीएसजी के लिए त्रुटियों को शुरू में डेवलपर्स द्वारा दबाव देने तक प्रक्षेपण को अस्वीकार कर दिया गया था। आपको अत्यधिक विचलित करने के लिए बिना, इस बहस में से कुछ के बाद, व्हिबर द्वारा प्रदान किए गए उत्कृष्ट लिंक में जानकारी के लिए कुछ अतिरिक्त चौड़ाई जोड़ सकते हैं।

— मप्पाग्नोसिस

@ Jzl5325: हाँ, मेरा मतलब है एक सख्त क्षेत्र और दीर्घवृत्त नहीं, थोड़ा और संदर्भ प्रदान करने के लिए प्रश्न को संपादित किया।

— जेफ ब्रिजमैन

मुझे लगता है कि आप इस पढ़ना चाहिए: en.wikipedia.org/wiki/Haversine_formula

— longtsing

Answer 1

संक्षेप में, प्रश्न में अंकों के आधार पर यह दूरी लगभग 22 किमी या 0.3% तक हो सकती है। अर्थात्:

• त्रुटि को कई प्राकृतिक, उपयोगी तरीकों से व्यक्त किया जा सकता है , जैसे (i) (अवशिष्ट) त्रुटि, दो गणना की गई दूरियों के बीच के अंतर के बराबर (किलोमीटर में), और (ii) सापेक्ष त्रुटि, अंतर से विभाजित अंतर के बराबर। "सही" (दीर्घवृत्त) मान। काम करने के लिए सुविधाजनक संख्याओं का उत्पादन करने के लिए, मैं इन अनुपातों को 1000 से गुणा करके संबंधित त्रुटि प्रति हजार भागों में व्यक्त करता हूं ।

• त्रुटियाँ समापन बिंदुओं पर निर्भर करती हैं। दीर्घवृत्त और गोले के घूर्णी समरूपता और उनके द्विपक्षीय (उत्तर-दक्षिण और पूर्व-पश्चिम) समरूपता के कारण, हम उत्तरी गोलार्ध में प्राइम मेरिडियन (देशांतर 0) के साथ कहीं समापन बिंदुओं में से एक और 0 (90 के बीच अक्षांश) में रख सकते हैं। ) और पूर्वी गोलार्ध में दूसरा समापन बिंदु (0 और 180 के बीच देशांतर)।

इन निर्भरताओं का पता लगाने के लिए, मैंने -90 (90 और 90 डिग्री) के बीच अक्षांश के एक समारोह के रूप में, (lat, lon) = (mu, 0) और (x, lambda) के बीच त्रुटियों की साजिश रची है। (सभी बिंदु नाममात्र शून्य की ऊँचाई पर हैं।) आंकड़ों में पंक्तियाँ {0, 22.5, 45, 67.5} डिग्री और {0, 45, 90, 180} पर लंबोदा के मान के स्तंभों के अनुरूप हैं। डिग्री कम है। यह हमें संभावनाओं के स्पेक्ट्रम का एक अच्छा दृश्य देता है। जैसा कि अपेक्षित था, उनके अधिकतम आकार लगभग चपटे (लगभग 1/300) गुना प्रमुख अक्ष (लगभग 6700 किमी), या लगभग 22 किमी हैं।

त्रुटियाँ

सापेक्ष त्रुटियाँ

समोच्च साजिश

त्रुटियों की कल्पना करने का दूसरा तरीका एक समापन बिंदु को ठीक करना और दूसरे को अलग-अलग होने देना, जो त्रुटियों को उत्पन्न करता है। यहां, उदाहरण के लिए, एक समोच्च भूखंड है जहां पहला समापन बिंदु 45 डिग्री उत्तरी अक्षांश, 0 डिग्री देशांतर पर है। पहले की तरह, त्रुटि मान किलोमीटर में हैं और सकारात्मक त्रुटियों का मतलब है कि गोलाकार गणना बहुत बड़ी है:

दुनिया भर में लपेटे जाने पर पढ़ना आसान हो सकता है:

फ्रांस के दक्षिण में लाल बिंदु पहले समापन बिंदु के स्थान को दर्शाता है।

रिकॉर्ड के लिए, गणनाओं के लिए यहां गणितज्ञ 8 कोड का उपयोग किया गया है:

WGS84[x_, y_] := GeoDistance @@ (GeoPosition[Append[#, 0], "WGS84"] & /@ {x, y});
sphere[x_, y_] := GeoDistance @@
   (GeoPosition[{GeodesyData["WGS84", {"ReducedLatitude", #[[1]]}], #[[2]], 0}, "WGS84"] & /@ {x, y});

और प्लॉटिंग कमांड में से एक:

With[{mu = 45}, ContourPlot[(sphere[{mu, 0}, {x, y}] - WGS84[{mu, 0}, {x, y}]) / 1000, 
                   {y, 0, 180}, {x, -90, 90}, ContourLabels -> True]]

Comments

एक बदमाश क्या जवाब देता है @whuber

— Ragi Yaser Burhum

Answer 2

मैंने हाल ही में इस प्रश्न का पता लगाया है। मुझे लगता है कि लोग जानना चाहते हैं

1. मुझे किस गोलाकार त्रिज्या का उपयोग करना चाहिए?
2. परिणामी त्रुटि क्या है?

सन्निकटन की गुणवत्ता के लिए एक उचित मीट्रिक महान-सर्कल दूरी में अधिकतम पूर्ण सापेक्ष त्रुटि है

err = |s_sphere - s_ellipsoid| / s_ellipsoid

अंकों के सभी संभावित जोड़े पर अधिकतम मूल्यांकन के साथ।

यदि चपटा च छोटा है, तो गोलाकार त्रिज्या, जो न्यूनतम को कम करती है, (a + b) / 2 के बहुत करीब है और परिणामी त्रुटि है

err = 3*f/2 = 0.5% (for WGS84)

(अंकों के यादृच्छिक रूप से चुने गए 10 ^ 6 के साथ मूल्यांकन किया गया)। इसे कभी-कभी गोलाकार त्रिज्या के रूप में उपयोग करने का सुझाव दिया जाता है (2 * a + b) / 3। इससे थोड़ी बड़ी त्रुटि होती है, = 5 * f / 3 = 0.56% (WGS84 के लिए)।

भू-भौतिकी जिनकी लंबाई गोलाकार सन्निकटन द्वारा सबसे अधिक कम आंकी जाती है, जैसे एक ध्रुव के पास स्थित है, जैसे (89.1,0) से (89.1,180)। भूगर्भिक जिनकी लंबाई गोलाकार सन्निकटन द्वारा सबसे अधिक overestimated है, भूमध्य रेखा के पास मेरिडियन हैं, जैसे (-0.1,0) से (0.1,0)।

ADDENDUM : इस समस्या से निपटने का एक और तरीका है।

दीर्घवृत्त पर समान रूप से वितरित बिंदुओं के जोड़े का चयन करें। दीर्घवृत्तीय दूरी s और एक इकाई गोले t पर दूरी को मापें । किसी भी अंक के लिए, s / t एक समान गोलाकार त्रिज्या देता है। अंकों की सभी जोड़ियों पर इस मात्रा को औसत करें और यह एक मतलब के बराबर गोलाकार त्रिज्या देता है। वास्तव में एक सवाल है कि औसत कैसे किया जाना चाहिए। हालाँकि मेरे द्वारा चुने गए सभी विकल्प

1. <s>/<t>
2. <s/t>
3. sqrt(<s^2>/<t^2>)
4. <s^2>/<s*t>
5. <s^2/t>/<s>

सभी आईयूजीजी की सिफारिश की त्रिज्या, आर ₁ = (2 ए + बी ) / 3. के कुछ मीटर के भीतर बाहर आए । इस प्रकार, यह मान गोलाकार दूरी की गणना में आरएमएस त्रुटि को कम करता है। (हालाँकि, यह ( a + b ) / 2 की तुलना में थोड़ी अधिक अधिकतम सापेक्ष त्रुटि के कारण होता है ; ऊपर देखें।) यह देखते हुए कि R ₁ का उपयोग अन्य उद्देश्यों (क्षेत्र गणना और इसी तरह) के लिए किए जाने की संभावना है, इसका एक अच्छा कारण है दूरी की गणना के लिए इस विकल्प के साथ रहें।

नीचे पंक्ति :

• किसी भी तरह के व्यवस्थित काम के लिए, जहाँ आप दूरी की गणना में 1% त्रुटि को सहन कर सकते हैं, त्रिज्या R _{1 के} एक गोले का उपयोग कर सकते हैं । अधिकतम सापेक्ष त्रुटि 0.56% है। जब आप पृथ्वी को एक गोले से जोड़ते हैं तो इस मूल्य का लगातार उपयोग करें।
• आपको अतिरिक्त सटीकता की आवश्यकता है, दीर्घवृत्तीय जियोडेसिक समस्या को हल करें।
• लिफाफे की गणना के लिए, आर ₁ या 6400 किमी या 20000 / पीआई किमी या ए का उपयोग करें । इनका परिणाम लगभग 1% की अधिकतम सापेक्ष त्रुटि है।

उत्तर ADDENDUM : आप महान सर्कल की गणना में अक्षांश के रूप में μ = tan ¹¹ ((1 - f ) ^3/2 tanφ) (एक गरीब आदमी का सुप्त अक्षांश) का उपयोग करके महान सर्कल दूरी से थोड़ी अधिक सटीकता निचोड़ सकते हैं । यह अधिकतम सापेक्ष त्रुटि 0.56% से 0.11% ( गोले के त्रिज्या के रूप में आर ₁ का उपयोग करके ) को कम करता है। (यह स्पष्ट नहीं है कि क्या यह वास्तव में इस दृष्टिकोण को लेने के लायक है क्योंकि सीधे दीर्घवृत्तीय जियोडेसिक दूरी की गणना के विपरीत है।)