खपत आधारित परिसंपत्ति मूल्य निर्धारण में लॉग-सामान्यता धारणा

Question

सीआरआरए उपयोगिता के साथ एक बहुत ही बुनियादी असतत समय प्रतिनिधि उपभोक्ता अधिकतमकरण समस्या पर विचार करें। समय के साथ एक जोखिम भरी संपत्ति मौजूद है$t$ कीमत $p_t$ वह समय देता है $t+1$ लाभांश $d_{t+1}$ , और मूल्य के साथ एक जोखिम रहित संपत्ति $p_t^f$ कि एक निरंतर भुगतान 1 पर भुगतान करता है $t+1$। हम मानते हैं कि लाभांश यादृच्छिक चर का एक क्रम है जो मार्कोव प्रक्रिया का पालन करते हैं। आगे मान लें कि उपभोक्ता के पास कोई अन्य आय धारा नहीं है (यानी$y_t = 0 \ \forall t$)। समय पर टी उपभोक्ता राशि का निवेश करता है$\pi_t$ जोखिम भरा संपत्ति और राशि में $\pi_t^0$जोखिम रहित संपत्ति में। इसलिए, अधिकतमकरण समस्या के रूप में कहा जा सकता है

$$\begin{align*} & \underset{\{ c_t, \pi \}_0^\infty}{\text{max}} \ \ E_0 \sum_{t=0}^\infty \ \beta^t \ \frac{c_t^{1-\gamma} -1}{1-\gamma} \\ \\ \ s.t \ \ \ \ & c_t + \pi_t p_t + \pi_t^0 p_t^0 = (d_t+p_t) \pi_{t-1} + \pi_{t-1}^0 \\ & c_t \geq 0 \end{align*}$$

कहें कि हम संतुलन जोखिम रहित और अपेक्षित इक्विटी प्रीमियम खोजना चाहते हैं। मॉडल को बंद करने के लिए, यह अक्सर मान लिया जाता है (उदाहरण के लिए देखें क्लॉस मंक की पुस्तक फाइनेंशियल एसेट प्राइसिंग थ्योरी अध्याय 8.3) कि लॉग-खपत वृद्धि और लॉग-रिस्की सकल रिटर्न संयुक्त रूप से सामान्य रूप से वितरित किए जाते हैं। अर्थात

$$\begin{align*} & ln \ \Big(\dfrac{c_{t+1}}{c_t} \Big) \equiv \bar{g}_{t+1} \sim N(\mu_g, \sigma_g^2) \\ & ln R_{t+1} \equiv \bar{r}_{t+1} \sim N(\mu_r, \sigma_r^2) \ , \\ \end{align*}$$

जहां सकल रिटर्न के रूप में परिभाषित किया गया है

$$R_{t+1} \equiv \frac{p_{t+1} + d_{t+1}}{p_t} \ .$$

जो मुझे पूरी तरह से समझ में नहीं आता है, वह है जहाँ "-से आते हैं" सामान्य-सामान्य वितरण धारणाएँ हैं। मुझे पता है कि चूंकि यह प्रतिनिधि एजेंट अर्थव्यवस्था है, इसलिए एजेंट की खपत अर्थव्यवस्था में कुल लाभांश के बराबर होनी चाहिए। लेकिन जब से हमने मान लिया कि आय नहीं है,$y_t = 0 \ \forall t$अर्थव्यवस्था में एकमात्र बहिर्जात लाभांश प्रक्रिया है $d_t$और इसलिए इसका उपभोग वृद्धि के समान वितरण होना चाहिए। हालांकि, मेरी धारणा यह है कि जब हम कहते हैं कि जोखिम की दर में सामान्य-वितरण होता है, तो इसका मतलब वास्तव में लाभांश प्रक्रिया है, क्योंकि यह रिटर्न की परिभाषा में 'यादृच्छिक भाग' है (कीमत)$p_{t+1}$बहिर्जात नहीं है लेकिन मॉडल के अंदर निर्धारित होता है)। मेरे लिए अब ऐसा लगता है कि हमने एक ही बंदोबस्ती प्रक्रिया के बारे में दो अलग-अलग धारणाएँ बनाई हैं$d_t$। उपभोग के लिए धारणा कहां से आती है या इसके लिए क्या है? अगर उपभोक्ता की कुछ आमदनी हो तो स्थिति कैसे बदलेगी$y_t > 0$?

Answer 1

ठेठ दो-अवधि Lagrangian है

$$\Lambda = \beta^t\cdot \Big(\frac{c_t^{1-\gamma} -1}{1-\gamma} + \lambda_t\cdot \big[(d_t+p_t) \pi_{t-1} + \pi_{t-1}^0- c_t - \pi_t p_t - \pi_t^0 p_t^0\big]\Big) \\ + \beta^{t+1}\cdot \Big(\frac{c_{t+1}^{1-\gamma} -1}{1-\gamma} + \lambda_{t+1}\cdot \big[(d_{t+1}+p_{t+1}) \pi_{t} + \pi_{t}^0- c_{t+1} - \pi_{t+1} p_{t+1} - \pi_{t+1}^0 p_{t+1}^0\big]\Big)$$

सम्मान के साथ पहले आदेश की स्थिति $c_t, \pi_t$ कर रहे हैं

$$c_t^{-\gamma} = \lambda_t \implies ... \gamma\ln \frac {c_{t+1}}{c_t} = \ln \frac {\lambda_{t}}{\lambda_{t+1}} \tag{1}$$

$$-\beta^t\lambda_tp_t + \beta^{t+1}\lambda_{t+1}(d_{t+1}+p_{t+1})=0 \implies \frac {\lambda_{t}}{\lambda_{t+1}} = \beta \frac{p_{t+1} + d_{t+1}}{p_t} \tag{2}$$

और इसलिए, सकल रिटर्न की परिभाषा का उपयोग करते हुए,

$$\ln \frac {\lambda_{t}}{\lambda_{t+1}} = \ln \beta + \ln R_{t+1} \tag{3}$$

का मेल $(1)$ तथा $(3)$ हमें मिला

$$\ln \frac {c_{t+1}}{c_t} = \frac 1 {\gamma}\ln \beta + \frac 1 {\gamma}\ln R_{t+1} \tag{4}$$

इसलिए हम देखते हैं कि इष्टतम पथ पर, खपत वृद्धि लॉग-रिस्क रिटर्न का एक सीधा affine कार्य है। अन्य बातों के बीच यह तात्पर्य है कि उनका सहसंबंध गुणांक एकता के बराबर है।

सामान्य वितरण affine परिवर्तनों (वैकल्पिक रूप से, स्केलिंग और स्थानांतरण के तहत) के तहत बंद है, इसलिए यदि हम मानते हैं कि लॉग-रिस्की रिटर्न सामान्य रूप से वितरित किया जाता है, तो खपत वृद्धि भी सामान्य रूप से वितरित की जाती है (अलग-अलग मतलब और भिन्नता के साथ)।

ध्यान दें कि हालांकि सामान्य रूप से, संयुक्त सामान्यता धारणा एक अतिरिक्त है जब दो सामान्य यादृच्छिक चर स्वतंत्र नहीं होते हैं, यहां, यह तथ्य यह है कि एक अन्य का एक सामान्य कार्य है जो संयुक्त सामान्यता की गारंटी देता है। बाइवेरेट सामान्यता के लिए क्रैमर की स्थिति से, यह मामला होना चाहिए कि दो सामान्य यादृच्छिक चर के सभी रैखिक संयोजनों का एक सामान्य सामान्य वितरण होता है। हमारे मामले में हमारे पास (जेनेरिक नोटेशन) रैंडम वॉएवेरी है$Y$ और यादृच्छिक चर $X = a+bY$। विचार करें

$$\delta_1X + \delta_2 Y = \delta_1(a+bY) + \delta_2 Y = \delta_1a + (\delta_1b+\delta_2)Y$$

तो किसी के लिए भी $(\delta_1, \delta_2)$ (जीरो वेक्टर को छोड़कर जिसे प्राथमिकता से बाहर रखा गया है), $\delta_1X + \delta_2 Y$ एक सामान्य वितरण के बाद अगर $Y$कर देता है। तो यह मान लेना पर्याप्त है कि लॉग-रिस्क रिटर्न संयुक्त सामान्यता भी प्राप्त करने के लिए एक सामान्य वितरण का पालन करता है।

Comments

यह एक पुराना उत्तर है, लेकिन जैसा कि कहा गया है कि यह उत्तर गलत है। स्टोकेस्टिक तत्वों की उपस्थिति में लैग्रेंज मल्टीप्लायरों का उपयोग करते समय आपको सावधान रहना होगा। यदि आप गणना ठीक से करते हैं, तो आप केवल मानक संपत्ति मूल्य निर्धारण समीकरण के साथ समाप्त होते हैं$\mathbb E(mR) = 1$- आपकी गणना में, आप उम्मीद खो देते हैं क्योंकि आप अपने अनुकूलन के साथ सावधान नहीं हो रहे हैं। (यह कहने का एक और तरीका है कि अनुकूलन समस्या होनी चाहिए$s+1$ के बजाय बाधाओं $2$, कहाँ पे $s$ अवधि में प्रकृति की संभावित अवस्थाओं की संख्या है $t+1$।)

— Starfall

@Starfall इनपुट के लिए धन्यवाद। पुरानी या गलत, गलत सामग्री को सुधारा जाना है। मैं फिर से उत्तर की जांच करूंगा, और देखूंगा कि मैं क्या कर सकता हूं। पहली नज़र में, मुझे लगता है कि आप का मतलब है कि बीच में सहसंयोजक$t+1$ गुणक और $p_{t+1}, d_{t+1}$शर्तों की अनदेखी की गई है।

— एलेकोस पापाडोपोलोस

यह सिर्फ कोविरेंस नहीं है जिसे नजरअंदाज किया गया है - अगर वह एकमात्र समस्या थी, तो आप समाप्त हो गए होंगे $\mathbb E(m) \mathbb E(R) = 1$, जो केवल छूट के साथ अपेक्षित कारक के अपेक्षित मूल्य से संबंधित है, जबकि आपका उत्तर समाप्त होता है $mR = 1$, छूट कारक और रिटर्न के बीच एक पूर्व पोस्ट संबंध जो प्रकृति की हर स्थिति में है। समस्या यह है कि आप समस्या के विभिन्न राज्यों के बारे में स्पष्ट होने के बिना स्टोकेस्टिक चर वाले लैगेंज मल्टीप्लायरों का उपयोग नहीं कर सकते हैं।

— Starfall

मामले में शब्दावली स्पष्ट नहीं है, $R = (p_{t+1} + d_{t+1})/p_t$, $m = \beta (c_{t+1} / c_t)^{-\gamma}$इस समस्या में।

— Starfall

@Starfall हम्म ... यहाँ मुद्दा वास्तव में एक्साइट सॉल्यूशन का नहीं बल्कि डिस्ट्रिब्यूशन का है। मैं इसके माध्यम से सोचूंगा और बाद में विस्तार से बताऊंगा।

— एलेकोस पापाडोपोलोस

Answer 2

मैंने हाल ही में सभी परिसंपत्तियों और देयता वर्गों के लिए रिटर्न के वितरण को प्राप्त करने वाले एक पेपर का उत्पादन किया। लॉग-सामान्य रिटर्न केवल दो मामलों में दिखाई देता है। पहला एकल अवधि छूट बॉन्ड के साथ है, दूसरा कैश-फॉर-स्टॉक विलय के साथ है। यह एक धारणा से आता है, मेरा मानना ​​है कि असीम रूप से नकारात्मक कीमतों के मार्कोविट्ज़ में समस्या को खत्म करने के लिए मूल रूप से बॉनस द्वारा। जबकि यह तार्किक रूप से व्युत्पन्न था, इसकी एक महत्वपूर्ण धारणा है जो इसे आम तौर पर असत्य बनाती है।

अधिकांश वित्त मॉडल मान लेते हैं कि पैरामीटर को प्रायिकता के साथ जाना जाता है। आपको अनुमान लगाने की आवश्यकता नहीं है$\mu$ साथ में $\bar{x}$क्योंकि यह माना जाता है। सतह पर, यह एक समस्या नहीं है क्योंकि यह अशक्त परिकल्पना आधारित विधियों की सामान्य कार्यप्रणाली है। आप एक अशक्त सही है और इसलिए मापदंडों को जाना जाता है और इस अशक्त के खिलाफ एक परीक्षण किया जाता है।

कठिनाई तब होती है जब पैरामीटर ज्ञात नहीं होते हैं। यह सामान्य रूप से, उस धारणा के बिना प्रमाण ढह जाता है। ब्लैक-स्कोल्स के लिए भी यही सच है। मैं इस वसंत में SWFA सम्मेलन में एक पेपर प्रस्तुत कर रहा हूं, जहां मैं तर्क देता हूं कि यदि ब्लैक-स्कोल्स फॉर्मूला की धारणाएं वास्तव में सच हैं, तो एक अनुमानक मौजूद नहीं हो सकता है जो जनसंख्या पैरामीटर में परिवर्तित होता है। हर किसी ने सिर्फ सही ज्ञान के तहत सूत्र ग्रहण किया, पैरामीटर अनुमानक की बराबरी की। वास्तव में किसी ने भी इसके गुणों की जांच नहीं की। अपने शुरुआती पेपर में, ब्लैक एंड स्कोल्स ने अपने फार्मूले का अनुभवपूर्वक परीक्षण किया और उन्होंने बताया कि यह काम नहीं किया। एक बार जब आप इस धारणा को छोड़ देते हैं कि पैरामीटर ज्ञात हैं, तो गणित अलग तरीके से सामने आता है। इसके बारे में सोचने के लिए पर्याप्त अलग नहीं है उसी तरह।

आइए एक NYSE व्यापार इक्विटी सुरक्षा के एक मामले पर विचार करें। यह एक दोहरी नीलामी में कारोबार किया जाता है ताकि विजेता का अभिशाप प्राप्त न हो। इस वजह से, तर्कसंगत व्यवहार एक सीमा आदेश बनाने के लिए है जिसकी कीमत के बराबर है$\mathbb{E}(p_t),\forall{t}$। कई खरीदार और विक्रेता हैं, इसलिए सीमा की किताब को सांख्यिकीय रूप से सामान्य होना चाहिए, या कम से कम ऐसा हो जाएगा क्योंकि खरीदारों और विक्रेताओं की संख्या अनंत तक जाती है। इसलिए$p_t$ के बारे में सांख्यिकीय रूप से सामान्य है $p_t^*$, संतुलन कीमत।

बेशक, हमने इसके वितरण की अनदेखी की है $(q_t,q_{t+1})$। यदि आप विभाजन और स्टॉक लाभांश को अनदेखा करते हैं, तो यह या तो अस्तित्व में रहता है या ऐसा नहीं करता है। इसलिए आपको स्टॉक-फॉर-स्टॉक रिटर्न, कैश-फॉर-स्टॉक रिटर्न और दिवालियापन के लिए मिश्रण वितरण बनाना होगा। हम सादगी के लिए इन मामलों की अनदेखी करेंगे, हालांकि ऐसा करने से एक विकल्प मूल्य निर्धारण मॉडल को हल करने की क्षमता का ह्रास होता है।

इसलिए, अगर हम खुद को प्रतिबंधित करते हैं $r_t=\frac{p_{t+1}}{p_t}$और सभी लाभांशों को दूर मान लें, तो हमारे रिटर्न संतुलन के बारे में दो मानदंडों का अनुपात होगा। मैं लाभांशों को बाहर कर रहा हूं क्योंकि वे एक गड़बड़ पैदा करते हैं और मैं 2008 के वित्तीय संकट जैसे मामलों को शामिल नहीं कर रहा हूं क्योंकि आपको एक अजीब परिणाम मिलता है जो पृष्ठ के बाद पृष्ठ के बाद पृष्ठ का उपभोग करेगा।

अब हम अपनी व्युत्पत्ति को सरल बनाते हैं, यदि हम अपने डेटा का अनुवाद करते हैं $(p_t^*,p_{t+1}^*)$ सेवा $(0,0)$ और परिभाषित करते हैं $\mu=\frac{p_{t+1}^*}{p_t^*}$हम आसानी से वितरण देख सकते हैं। जानी-मानी प्रमेय द्वारा देनदारियों या एक अंतर-बजटीय बाधा पर एक सीमा के अभाव में, रिटर्न का घनत्व कॉची वितरण होना चाहिए, जिसका न तो कोई मतलब है और न ही विचरण। जब आप मूल्य स्थान पर वापस सब कुछ अनुवाद करते हैं, तो घनत्व बन जाता है

$$\frac{1}{\pi}\frac{\sigma}{\sigma^2+(r_t-\mu)^2}.$$

चूंकि कोई मतलब नहीं है, आप अपेक्षाएं नहीं कर सकते हैं, कम से कम वर्गों के किसी भी रूप का उपयोग कर सकते हैं या एफ परीक्षण कर सकते हैं। बेशक, यह अलग होगा अगर इसके बजाय एक एंटीक था।

यदि यह एक नीलामी में एक प्राचीन विजेता का अभिशाप प्राप्त करता है। उच्च बोली लगाने वाला बोली जीतता है और उच्च बोलियों का घनत्व घनत्व Gumbel वितरण है। तो आप एक ही समस्या को हल करेंगे लेकिन दो सामान्य वितरणों के बजाय दो Gumbel वितरण के अनुपात के रूप में।

समस्या वास्तव में यह सरल नहीं है। देयता की सीमा सभी अंतर्निहित वितरणों को काट देती है। इंटरटेम्पोरल बजट बाधा सभी अंतर्निहित वितरण को रोकती है। ऊपर के रूप में जाने वाली चिंताओं के लिए लाभांश, नकदी के लिए विलय, स्टॉक या संपत्ति के लिए विलय, दिवालियापन, और एक काटे गए काउची वितरण के लिए एक अलग वितरण है। मिश्रण में इक्विटी प्रतिभूतियों के लिए छह प्रकार के वितरण मौजूद हैं।

विभिन्न नियमों और विभिन्न अस्तित्व वाले राज्यों के साथ अलग-अलग बाजार अलग-अलग वितरण बनाते हैं। एक प्राचीन फूलदान में वह जगह होती है जहाँ उसे गिराया जाता है और बिखरता है। यह पहनने और आंसू या आंतरिक गुणवत्ता में कुछ अन्य बदलाव का भी मामला है। अंत में, यह भी मामला है कि यदि पर्याप्त समान vases नष्ट हो जाते हैं तो स्थान का केंद्र चलता है।

अंत में, ट्रंकेशन के कारण और मापदंडों के लिए एक पर्याप्त सांख्यिकीय की कमी के कारण, एक कम्प्यूटेशनल और स्वीकार्य गैर-बायेसियन अनुमानक मौजूद नहीं है।

आप दो सामान्य चर के अनुपात और http://mathworld.wolfram.com/NormalRatioDistribution.html पर एक स्पष्टीकरण पा सकते हैं।

आप यह भी पा सकते हैं कि इस विषय पर पहला पेपर क्या प्रतीत होता है

कर्टिस, जेएच (1941) टू चांस वेरिएबल्स के उद्धरण के वितरण पर। गणितीय सांख्यिकी के इतिहास, 12, 409-421।

पर एक अनुवर्ती कागज भी है

गुरलैंड, जे। (1948) अनुपात के वितरण के लिए व्युत्क्रम सूत्र। द एनल्स ऑफ मैथमैटिकल स्टैटिस्टिक्स, 19, 228-237

लिकलीहुडिस्ट और फ़्रीक्वेंटिस्ट तरीकों के लिए ऑटोरोग्रेसिव फॉर्म के लिए

व्हाइट, जेएस (1958) विस्फोटक मामले में सीरियल सहसंबंध गुणांक का सीमित वितरण। गणितीय सांख्यिकी के इतिहास, 29, 1188-1197,

और राव द्वारा इसका सामान्यीकरण

राव, एमएम (1961) विस्फोटक स्टोचस्टिक डिफरेंशियल इक्वेशन में पैरामीटर्स के अनुमानकर्ताओं की संगति और सीमा वितरण। गणितीय सांख्यिकी के इतिहास, 32, 195-218

मेरा पेपर इन चार और अन्य पेपरों को लेता है, जैसे कि कोपमैन द्वारा एक पेपर और जेन्स द्वारा एक, वितरण का निर्माण करने के लिए यदि सही पैरामीटर अज्ञात हैं। यह देखता है कि उपरोक्त श्वेत पत्र में बायेसियन व्याख्या है और एक बायेसियन समाधान की अनुमति देता है, हालांकि कोई भी गैर-बायेसियन समाधान मौजूद नहीं है।

उस पर ध्यान दें $\log(R)$एक परिमित माध्य और विचरण है, लेकिन कोई सहसंयोजक संरचना नहीं है। वितरण हाइपरबोलिक सेकेंट वितरण है। यह आँकड़ों में एक प्रसिद्ध परिणाम के द्वारा भी है। यह वास्तव में एक अतिशयोक्तिपूर्ण धर्मनिरपेक्ष वितरण नहीं हो सकता है क्योंकि इस तरह के दिवालियापन, विलय और लाभांश के रूप में साइड केस। अस्तित्व के मामले एडिटिव हैं, लेकिन लॉग का अर्थ है गुणात्मक त्रुटियां।

आप हाइपरबोलिक सेकेंट वितरण पर एक लेख पा सकते हैं

डिंग, पी। (2014) हाइपरबोलिक-सिकंट डिस्ट्रीब्यूशन के तीन अवसर। अमेरिकी सांख्यिकीविद्, 68, 32-35

मेरा लेख है

हैरिस, डी। (2017) द डिस्ट्रीब्यूशन ऑफ़ रिटर्न्स। गणितीय वित्त की पत्रिका, 7, 769-804

इससे पहले कि आप मेरा पढ़ें, आपको पहले उपरोक्त चार पेपर पढ़ना चाहिए। इससे ईटी जेनेस टॉम्स को पढ़ने में भी दुख नहीं होगा। यह, दुर्भाग्य से, एक बहुपत्नी कार्य है, लेकिन फिर भी यह कठोर नहीं है। उनकी पुस्तक है:

Jaynes, ET (2003) प्रायिकता सिद्धांत: विज्ञान की भाषा। कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस, कैम्ब्रिज, 205-207