लेक्सिकोग्राफिक वरीयता संबंध एक उपयोगिता फ़ंक्शन द्वारा प्रतिनिधित्व नहीं किया जा सकता है

Question

मैं वरीयता अभ्यास और वॉन-न्यूमैन-मॉर्गनस्टर्न उपयोगिता फ़ंक्शन से संबंधित निम्नलिखित अभ्यास पर अटक गया हूं ।

एक किसान वर्ग क्षेत्र में एक कुआं खोदना चाहता है । संभावित स्थानों पर किसान की प्राथमिकताएं लेक्सिकोग्राफिक हैं, अर्थात:$[0,1000]\times[0,1000]$

• यदि तो सभी । ( एक्स 1 , y 1 ) ≺ ( एक्स 2 , y 2 ) y 1 , y $x_1<x_2$$(x_1,y_1)\prec(x_2,y_2)$$y_1,y_2$
• यदि , तो iff ।( एक्स , वाई 1 ) ≺ ( एक्स , वाई 2 ) y 1 < y $x_1=x_2=x$$(x,y_1)\prec(x,y_2)$$y_1 < y_2$

प्रारंभ में, मान लें कि अच्छी तरह से पूर्णांक निर्देशांक होना चाहिए। क्या लॉटरी पर वरीयता का संबंध है, जो वॉन-न्यूमैन-मॉर्गनस्टर्न एक्सिओम्स को संतुष्ट करता है, और लेक्सिकोग्राफिक वरीयता संबंध को बढ़ाता है? यदि हां, तो एक लीनियर यूटिलिटी फ़ंक्शन क्या है जो इस संबंध का प्रतिनिधित्व करता है?

मुझे लगता है कि उत्तर हां है, और एक संभावित रैखिक उपयोगिता फ़ंक्शन है: ।$u(x,y)=100000x + y$

अब, मान लें कि अच्छी जगह पर वास्तविक निर्देशांक हो सकते हैं। साबित करें कि कोई रेखीय उपयोगिता फ़ंक्शन नहीं है जो लॉटरी पर वरीयता संबंध का प्रतिनिधित्व करता है। लॉटरी में वरीयता संबंध से वॉन-न्यूमैन-मॉर्गनस्टर्न स्वयंसिद्धों में से कौन सा उल्लंघन है?

यहां मैं फंस गया हूं। मुझे समझ नहीं आ रहा है कि मैंने उपर्युक्त उपयोगिता फ़ंक्शन को काम क्यों नहीं किया? और यहाँ क्या स्वयंसिद्ध उल्लंघन किया जाता है?

Answer 1

हम अधिक सामान्य रूप से कह सकते हैं कि निरंतर उपयोगिता फ़ंक्शन का उपयोग करके शाब्दिक प्राथमिकताएं प्रतिनिधित्व योग्य नहीं हैं। शाब्दिक प्राथमिकताएं निरंतर नहीं हैं। निरंतर वरीयता संबंध की परिभाषा नोट करें।

वरीयता संबंध निरंतर है अगर उपभोग बंडलों के किसी भी क्रम के लिए और साथ , , और लिए प्रत्येक , फिर । यही है, निरंतरता सीमा बिंदु पर संबंध को संरक्षित करती है।( एक्स मैं ) मैं ∈ एन ( y मैं ) मैं ∈ एन एक्स मैं → एक्स y मैं → y एक्स मैं ⪰ y मैं मैं ∈ एन एक्स ⪰ $\succeq$$(x_{i})_{i \in \mathbb{N}}$$(y_{i})_{i \in \mathbb{N}}$$x_{i} \to x$$y_{i} \to y$$x_{i} \succeq y_{i}$$i \in \mathbb{N}$$x \succeq y$

विचार करें द्वारा परिभाषित और द्वारा परिभाषित । स्पष्ट रूप से, प्रत्येक । हालाँकि, जबकि । तो यह वरीयता संबंध सीमा बिंदु पर संरक्षित नहीं है। x मैं = ( $(x_{i})_{i \in \mathbb{N}}$(yमैं)मैं∈एनवाईमैं=(0,1)एक्समैं⪰yमैंमैं∈एनएक्समैं→(0,0)yमैं→(0,1$x_{i} = (\frac{1}{2^{i}}, 0)$$(y_{i})_{i \in \mathbb{N}}$$y_{i} = (0, 1)$$x_{i} \succeq y_{i}$$i \in \mathbb{N}$$x_{i} \to (0, 0)$$y_{i} \to (0, 1)$

और भी आम तौर पर, कोई उपयोगिता कार्य शाब्दिक वरीयता संबंध का प्रतिनिधित्व नहीं करता है। मैं के लिए साबित , लेकिन इस तर्क के लिए प्रदान में पेश द्वारा । आर एन + आर 2 $\mathbb{R}_{+}^{2}$$\mathbb{R}_{+}^{n}$$\mathbb{R}_{+}^{2}$

प्रमाण : इसके विपरीत मान लीजिए कि कुछ यूटिलिटी फ़ंक्शन प्रतिनिधित्व करता है । इस प्रकार हमारे पास , as । हम अंतराल । अब किसी भी दो अलग , जैसा कि हमारे पास या (so WLOG) है, हमारे पास है )।≻ एल ई एक्स यू ( एक्स , 1 ) > यू ( एक्स , 0 ) ( एक्स , 1 ) ≻ ( एक्स , 0 ) मैं ( एक्स ) = [ यू ( एक्स , 0 ) , यू ( एक्स , 1 ) ] एक्स , वाई ∈ आर $u : \mathbb{R}_{+}^{2} \to \mathbb{R}$$\succ_{lex}$$u(x, 1) > u(x, 0)$$(x, 1) \succ (x, 0)$$I(x) = [u(x, 0), u(x, 1)]$$x, y \in \mathbb{R}_{+}$एक्स > y y > एक्स ( एक्स , 0 ) ≻ ( y , 1 $I(x) \cap I(y) = \emptyset$$x > y$$y > x$$(x, 0) \succ (y, 1)$

परिभाषित करें , और द्वारा दिया जाता है । निरीक्षण करें कि एक इंजेक्शन है, जैसा कि प्रत्येक विशिष्ट लिए असम्बद्ध है ।φ : आर + → मैं φ ( एक्स ) = मैं ( एक्स ) φ मैं ( एक्स ) , मैं ( y ) x , $\mathbb{I} = \{ I(x) : x \in \mathbb{R}_{+} \}$$\phi : \mathbb{R}_{+} \to \mathbb{I}$$\phi(x) = I(x)$$\phi$$I(x), I(y)$$x, y$

ध्यान दें कि में सघन है । इसलिए प्रत्येक अंतराल में एक तर्कसंगत संख्या मौजूद है। परिभाषित जैसे कि एक परिमेय संख्या । तो एक इंजेक्शन है। हम है के साथ बना एक इंजेक्शन, जिसका मतलब है, एक विरोधाभास। QED।आर τ : मैं → क्यू τ ( मैं ( एक्स ) ) मैं ( एक्स ) τ τ φ | आर + | ≤ | क्यू +$\mathbb{Q}$$\mathbb{R}$$\tau : \mathbb{I} \to \mathbb{Q}$$\tau(I(x))$$I(x)$$\tau$$\tau$$\phi$$|\mathbb{R}_{+}| \leq |\mathbb{Q}_{+}|$

Comments

मैंने संपादन को अस्वीकार कर दिया क्योंकि मुझे लगता है कि WLOG x> y है। तो मेरे कहने का मतलब यह था कि मैंने प्रमाण में क्या लिखा था। :-)

— ml0105

तो कैसे और अर्थ है कि ? यू ( एक्स , 1 ) > यू ( y , 1 ) मैं ( एक्स ) ∩ मैं ( y ) = $u(x,0)>u(y,0)$$u(x,1)>u(y,1)$$I(x)\cap I(y)=\emptyset$

— एलिग सेगल-हलेवी

असल में, वूप्स। आपके द्वारा प्रस्तावित संपादन सही था। हमारे पास WLOG होगा। उस मामूली त्रुटि के लिए क्षमा करें! $u(x, 0) > u(y, 1)$

— ml0105

धन्यवाद। तो, इस असंभव परिणाम का संभावनाओं या वॉन-न्यूमैन-मॉर्गनस्टर्न के साथ कोई लेना-देना नहीं है।

— एरल सेगल-हलेवी

यह टोपोलॉजी में अधिक सामान्य परिणाम है जो उपभोक्ता सिद्धांत में आने के लिए होता है। मैं उपभोक्ता सिद्धांत को एक अर्थशास्त्र अंतर्ज्ञान के साथ लागू टोपोलॉजी के रूप में देखता हूं।

— ml0105

Answer 2

स्थानों पर विचार करें (1) और (2) । । । हालाँकि, , इसलिए यह एक क्रम नहीं है। यह केवल अतिरिक्त अवरोध के साथ है कि और का मान पूर्णांक है जो आपके द्वारा प्रस्तावित फ़ंक्शन में यह विशेषता है। क्योंकि और वास्तविक मानों का तात्पर्य है कि को मनमाने ढंग से बड़ा या छोटा बनाया जा सकता है, कोई भी रैखिक कार्य और सभी संभावित मानों पर आदेश की गारंटी नहीं दे सकता है।$(0.000001,1)$$(0.0000005,10)$$U\left(x_1,y_1\right) = 1.1$$U\left(x_2,y_2\right) = 10.05$$x_2 < x_1$$x$$y$$\in[0,1000]$$x$$y$$x_i / y_i$$x$$y$। अर्थात्, फॉर्म का एक उपयोगिता फ़ंक्शन निर्दिष्ट करें यदि को पूर्णांक होना है तो जब तक यह समस्या के डोमेन पर lexicographic होगा क्योंकि एक इकाई में वृद्धि हमेशा की 1,000 इकाइयों की तुलना में अधिक उपयोगिता का भुगतान करेगा । लेकिन अगर एक वास्तविक संख्या है, तो समस्या बदल जाती है। किसी भी मनमाने ढंग से मूल्य पर विचार करें जो पूर्णांक समस्या को संतुष्ट करता। में परिवर्तन के लिए यह वास्तविक संख्या समस्या में काम करना (lex। Prefs को संरक्षित करना) जारी रखता है। लेकिन में परिवर्तन के लिए :

$$U = \beta \cdot X + Y$$ बीटा > 1000 एक्स वाई एक्स बीटा > 1000 एक्स > 1 / बीटा Δ एक्स < 1000 / बीटा यू ( एक्स + Δ एक्स , 0 ) = बीटा ( एक्स + Δ एक्स ) < बीटा एक्स + 1000 = यू ( एक्स , 1000 ) बीटा ⋅ Δ एक्स < 1000 एक्स $X$$\beta>1000$$X$$Y$$X$$\beta > 1000$$X > 1/\beta$$\Delta X < 1000 / \beta$ $$U(X + \Delta X,0) = \beta (X+\Delta X) < \beta X + 1000= U(X,1000)$$ क्योंकि निर्माण । तो ये प्राथमिकताएं और मनमाने मूल्यों पर शाब्दिक नहीं हैं ।$\beta \cdot \Delta X < 1000$$X$$Y$