क्या पिछले शोधकर्ता केवल सांख्यिकीय गिरावट के कारण गर्म हाथ का पता लगाने में विफल रहे?

Question

कई बास्केटबॉल प्रशंसकों / खिलाड़ियों का मानना ​​है कि एक पंक्ति में कई शॉट लगाने के बाद, अगला शॉट अंदर जाने की अधिक संभावना है। इसे कभी-कभी गर्म हाथ कहा जाता है।

गिलोविच, मॉलोन और टावस्की (1985 ) के साथ शुरू (मुझे लगता है) , यह "दिखाया" गया था कि यह वास्तव में एक गिरावट थी। यहां तक ​​कि अगर एक पंक्ति में कई शॉट अंदर चले गए हैं, तो अगला शॉट आपके औसत शूटिंग प्रतिशत से अधिक होने की संभावना नहीं है।

मिलर और संजुर्जो (2015) का तर्क है कि गर्म हाथ वास्तव में मौजूद है और पिछले शोधकर्ताओं ने काफी बुनियादी सांख्यिकीय गिरावट का शिकार किया था। उनका तर्क कुछ इस तरह है:

एक सिक्के को चार बार पलटें। संभावना की गणना करें कि एच कुछ उदाहरण देने के लिए एच इस प्रकार है: HHTT संभावना 1/2 है, HTHT संभावना 0/2 है, TTHH संभावना होता 0/1 1/1, और दोनों TTTT और TTTH एनए होगा

मिलर और संजुर्जो की पंचलाइन है कि इस संभावना का अपेक्षित मान 0.5 नहीं है, लेकिन .40.4 है। और पिछले शोधकर्ताओं द्वारा की गई त्रुटि गलत तरीके से मानने के लिए थी कि इस संभाव्यता का अपेक्षित मान 0.5 है। इसलिए यदि उदाहरण के लिए इन पिछले शोधकर्ताओं ने उपरोक्त सिक्का-फ़्लिपिंग प्रयोग किया और 0.497 कहने की औसत संभावना पाई, तो उन्होंने गलत तरीके से निष्कर्ष निकाला कि गर्म हाथ का कोई सबूत नहीं था (0.5 से काफी अलग नहीं), जब वास्तव में बहुत कुछ था। एक गर्म हाथ के मजबूत सबूत (0.4 से काफी अलग)।

मेरा सवाल यह है: क्या मिलर और संजुर्ज़ो सही हैं कि पिछले शोधकर्ता इस गलती के कारण केवल गर्म हाथ का पता लगाने में विफल रहे? मैंने इस पर केवल एक या दो पेपरों को स्किम किया है, इसलिए मैं यहां किसी ऐसे व्यक्ति से कुछ पुष्टि प्राप्त करना चाहता था जो इस साहित्य को बेहतर तरीके से जानते हों। यह तीन दशक या उससे अधिक समय तक बनी रहने वाली आश्चर्यजनक रूप से मूर्खतापूर्ण त्रुटि की तरह लगता है।

Comments

यह इस साइट के लिए इस अर्थ में एक खतरनाक सवाल है कि इसका आकलन करना काफी मुश्किल है, खासकर बाहरी लोगों के लिए। और इस तरह हम बहुसंख्यक वोटिंग द्वारा सर्वश्रेष्ठ उत्तरों का "निर्धारण" करते हैं। सभी उत्तरों को पढ़ना सुनिश्चित करें, और केवल उन लोगों को वोट दें जो उन सभी को पढ़ने के बाद सही प्रतीत होते हैं, और उन लोगों को वोट देते हैं जो आपको असंतुष्ट / संदिग्ध छोड़ देते हैं।

— FooBar

ऐसा इसलिए है क्योंकि सही उत्तर काउंटर-सहज हो सकता है। अगर इस तरह की साइट 60 साल पहले अस्तित्व में थी, तो मुझे नहीं लगता कि मोंटी हॉल की समस्या का सही उत्तर - जिसमें समान गुण हैं - बहुमत मतदान के माध्यम से शीर्ष पर आएगा।

— फुआबर

@FooBar, अपनी बात जोड़ने के लिए, यहाँ एक साथ दो जटिल सवाल चल रहे हैं: (1) "गणितीय प्रभाव क्या है कि मिलर और संजुरो चर्चा करते हैं" --- यह सवाल केनी एलजे ने नहीं पूछा, लेकिन एक है अच्छा सवाल है क्योंकि इसे समझने में बहुत कुछ लगता है और यह अपेक्षाकृत उद्देश्य है। तब (2) "क्या यह पूर्व शोध को अमान्य करता है", जो व्यक्तिपरक और राय-आधारित लगता है ....

— usul

@सुल: अर्थशास्त्र में कुछ मामलों में दूसरा प्रश्न ("क्या यह पूर्व शोध को अमान्य करता है?") वास्तव में अधिक विवादास्पद और राय-आधारित है - जैसे रेनहार्ट और रोगॉफ़ (2010) के पेपर पर विवाद। लेकिन मुझे लगता है कि इस मामले में हमारे पास स्पष्ट रूप से परिभाषित गणितीय समस्या है। और जैसा कि मैंने नीचे अपने उत्तर में दिखाने की कोशिश की है (जो मैंने स्पष्टता और संक्षिप्तता के लिए एक बार फिर से लिखी है), मिलर और संजुर्जो (2015) वास्तव में गिलोविच, मेलोन और टावर्सकी (1985) के निष्कर्षों को अमान्य करने में सफल रहे।

— केनी एलजे

@ केनीएलजे, उन्होंने दिखाया है कि 1985 के पेपर में सबूतों में से एक अमान्य है। यह दिखाने से एक बहुत अलग सवाल है कि निष्कर्ष अमान्य है, उदाहरण के लिए यह दर्शाता है कि एक गर्म-हाथ प्रभाव निश्चित रूप से मौजूद है।

— usul

Answer 1

(यह उत्तर जुलाई 2017 में अधिक स्पष्टता और पठनीयता के लिए पूरी तरह से फिर से लिखा गया था।)

एक पंक्ति में 100 बार एक सिक्का फ्लिप करें।

तीन पूंछ की एक लकीर के तुरंत बाद फ्लिप की जांच करें। चलो पी ( एच | 3 टी ) हो सिक्के के अनुपात एक पंक्ति है कि सिर हैं में तीन पूंछ से प्रत्येक लकीर के बाद flips। इसी तरह, चलो पी ( एच | 3 एच ) हो सिक्के के अनुपात एक पंक्ति है कि सिर हैं में तीन प्रमुख से प्रत्येक लकीर के बाद flips। ( इस उत्तर के निचले भाग पर उदाहरण दें। )$\hat{p}(H|3T)$$\hat{p}(H|3H)$

चलो ।$x:=\hat{p}(H|3H)-\hat{p}(H|3T)$

यदि सिक्का-फ़्लिप iid हैं, तो "जाहिर है", 100 सिक्का-फ़्लिप के कई अनुक्रमों में,

(1) रूप में अक्सर x < 0 होने की उम्मीद है ।$x>0$$x<0$

(२) ।$E(X)=0$

हम 100 सिक्कों-फ़्लिप के एक लाख अनुक्रम उत्पन्न करते हैं और निम्नलिखित दो परिणाम प्राप्त करते हैं:

(आई) के रूप में के रूप में लगभग उतनी ही होता है x < 0 ।$x>0$$x<0$

(द्वितीय) ( ˉ एक्स की औसत है एक्स लाख दृश्यों के पार)।$\bar{x} \approx 0$$\bar{x}$$x$

और इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं कि सिक्का-फ्लिप्स वास्तव में आईआईडी हैं और गर्म हाथ का कोई सबूत नहीं है। यह वही है जो जीवीटी (1985) ने किया था (लेकिन सिक्का-फ्लिप्स के स्थान पर बास्केटबॉल शॉट्स के साथ)। और इस तरह उन्होंने निष्कर्ष निकाला कि गर्म हाथ मौजूद नहीं है।

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पंचलाइन: चौंकाने वाला, (1) और (2) गलत हैं। यदि सिक्का-फ्लिप्स iid हैं, तो इसके बजाय यह होना चाहिए

(1-सही किया गया) केवल 37% समय के बारे में होता है , जबकि x < 0 समय का लगभग 60% होता है। (शेष 3% समय में, या तो x = 0 या x अपरिभाषित है - या तो क्योंकि 3H की कोई लकीर नहीं थी या 100 फ़्लिप में 3T की कोई लकीर नहीं थी।)$x>0$$x<0$$x=0$$x$

(2-सही) ।$E(X) \approx -0.08$

शामिल अंतर्ज्ञान (या काउंटर-अंतर्ज्ञान) कई अन्य प्रसिद्ध प्रायिकता पहेलियों में समान है: मोंटी हॉल समस्या, दो-लड़कों की समस्या, और प्रतिबंधित विकल्प का सिद्धांत (कार्ड गेम ब्रिज में)। यह उत्तर पहले से ही काफी लंबा है और इसलिए मैं इस अंतर्ज्ञान के स्पष्टीकरण को छोड़ दूँगा।

और इसलिए जीवीटी (1985) द्वारा प्राप्त किए गए बहुत परिणाम (I) और (II) वास्तव में गर्म हाथ के पक्ष में मजबूत सबूत हैं। यह वही है जो मिलर और संजुरजो (2015) ने दिखाया था।

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जीवीटी की तालिका 4 का आगे का विश्लेषण।

कई (उदाहरण @ नीचे @) - जीवीटी (1985) को पढ़ने के लिए परेशान किए बिना - ने अविश्वास व्यक्त किया कि कोई भी "प्रशिक्षित सांख्यिकीविद् कभी भी" इस संदर्भ में औसतन औसत लेगा।

लेकिन ठीक वैसा ही GVT (1985) ने अपनी तालिका 4 में किया। उनकी तालिका 4, कॉलम 2-4 और 5-6, नीचे पंक्ति देखें। वे पाते हैं कि 26 खिलाड़ियों में से औसतन,

और पी (एच|1एच)≈0.48,$\hat{p}(H|1M) \approx 0.47$$\hat{p}(H|1H) \approx 0.48$

और पी (एच|2एच)≈0.49,$\hat{p}(H|2M) \approx 0.47$$\hat{p}(H|2H) \approx 0.49$

और पी (एच|3एच)≈0.49।$\hat{p}(H|3M) \approx 0.45$$\hat{p}(H|3H) \approx 0.49$

वास्तव में यह मामला है कि प्रत्येक के लिए , औसतन पी ( एच | कश्मीर एच ) > पी ( एच | कश्मीर एम ) । लेकिन जीवीटी के तर्क से लगता है कि ये सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण नहीं हैं और इसलिए ये गर्म हाथ के पक्ष में सबूत नहीं हैं। ठीक है पर्याप्त ठीक है।$k=1,2,3$$\hat{p}(H|kH)>\hat{p}(H|kM)$

लेकिन अगर औसत के औसत (कुछ के द्वारा अविश्वसनीय रूप से बेवकूफ़ मानी जाने वाली चाल) लेने के बजाय, हम उनके विश्लेषण और 26 खिलाड़ियों (प्रत्येक के लिए 100 शॉट्स, कुछ अपवादों के साथ) को एकत्र करते हैं, तो हमें भारित औसत की निम्न तालिका मिलती है।

Any                     1175/2515 = 0.4672

3 misses in a row       161/400 = 0.4025
3 hits in a row         179/313 = 0.5719

2 misses in a row       315/719 = 0.4381
2 hits in a row         316/581 = 0.5439        

1 miss in a row         592/1317 = 0.4495
1 hit in a row          581/1150 = 0.5052

तालिका कहती है, उदाहरण के लिए, 26 खिलाड़ियों द्वारा कुल 2,515 शॉट लिए गए, जिनमें 1,175 या 46.72% थे।

और 400 उदाहरणों में जहां एक खिलाड़ी पंक्ति में 3 से चूक गया, 161 या 40.25% हिट के तुरंत बाद। और 313 उदाहरणों में जहां एक खिलाड़ी ने लगातार 3 हिट किया, 179 या 57.19% ने तुरंत हिट किया।

उपरोक्त भारित औसत गर्म हाथ के पक्ष में मजबूत सबूत प्रतीत होते हैं।

इस बात को ध्यान में रखते हुए कि शूटिंग प्रयोग स्थापित किया गया था ताकि प्रत्येक खिलाड़ी शूटिंग कर रहा था जहाँ से यह निर्धारित किया गया था कि वह अपने शॉट्स का लगभग 50% हिस्सा बना सकता है।

(नोट: "अजीब" पर्याप्त, तालिका 1 में सिक्सर्स इन-गेम शूटिंग के साथ बहुत ही समान विश्लेषण के लिए, जीवीटी इसके बजाय भारित औसत प्रस्तुत करते हैं। तो उन्होंने टेबल 4 के लिए ऐसा क्यों नहीं किया? मेरा अनुमान है कि वे क्या हैं? निश्चित रूप से तालिका 4 के लिए भारित औसत की गणना की गई - जो संख्या मैं ऊपर प्रस्तुत करता हूं, उन्हें जो देखा, वह पसंद नहीं आया और उन्हें दबाने के लिए चुना। इस तरह का व्यवहार दुर्भाग्य से अकादमिक पाठ्यक्रम के लिए बराबर है।)

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$HHHTTTHHHHH…H$$\hat{p}(H|3T)=1/1=1$

$\hat{p}(H|3H)=91/92 \approx 0.989$

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पीएस जीवीटी (1985) तालिका 4 में कई त्रुटियां हैं। मुझे कम से कम दो राउंडिंग त्रुटियाँ दिखाई दीं। और खिलाड़ी 10 के लिए, कॉलम 4 और 6 में पैतृक मान स्तंभ 5 में एक से कम नहीं जोड़ते हैं (तल पर नोट के विपरीत)। मैंने गिलोविच से संपर्क किया (टावर्सकी मर चुका है और वलोन मुझे यकीन नहीं है), लेकिन दुर्भाग्य से उसके पास अब हिट और मिस के मूल अनुक्रम नहीं हैं। तालिका 4 हमारे पास है।

Comments

GMT 1985 की तालिका 4 को देखते हुए, उन्होंने 26 व्यक्तिगत छात्रों का परीक्षण किया और केवल सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण "हॉट हैंड" का एक उदाहरण मिला (उन्होंने पी <0.05 के खिलाफ प्रत्येक मामले की जाँच की)। यह हरी जेली सेम प्रभाव है । एक तरफ के रूप में, यदि प्रत्येक छात्र को सही ढंग से तैनात किया गया था, तो वह / वह अपने शॉट्स का लगभग 50% बना सकता था, तो 7 छात्रों में से कम से कम 100 में से 40-60 रेंज के बाहर हिट दरें होनी चाहिए थीं (जब तक कि एक बड़े पैमाने पर गर्म हाथ प्रभाव होता है)

— हेनरी

Answer 2

(अस्वीकरण: मैं इस साहित्य को नहीं जानता।) यह मुझे लगता है कि मिलर और संजुरजो के पास किसी विशेष खेल उपाय की एक वैध आलोचना है। मुझे नहीं पता कि क्या इसे हॉट-हैंड इफ़ेक्ट पर सभी पूर्व के कार्यों को अमान्य माना जाना चाहिए, क्योंकि वे केवल इस विशेष उपाय पर ध्यान केंद्रित करते हैं।

उपाय है

$$M := P(\text{make shot }|\text{ made previous shot}) - P(\text{make shot }|\text{ miss previous shot})$$ $P(X)$$X$

$M$$\mathbb{E} M > 0$$\mathbb{E} M = 0$

$\mathbb{E} M < 0$$M$

$M$

Answer 3

सांख्यिकी के उनके अनुप्रयोगों के संबंध में दोनों में से कोई भी कागजात पर्याप्त नहीं हैं, इसलिए इस उत्तर में मैं स्पष्टीकरण देने का प्रयास करूंगा।

गिलोविच, मॉलोन और टावर्सकी (1985) ने अपने सार में "हॉट-हैंड इफ़ेक्ट" को परिभाषित किया है:

" बास्केटबॉल खिलाड़ी और प्रशंसक समान रूप से मानते हैं कि एक खिलाड़ी को एक शॉट मारने की संभावना पिछले शॉट के बाद एक मिस की तुलना में एक हिट के बाद अधिक होती है। "

$k$$H_k$$k$$M_k$

$$P(H \mid H_k) > P(H\mid M_k),\;\;\; k\geq 1 \tag{1}$$

जहां कॉम्पैक्टनेस के लिए, यह समझा जाता है कि विचाराधीन शॉट अनुक्रमिक हिट या मिस के तुरंत बाद एक है। ये सैद्धांतिक सशर्त संभावनाएं हैं (अर्थात स्थिरांक), सशर्त सापेक्ष अनुभवजन्य आवृत्तियाँ नहीं।

$\hat P(H \mid H_k) ,\; \hat P(H\mid M_k)$

$${\rm H_o:} P(H \mid H_k) - P(H\mid M_k) =0$$

$P(H)$

$T\equiv \hat P(H \mid H_k) - \hat P(H\mid M_k)$

$T$

$T$

इसलिए, अगर गिलोविच एट अल के साथ कोई समस्या है । कागज, यह हॉट-हैंड की परिभाषा नहीं है, यह शून्य-परिकल्पना का सूत्रीकरण नहीं है, यह उपयोग किए जाने वाले सांख्यिकीय का चयन नहीं है: यह परीक्षणों को निष्पादित करने के लिए उपयोग किए जाने वाले महत्वपूर्ण मूल्यों की वैधता है ( और इसलिए अंतर्निहित वितरण संबंधी धारणा), यदि वास्तव में परिमित, छोटे-नमूना वितरण (शून्य परिकल्पना के तहत) नेत्रहीन शून्य पर केंद्रित है और असममित भी है।

ऐसे मामलों में, परीक्षण करने के लिए सिमुलेशन विशेष महत्वपूर्ण मूल्यों को प्राप्त करने के लिए आमतौर पर कोई क्या करता है (उदाहरण के लिए याद रखें कि एक यूनिट रूट के लिए डिकी-फुलर परीक्षण के लिए विशेष महत्वपूर्ण मान)। मैं मिलर-संजुर्ज़ो पेपर में इस तरह के दृष्टिकोण को देखने में विफल रहा, वे "माध्य बायस समायोजन" करते हैं, और पाते हैं कि इस समायोजन के बाद परीक्षण से निष्कर्ष उलट है। मुझे यकीन नहीं है कि यह जाने का रास्ता है।

$200$$n=100$$p=0.5$
$T_3 = \hat P(H \mid H_3) - \hat P(H\mid M_3)$$-0.0807$$-0.072$$62.5\%$नकारात्मक होने का भाव। अनुभवजन्य हिस्टोग्राम है

Answer 4

मेरे विचार में, मिलर और संजुरजो ने केवल तालिका 1 में सापेक्ष आवृत्तियों की गलत गणना की। उनकी तालिका नीचे जोड़े गए दो नए कॉलमों के साथ दिखाई गई है, जो कि 4 सिक्के के प्रत्येक अनुक्रम के भीतर आने वाले HH और HT की संख्या की गणना करते हैं। वांछित सशर्त प्रायिकता p (H | H) प्राप्त करने के लिए, इन संख्याओं N (HH) और N (HT) को योग करना चाहिए और फिर नीचे दिखाए अनुसार विभाजित करें। ऐसा करने से उम्मीद के मुताबिक p (H | H) = 0.5 मिलता है। किसी कारण से, मिलर और संजुरजो ने पहले प्रत्येक अनुक्रम के लिए सापेक्ष आवृत्ति की गणना की और फिर अनुक्रमों पर औसत किया। यह सिर्फ गलत है।

Sequence     Subsequences       N(HH) N(HT)    p(H|H)
TTTT  ->  TT.. , .TT. , ..TT      0     0        -  
TTTH  ->  TT.. , .TT. , ..TH      0     0        -  
TTHT  ->  TT.. , .TH. , ..HT      0     1       0.0 
THTT  ->  TH.. , .HT. , ..TT      0     1       0.0 
HTTT  ->  HT.. , .TT. , ..TT      0     1       0.0 
TTHH  ->  TT.. , .TH. , ..HH      1     0       1.0 
THTH  ->  TH.. , .HT. , ..TH      0     1       0.0 
THHT  ->  TH.. , .HH. , ..HT      1     1       0.5 
HTTH  ->  HT.. , .TT. , ..TH      0     1       0.0 
HTHT  ->  HT.. , .TH. , ..HT      0     2       0.0 
HHTT  ->  HH.. , .HT. , ..TT      1     1       0.5 
THHH  ->  TH.. , .HH. , ..HH      2     0       1.0 
HTHH  ->  HT.. , .TH. , ..HH      1     1       0.5 
HHTH  ->  HH.. , .HT. , ..TH      1     1       0.5 
HHHT  ->  HH.. , .HH. , ..HT      2     1       0.66
HHHH  ->  HH.. , .HH. , ..HH      3     0       1.0 
                                 --    --       ----
                                 12    12       0.40
                            p(H|H)=N(HH)/N(H*)
                                  =12/(12+12)
                                  =0.5

Comments

उनका तर्क यह है कि व्यक्तिगत TT और TH आवृत्तियों की गणना करने के बजाय (जैसा कि आपने किया) संभाव्यता p (H | H) औसत होनी चाहिए (क्योंकि सभी अनुक्रम समान रूप से होने की संभावना है)।

— गिस्कर्ड

हो सकता है कि एक सरल तालिका उनकी त्रुटि को अधिक स्पष्ट कर देगी। चलो केवल दो विशेष 4-फ्लिप अनुक्रमों की अनुमति देते हैं: TTHT और HHHH। ये निम्नलिखित 2-फ्लिप परिणाम देते हैं: टीटी, टीएच, एचटी, एचएच, एचएच, एचएच। इस सूची से यह स्पष्ट है कि जब पहला फ़्लिप सिक्का एच दिखाता है, तो उसके बाद दूसरे एच के साथ होने की संभावना है (यह 4 में से 3 बार होता है)। वास्तव में एक "हॉट कॉइन"! लेकिन मिलर और संजुर्ज़ो का तरीका बिल्कुल भी गर्मी की भविष्यवाणी नहीं करेगा, क्योंकि TTHT और HHHH (0.0 और 1.0) के लिए आवृत्तियों का औसत 0.5 है। दूसरी ओर, सामान्य विधि सही उत्तर देती है: p (H | H) = 3 / (3 + 1) = 0.75 |

— स्कोरर

मुझे लगता है कि उनकी बात यह है कि यह 'त्रुटि' जो आप इंगित करते हैं, ठीक वही था जो पहले के शोधकर्ताओं ने किया था।

— केनी एलजे

शायद। लेकिन क्या पिछले शोधकर्ताओं के बारे में यह दावा सही है? कोई भी प्रशिक्षित सांख्यिकीविद् कभी भी इस बात की संभावना की गणना नहीं करेगा कि मिलर और संजुरजो ने तालिका 1 में क्या किया है। यह प्रत्येक खेल के लिए अपने औसत को पहले कंप्यूटिंग करके बेसबॉल खिलाड़ी की बल्लेबाजी औसत की गणना करने के लिए अनुरूप है और फिर खेल में औसत है। यह सिर्फ सादा गलत है।

— स्करविन

"लेकिन क्या यह पिछले शोधकर्ताओं के बारे में दावा सही है? कोई प्रशिक्षित सांख्यिकीविद् कभी भी संभावना की गणना नहीं करेगा कि मिलर और संजुर्ज़ो ने तालिका 1 में क्या किया है।" शायद आपको वास्तव में प्रश्नपत्रों को पढ़ने के लिए समय निकालना चाहिए। विशेष रूप से जीवीटी (1985)।

— केनी एलजे

Answer 5

किसी भी अनुक्रम में, अंतिम सशर्त "गायब" है इस अर्थ में कि बाद में कोई मूल्य नहीं है। लेखक इसके साथ उन मामलों की अवहेलना करते हैं जहां ऐसा होता है, यह कहते हुए कि वे अपरिभाषित हैं। यदि श्रृंखला कम है, तो यह पसंद गणनाओं पर एक स्पष्ट प्रभाव डालने वाली है। चित्र 1 इस विचार का एक अच्छा चित्रण है।

Answer 6

मैं एक टिप्पणी को एक उत्तर में बदलने जा रहा हूं, और मूल प्रश्न के उत्तर का दावा करता हूं कि मूल प्रश्नपत्र सही हैं। 2015 के पेपर के लेखकों ने अनुक्रम को फेंक दिया जो तार्किक रूप से उनके विश्लेषण में शामिल होना चाहिए, जैसा कि मैंने टिप्पणी में वर्णित किया है, और इसलिए एक पूर्वाग्रह का परिचय देता हूं जो उनके दावों का समर्थन करता है। दुनिया वैसी ही काम करती है, जैसी उसे करनी चाहिए।

टिप्पणी के जवाब में परिशिष्ट: हम कागज में तालिका 1 को देखते हैं। हम देखते हैं कि हम अंतिम कॉलम से 4 मान निकाल रहे हैं, इसलिए अपेक्षित अंतर प्राप्त करने के लिए हम केवल 16 अनुक्रमों में से 12 से अधिक औसत करते हैं। यदि हम इन संभावनाओं को आवृत्तियों के रूप में देखते हैं, और हम कहते हैं, पहली पंक्ति टीटीटीटी के लिए, वह आवृत्ति क्या है जिस पर एक सिर एक सिर का अनुसरण करता है, तो तार्किक रूप से यह हमेशा होता है, और हमें पी (एच, एच) में 1 लगाना चाहिए ) कॉलम, डैश नहीं। हम ऐसा करते हैं कि अन्य तीन अनुक्रमों के लिए हम बाहर फेंक देते हैं, और हम अंतर का अपेक्षित मान 0, नहीं -3 है। जब डेटा की स्पष्ट तार्किक व्याख्या होती है, तो हम उस तरह से डेटा को बाहर नहीं फेंक सकते हैं।

ध्यान दें कि बहाव को गायब करने के लिए, हमें संभावनाओं को सही ढंग से गणना करना होगा, जो कागज में नहीं किया गया है। तालिका में संभाव्यता का दावा किया गया है "संभावना है कि एक सिर एक पूंछ का अनुसरण करता है, इस चार अनुक्रमों के दिए गए अनुक्रम में।" और हम देखते हैं कि पंक्ति TTTH के लिए, हमें विश्वास है कि संभावना 1/3 है। यह। पंक्ति में चार टॉस होते हैं, और उस पंक्ति में चार टॉस में से एक घटना "एक सिर एक पूंछ के बाद" होती है। संभावना 1/4 है। इसलिए संभावनाओं की सही गणना करें, और सभी पंक्तियों का उपयोग करें, और आपको वह उत्तर मिलता है जिसे 30 वर्षों के लिए स्वीकार किया गया है।

Comments

सवाल यह है कि क्या मिलर और संजुर्जो (2015) यह इंगित करने में सही हैं कि पिछले शोधकर्ताओं ने गलती की (और इसलिए गर्म हाथ का पता लगाने में विफल रहे)। यदि हां, तो कृपया समझाएं। यदि नहीं, तो कृपया भी बताएं। सवाल यह नहीं है कि क्या हम "बस उस तरह के डेटा को फेंक सकते हैं" या नहीं कर सकते हैं या "क्या दुनिया को वैसा ही काम करना चाहिए जैसा कि करना चाहिए"।

— केनी एलजे

मिलर और संजुरो सही नहीं हैं, क्योंकि वे डेटा को फेंक देते हैं जो तार्किक रूप से विश्लेषण में निहित है, और इसलिए एक पूर्वाग्रह का परिचय देते हैं जो दुनिया में नहीं है।

— user164740