डायनामिक ऑप्टिमाइज़ेशन: यदि दूसरा ऑर्डर कंडीशन होल्ड नहीं करता है तो क्या होगा?

निम्नलिखित डायनामिक ऑप्टिमाइज़ेशन प्रॉब्लम पर विचार करें

\begin{aligned} max_{u} \int_{0}^{T} F (x, u) d t \\ s.t. & \dot{x} = f (x, u) \end{aligned}

$\begin{align} &\max_u \int^T_0{F(x,u)dt}\\ \text{s.t.}~& \dot{x} = f(x,u) \end{align}$

FOCS

हैमिल्टनियन को

\begin{aligned} H (x, u, λ) = F (x, u) + λ f (x, u) \end{aligned}

$\begin{align} H(x,u,\lambda) = F(x,u) + \lambda f(x,u) \end{align}$ द्वारा दिया जाता है। अधिकतम के लिए अनुकूलता के लिए आवश्यक संकेत दिए गए हैं। सिद्धांत

\begin{aligned} \frac{\partial H}{\partial u} & = 0 \\ \frac{\partial H}{\partial x} & = - \dot{λ} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\partial H}{\partial u} &= 0\\[2mm] \frac{\partial H}{\partial x} &= -\dot{\lambda} \end{align}$

मान लीजिए कि $u^*=\arg\max_u H(x,u,\lambda)$ एक अधिकतम है, अर्थात $H_{uu} < 0$ ।

एसओसी

एरो कहा गया है, कि यदि हैमिल्टनियन की

\begin{aligned} H^{0} (x, λ) = max_{u} H (x, u, λ) \end{aligned}

$\begin{align} H^0(x,\lambda) = \max_u H(x,u,\lambda) \end{align}$ में हो तो

।

x

$x$ , अर्थात यदि

H_{x x} < 0

$H_{xx} < 0$ ।

मुसीबत

माना कि FOCs पकड़ में है, लेकिन SOC धारण करने में विफल रहता है।

समाधान की इष्टतमता के बारे में क्या कहा जा सकता है?

optimization

— कोई खबर नहीं
स्रोत

उत्कर्ष सम्यक्त्व का अभाव नहीं है।

— माइकल ग्रेनेकर

मैंने गलत भाग को हटा दिया, मुझे आशा है कि आप बुरा नहीं मानेंगे। इसका उत्तर है: ज्यादा नहीं, कुछ और करने की कोशिश करें (जैसे कि एक और पर्याप्तता की स्थिति या, अगर आपको लगता है कि यह उत्तल है कि यह उत्तल है)।

— सर्वशक्तिमान बॉब

एक भी उत्तर नहीं है, यह प्रत्येक समस्या के विवरण पर निर्भर करेगा। आइए एक मानक उदाहरण देखें।

रैमसे मॉडल के लिए बेंचमार्क इंटरटेम्पोरल ऑप्टिमाइज़ेशन समस्या पर विचार करें

\begin{aligned} max_{u} \int_{0}^{\infty} e^{- ρ t} u (c) d t \\ s.t. \dot{k} = i - δ k \\ s.t. y = f (k) = c + i \end{aligned}

$\begin{align} &\max_u \int^{\infty}_0{e^{-\rho t}u(c)dt}\\ \\ & \text{s.t.}\;\; \dot{k} = i-\delta k\\ & \text{s.t.}\;\; y = f(k)=c+i \end{align}$

वर्तमान मूल्य हैमिल्टनियन है

\tilde{H} = u (c) + λ [f (k) - c - δ k]

$\tilde H = u(c) +\lambda [f(k)-c-\delta k]$

से अधिक अधिकतम अकेले हमारे पास $c$

\frac{\partial \tilde{H}}{\partial c} = u^{'} (c) - λ = 0 ⟹ u^{'} (c^{*}) = λ ⟹ c^{*} = (u^{'})^{- 1} (λ)

$\frac {\partial \tilde H}{\partial c} = u'(c) - \lambda =0 \implies u'(c^*) = \lambda \implies c^* = (u')^{-1}(\lambda)$

और 2-क्रम की स्थिति तब धारण करेगी जब उपयोगिता फ़ंक्शन अवतल हो,

\frac{\partial^{2} H}{\partial c^{2}} = u^{″} (c^{*}) < 0

$\frac {\partial^2 H}{\partial c^2} = u''(c^*) < 0$

इसके अलावा, उपभोग के संबंध में पहली-ऑर्डर की स्थिति से, अगर स्थानीय गैर-संतृप्ति धारण करता है तो । मान लें कि हमारे पास ऐसी "सामान्य" प्राथमिकताएं हैं। $\lambda >0$

हैमिल्टनियन खपत में अधिकतम है

{\tilde{H}}^{0} = u [(u^{'})^{- 1} (λ)] + λ [f (k) - (u^{'})^{- 1} (λ) - δ k]

$\tilde H^0 = u[(u')^{-1}(\lambda)]+\lambda [f(k)-(u')^{-1}(\lambda)-\delta k]$

राज्य चर, संबंध में आंशिक व्युत्पन्न हैं $k$

\frac{\partial {\tilde{H}}^{0}}{\partial k} = λ [f^{'} (k) - δ], \frac{\partial^{2} {\tilde{H}}^{0}}{\partial k^{2}} = λ f^{″} (k)

$\frac {\partial \tilde H^0}{\partial k} = \lambda[f'(k) - \delta], \;\;\;\; \frac {\partial^2 \tilde H^0}{\partial k^2} = \lambda f''(k)$

तो यहाँ, एरो-कुर्ज़ पर्याप्तता की स्थिति यह उबलती है कि पूंजी का सीमान्त उत्पाद घट रहा है, स्थिर है, या बढ़ रहा है (जो उत्पादन कार्य के दूसरे व्युत्पन्न के संकेत पर निर्भर करेगा)। मानक मामले में और हमारे पास पर्याप्त स्थिति है। $f''(k) < 0$

विचलन के सबसे प्रसिद्ध मामले में, रोमेर के मॉडल जिसने एंडोजेनस ग्रोथ साहित्य की शुरुआत की, , और पूंजी का सीमांत उत्पाद एक सकारात्मक स्थिरांक है। $AK$ $f''(k) =0$

तो इस मामले में हम क्या कह सकते हैं?

यहाँ, सीरस्टैड, ए।, और सिडेसेटर, के। (1977)। इष्टतम नियंत्रण सिद्धांत में पर्याप्त स्थिति। अंतर्राष्ट्रीय आर्थिक समीक्षा, 367-391। विभिन्न परिणाम प्रदान करें जो हमारी सहायता कर सकते हैं।

विशेष रूप से, वे साबित होता है कि अगर Hamiltonian है संयुक्त रूप से अवतल में और , यह एक अधिकतम के लिए पर्याप्त शर्त है। हेमिल्टन का हेस्सियन है $c$ $k$

(हम छूट अवधि को अनदेखा कर सकते हैं)

{H e}_{H} = [\begin{matrix} u^{″} (c) & 0 \\ 0 & λ f^{″} (k) \end{matrix}]

${\rm He}_H = \left [ \begin{matrix} u''(c) & 0\\ 0 & \lambda f''(k)\\ \end{matrix} \right]$

साथ मानक मामले में यह एक नकारात्मक निश्चित मैट्रिक्स है और इसलिए हैमिल्टनियन संयुक्त रूप से और में सख्ती से अवतल है । $u''(c) <0, \; f''(k) <0$ $c$ $k$

जब , यह जाँचना कि मैट्रिक्स ऋणात्मक-अर्धवृत्त है, परिभाषा का उपयोग करते हुए सीधा है। सदिश और उत्पाद पर विचार करें $f''(k) =0$ $\mathbf z = (z_1, z_2)^T \in \mathbb R^2$

z^{T} {H e}_{H} z = z_{1}^{2} u^{″} (c) \leq 0

$\mathbf z^T{\rm He}_H\mathbf z = z_1^2u''(c) \leq 0$

यह कमजोर असमानता में धारण करती है , और इसलिए Hessian संयुक्त रूप से और में अवतल होता है । $\forall \mathbf z \in \mathbb R^2$ $c$ $k$

तो अंतर्जात विकास के मॉडल में, समाधान वास्तव में एक अधिकतम है (समस्या की अच्छी तरह से परिभाषित होने के लिए समस्या के लिए आवश्यक पैरामीटर की कमी के अधीन)। $AK$

— एलेकोस पापाडोपोलोस
स्रोत

धन्यवाद। हालांकि, मुझे लगता है कि मुझे अपने उद्देश्यों को स्पष्ट करना चाहिए। मुझे पता है कि हैमिल्टन न तो में सख्त अवतल है , और न ही संयुक्त रूप से में पहुंचता है । यहाँ हैमिल्टनियन के आकार को ड्राइव करता है क्योंकि बाउंड है। यह छोटे और किसी भी लिए एक सख्त उत्तल कार्य है और बड़े और किसी भी लिए एक सख्त अवतल कार्य है । मैं सोच रहा था कि क्या हम ऐसे मामले में इष्टतमता के बारे में एक उदार बयान दे सकते हैं।

x

$x$

(x, u)

$(x,u)$

x

$x$

u

$u$

x

$x$

u

$u$

x

$x$

u

$u$

— जूएल

@clueless यह एक अलग (और दिलचस्प) प्रश्न है, इसलिए इसे एक अलग पोस्ट में पूछना बेहतर होगा।

— एलेकोस पापाडोपोलोस