टेक-इट-या-लीव इट पीबीई

मुझे एक दिलचस्प सवाल मिला है, जो पूर्ण-बायेसियन-संतुलन को देख रहा है। मैंने ऐसा प्रश्न नहीं देखा है जहां विश्वास असतत न हो।

किसी वस्तु का एक एकल संभावित खरीदार होता है जिसका विक्रेता को शून्य मान होता है। इस खरीदार का मूल्यांकन v [0, 1] पर समान रूप से वितरित किया जाता है और यह निजी जानकारी है। विक्रेता एक मूल्य का नाम देता है $p_1$ जिसे खरीदार स्वीकार या अस्वीकार करता है।

यदि वह स्वीकार करता है, तो वस्तु को सहमत मूल्य पर कारोबार किया जाता है और खरीदार का भुगतान होता है $v − p_1$ और विक्रेता का है $p_1$ ।

यदि वह अस्वीकार करता है तो विक्रेता एक और मूल्य प्रस्ताव, P2 बनाता है। यदि खरीदार इसे स्वीकार करता है, तो उसका भुगतान होता है $\delta_(v − p_2)$ और विक्रेता का है $\delta p_2$ , कहाँ पे $\delta = 0.5$ ।

यदि वह अस्वीकार करता है, तो दोनों खिलाड़ियों को शून्य मिलता है (आगे ऑफ़र्स नहीं हैं)।

एक बढ़िया बायेसियन संतुलन खोजें।

मेरा सामान्य दृष्टिकोण विश्वासों को ठीक करना है, लेकिन मैं लगातार विश्वासों के साथ यह करना नहीं जानता। कोई सलाह?

game-theory academic-graduate bayesian-game

— ब्रायन
स्रोत

क्षमा करें, मैं आंशिक सलाह देने का एक आसान तरीका नहीं सोच सकता था। यह एक अच्छा व्यायाम है। यदि आप इसे कक्षा में उपयोग करते हैं, तो क्या आप (या निर्माता) मन करेंगे?

— गिस्कार्ड

बेशक, स्वतंत्र महसूस करें!

— ब्रायन

कल एक बुरा समाधान पोस्ट करने के बाद मुझे विश्वास है कि मुझे एक बेहतर मिल गया है:

खरीदार की रणनीति में दो कार्य होते हैं, $(f_1(v,p_1),f_2(v,p_1,p_2))$ जहां दोनों कार्य करने के लिए नक्शा $\left\{A,R\right\}$ (कहाँ पे $A$ स्वीकार करने के लिए खड़ा है, $R$ अस्वीकार के लिए)। विक्रेता की रणनीति है $(p_1,p_2(f_1(v,p_1)))$ । आप पिछड़े प्रेरण के माध्यम से समाधान प्राप्त करते हैं। PBE में $f_2(v,p_1,p_2)$ के लिए नक्शे $A$ यदि और केवल यदि $v \geq p_2$ । (समानता पर असंगतता का मार्ग है।) PBE में विक्रेता का मानना है कि एक सेट है $H$ जिसके लिए खरीदार ने उसके प्रस्ताव को अस्वीकार कर दिया $p_1$ । फिर

p_{2}^{*} = \arg max_{p_{2}} p_{2} \cdot P r o b (f_{2} (v, p_{1}, p_{2}) = A | f_{1} (v, p_{1}) = R) .

$p_2^* = \arg\max_{p_2} p_2 \cdot Prob(f_2(v,p_1,p_2) = A | f_1(v,p_1) = R).$ खरीदार प्रस्ताव स्वीकार करेंगे

p_{1}

$p_1$ यदि और केवल यदि

v - p_{1} \geq δ \cdot (v - p_{2}) .

$v - p_1 \geq \delta \cdot (v - p_2).$ इसी से आपको मिलता है

v \cdot (1 - δ) \geq p_{1} - δ \cdot p_{2} .

$v \cdot (1 - \delta) \geq p_1 - \delta \cdot p_2.$ इस समीकरण के बाएं हाथ में वृद्धि हो रही है

v

$v$ , तो उच्च मूल्यांकन के साथ प्रकार स्वीकार करेंगे। इसका मतलब है कि PBE में सेट ऐसा है जो इससे हमें इष्टतम दिए गए :

H

$H$

H = [0, \bar{v}) .

$H = [0, \bar{v}).$

p_{2}

$p_2$

\bar{v}

$\bar{v}$

p_{2}^{*} = \arg max_{p_{2}} p_{2} \cdot P r o b (v \geq p_{2} | v \in [0, \bar{v})) = \frac{\bar{v}}{2} .

$p_2^* = \arg\max_{p_2} p_2 \cdot Prob(v \geq p_2 | v \in [0, \bar{v})) = \frac{\bar{v}}{2}.$ PBE में

\bar{v}

$\bar{v}$ का एक कार्य है

p_{1}

$p_1$ :

\bar{v} \cdot (1 - δ) = p_{1} - δ \cdot \frac{\bar{v}}{2},

$\bar{v} \cdot (1 - \delta) = p_1 - \delta \cdot \frac{\bar{v}}{2},$ इसलिए

\bar{v} = \frac{p_{1}}{1 - \frac{δ}{2}} .

$\bar{v} = \frac{p_1}{1 - \frac{\delta}{2}}.$ हमने सभी PBE रणनीतियों को निर्धारित किया है लेकिन

p_{1}

$p_1$ । विक्रेता का अपेक्षित भुगतान है

p_{1} \cdot (1 - \frac{p_{1} - δ \cdot p_{2} (\bar{v} (p_{1}))}{1 - δ}) + \frac{1}{2} \cdot p_{2} (\bar{v} (p_{1})) \cdot (\frac{p_{1} - δ \cdot p_{2} (\bar{v} (p_{1}))}{1 - δ} - p_{2} (\bar{v} (p_{1}))),

$p_1 \cdot \left( 1 - \frac{p_1 - \delta \cdot p_2(\bar{v}(p_1))}{1 - \delta} \right) + \frac{1}{2} \cdot p_2(\bar{v}(p_1)) \cdot \left( \frac{p_1 - \delta \cdot p_2(\bar{v}(p_1))}{1 - \delta} - p_2(\bar{v}(p_1)) \right),$ कहाँ पे

p_{2} (\bar{v} (p_{1})) = \frac{\bar{v} (p_{1})}{2} = \frac{\frac{p_{1}}{1 - \frac{δ}{2}}}{2} = \frac{p_{1}}{2 - δ} .

$p_2(\bar{v}(p_1)) = \frac{\bar{v}(p_1)}{2} = \frac{\frac{p_1}{1 - \frac{\delta}{2}}}{2} = \frac{p_1}{2 - \delta}.$ यह सब हमें मिल रहा है

p_{1} \cdot (1 - \frac{p_{1} - δ \cdot \frac{p_{1}}{2 - δ}}{1 - δ}) + \frac{1}{2} \cdot \frac{p_{1}}{2 - δ} \cdot (\frac{p_{1} - δ \cdot \frac{p_{1}}{2 - δ}}{1 - δ} - \frac{p_{1}}{2 - δ}),

$p_1 \cdot \left( 1 - \frac{p_1 - \delta \cdot \frac{p_1}{2 - \delta}}{1 - \delta} \right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{p_1}{2 - \delta} \cdot \left( \frac{p_1 - \delta \cdot \frac{p_1}{2 - \delta}}{1 - \delta} - \frac{p_1}{2 - \delta} \right),$

आपको इस wrt को अधिकतम करना है $p_1$ । साथ में $\delta = 0.5$ मुझे मिला

p_{1}^{*} = \frac{9}{20}, \bar{v} = \frac{3}{5}, p_{2}^{*} = \frac{3}{10} .

$p_1^* = \frac{9}{20}, \hskip 20pt \bar{v} = \frac{3}{5}, \hskip 20pt p_2^* = \frac{3}{10}.$

— Giskard
स्रोत

मुझे ऐसा लगता है कि इस सवाल की व्याख्या एक फर्म के रूप में भी की जा सकती है, जो बंद इकाई अंतराल के रूप में प्रतिनिधित्व किए गए विभिन्न मूल्यांकन के उपभोक्ताओं की स्क्रीनिंग करने की कोशिश कर रही है। इष्टतम मूल्य निर्धारण योजना दो कीमतों को निर्धारित करने के लिए है ताकि उच्च मूल्यांकन के ग्राहक पहले चरण में उच्च कीमत पर भुगतान करेंगे, और कुछ कम मूल्यांकन वाले दूसरे चरण में कम कीमत का भुगतान करेंगे।

— मेट्टा विश्व शांति

आपको यह समझाना होगा कि उपयोगिताओं के राउंड अलग-अलग क्यों हैं 2. विक्रेता के लिए यह सरल छूट हो सकती है, लेकिन खरीदार के लिए? यदि अच्छा टिकाऊ होता तो प्रकार जो अच्छा खरीदते हैं, दोनों राउंड में कुछ लाभ प्राप्त करते हैं।

— गिस्कार्ड

मैं काफी फॉलो नहीं करता। क्यों खरीदार दूसरे दौर में प्राप्त उपयोगिता को छूट नहीं दे सकते हैं? यह दो-अवधि की कीमत के रूप में व्याख्या की जा सकती है, है ना?

— मेट्टा वर्ल्ड पीस

शर्मनाक लेकिन मैंने अब तक इस मॉडल के बारे में कभी नहीं सुना। आप सही हैं, यह ऊपर के खेल का अच्छी तरह से वर्णन करता है।

— गिस्कार्ड

आपने कहा कि खरीदार स्वीकार करेगा

p_{1}

$p_1$ यदि और केवल यदि

v - p_{1} \geq δ (v - p_{2})

$v-p_1\ge \delta(v-p_2)$ लेकिन खरीदार दोनों को अस्वीकार नहीं करेगा

p_{1}

$p_1$ तथा

p_{2}

$p_2$ से अधिक हैं

v

$v$ इस बात की परवाह किए बिना कि क्या उपरोक्त असमानता संतुष्ट है?

— फ्रैंकलिन पेज़ुती डायर