कोब्बल-डगलस के लिए मार्शलियन डिमांड

Question

जब कोशिश कर उपयोगिता को अधिकतम एक कोब-डगलस उपयोगिता समारोह होने $u=x_1^ax_2^b$ के साथ, $a+b = 1$ , मैं निम्नलिखित सूत्र (पाया : Marshallian मांग विकिपीडिया ):

$x_1 = \frac{am}{p_1}\\ x_2 = \frac{bm}{p_2}$

मेरी एक पुस्तक में मुझे ये सूत्र समान उद्देश्य के लिए भी मिले हैं:

$x_1 = \frac{a}{a+b}\frac{m}{p_1} \\ x_2= \frac{b}{a+b}\frac{m}{p_2}$

साथ $p_i$ : माल की कीमतें; $m$ : बजट

मैंने उन सभी का परीक्षण किया और उन्होंने वही परिणाम उत्पन्न किए।
तो क्या कोई मतभेद हैं?

Comments

करता है से संबंधित एक्स 1 विशेष रूप से? b से x $a$$x_1$$b$$x_2$

— Jamzy

क्या आप कुछ संकेतन को सीधा कर सकते हैं? दूसरे उदाहरण में, उपयोगिता फ़ंक्शन X1 और x2 में ए और बी घातांक हैं? क्या वे 1 का योग करते हैं? क्या पहली समस्या में y दूसरी में m जैसी है?

— BKAY

@ जैमज़ी: हाँ, यह करता है।

— 15:11 बजे user1170330

@BKay: कृपया मेरी अद्यतन अधिसूचनाएँ देखें।

— user1170330

Answer 1

चूंकि समीकरण बिल्कुल समान हैं। के लिए में स्थानापन्न एक + ख के साथ 1 तीसरे और चौथे समीकरणों में पहले और दूसरे समीकरण देता है।$a + b=1$$a+b$$1$

Comments

क्या ये सूत्र जैसे उपयोगिता फ़ंक्शन के साथ काम करने के लिए संपादित किए जा सकते हैं ? तो x i से पहले एक अतिरिक्त संख्या के साथ ? $u=5x_1^{0.5}*2x_2^{0.5}$$x_i$

— user1170330

मेरा सुझाव है कि यह एक नया प्रश्न है।

— BKAY

क्या होगा यदि ? क्या मुझे इस मामले में सूत्र 3 और 4 का उपयोग करना चाहिए? $a+b \neq 1$

— user1170330

@ user1170330 अगर यह अभी भी काम करता है$a+b\neq1$

— Jamzy

Answer 2

यह है कि आप अपने पहले समीकरण से अपने दूसरे तक कैसे पहुंचें। अपने उपयोगिता समारोह है के बाद से एक + ख = 1 मैं इसे एक को थोड़ा बदल सकते हैं और (1-क) इन दोनों विकल्पों का अनुकूलन करने के लिए, आप की आवश्यकता होगी उपयोगिता को अधिकतम करें, अपनी पसंद के चर लिखें।$u(x_1, x_2)=x_1^a x_2^b$$a+b=1$

के अधीन Walras कानून का उपयोग कर। मूल रूप से, उपयोगिता का अनुकूलन करने के लिए, सभी पैसे खर्च किए जाएंगे।$p_1x_1 + p_2x_2 = w$

अनुकूलन समस्याओं के लिए कॉब-डगलस फ़ंक्शन आम तौर पर कठिन होते हैं। एक मोनोटोनिक परिवर्तन जो फ़ंक्शन के क्रमिक गुणों को संरक्षित करता है, का उपयोग किया जा सकता है।

$aln(x_1) + (1 − a)ln(x_2)$

इसके बदले उपयोग किया जाएगा। एक ही बजट बाधा लागू किया जाएगा।

लैग्रेन्ग और फर्स्ट ऑर्डर की शर्तें नीचे हैं

$L = aln(x_1) + (1 − a)ln(x_2) − \lambda(w − p_1x_1 − p_2x_2)$

$\frac{δL} {δx_1}= \frac{a} {x_1} − \lambda p_1 = 0$

$\frac {δL} {δx_2}=\frac{1 − a} {x_2} − \lambda p_2 = 0$

पहले आदेश की शर्तों में हेरफेर करने के परिणामस्वरूप

$\lambda = \frac{a} {x_1p_1}$

$\lambda =\frac{(1 − a)}{ x_2p_2}$

$\frac{a} {x_1p_1}=\frac{(1 − a)}{ x_2p_2}$

बजट में प्रतिस्थापन $p_2x_2 = w − p_1x_1$

$\frac{a}{ x_1p_1}=\frac{(1 − a)} {w − p_1x_1}$

$x_1 =\frac{wa}{ p_1}$

तथा

$p_1x_1 = w − p_2x_2$

$\frac{a} {w − p_2x_2}=\frac{(1 − a)}{ p_2x_2}$

$w =\frac{a}{(1 − α)}p_2x_2 + p_2x_2$

$w(1 − a) = p_2x_2$

$x_2=\frac{w(1 − a)}{p_2}$

इन परिणामों का उपयोग करते हुए, हम दिए गए मूल्य, धन संयोजन के लिए और एक्स 2 के इष्टतम खपत बंडलों का काम कर सकते हैं ।$x_1$$x_2$

$x_1 =\frac{wa}{ p_1}$

$x_2=\frac{w(1 − a)}{p_2}$