स्वतंत्रता स्वयंसिद्ध के बिना लॉटरी पर वरीयता

Question

का एक सेट मान लीजिए $N$परिणामों निम्नलिखित क्रम में क्रमबद्ध किया जा सकता है: । इसके अलावा, मान लीजिए कि किसी निर्णयकर्ता की इन परिणामों की लॉटरी पर वरीयता है। मान लें कि लॉटरी पर वरीयता तर्कसंगत, निरंतर है, लेकिन जरूरी नहीं कि स्वतंत्रता स्वयंसिद्ध के अनुरूप हो ।$1\succ 2\succsim\cdots\succsim N$

क्या यह पालन करता है कि इस मामले में सबसे अच्छी लॉटरी पतित लॉटरी ?$(1,0,\dots,0)$

यदि स्वतंत्रता स्वयंसिद्ध उल्लंघन करती है तो क्या होगा ?

Comments

स्वतंत्रता स्वयंसिद्धता के बिना लॉटरी (जोखिम) के बारे में वरीयताओं को शीर्षक नहीं कहना चाहिए, क्योंकि अपेक्षित उपयोगिता वॉन न्यूमैन मोरेस्टेन वास्तव में स्वतंत्रता स्वयंसिद्ध से ली गई है।

— user157623

@ user157623: शीर्षक बदल गया। टिप्पणी के लिए धन्यवाद।

— हिर के।

Answer 1

नहीं, जरूरी नहीं। स्वतंत्रता के स्वयंसिद्ध (या इसे बदलने के लिए कुछ और) के बिना केवल परिणामों पर वरीयताओं को जानने से आप (गैर-अध: पतन) लॉटरी के बारे में अनुमान लगा सकते हैं।

उदाहरण के लिए, के परिणामों की संभावना । फिर उपयोगिता समारोह के द्वारा लॉटरी पर वरीयताएँ$p^L_n$$n \in \{1, 2, 3\}$$\succeq^*$

$$U(L) = p^L_1 + \beta [p^L_2p^L_3],$$

निरंतर और तर्कसंगत हैं, लेकिन स्वतंत्रता स्वयंसिद्ध को संतुष्ट नहीं करते हैं। के लिए बड़ा पर्याप्त, तो यह और भी मामला नहीं है कि , सबसे अच्छा लॉटरी है, हालांकि और ।$\beta$$(1,0,0)$$(1,0,0) \succ^* (0,1,0)$$(1,0,0) \succ^* (0,0,1)$

क्यों देखना है, इसका अवलोकन करें

$$U(1,0,0) = 1,$$ $$U(0,1,0) = 0,$$ $$U(0,0,1) = 0,$$

हालाँकि, ,$\beta > 4$

$$U\left(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) > 1 .$$

स्वतंत्रता स्वयंसिद्ध का उल्लंघन इस तथ्य से देखा जा सकता है कि, जब ,$\beta > 4$

$$[1,0,0] \succ [0,1,0] ,$$

हालांकि

$$\left[0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right] \succ \left[ \frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}\right].$$