सीमांत उपयोगिता कम होने के बारे में सुरक्षित रूप से कब बात की जा सकती है?

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एक बात जो मैंने बहुत सुनी है वह है सीमांत उपयोगिता घटने की बात-विचार यह है कि एक अच्छी की अतिरिक्त इकाइयाँ उत्तरोत्तर कम आकर्षक होती जाती हैं और उस भलाई की अधिक इकाइयाँ पहले ही कम हो जाती हैं।

हालाँकि, इसने उपयोगिता की अध्यादेशकता के कारण मुझे हमेशा थोड़ा असहज बना दिया। यदि हम ऐसी दुनिया का तुच्छ मामला लेते हैं, जिसमें संतोषजनक (घटती हुई सीमान्त उपयोगिता) के साथ केवल एक ही अच्छा है तो इसका निर्माण संभव है एक बढ़ा हुआ कार्य ऐसा है कि में रेखीय है । इसके अलावा, चूंकि यूटिलिटी फ़ंक्शन मोनोटोन-बढ़ते परिवर्तनों के लिए अपरिवर्तनीय हैं, एक यूटिलिटी फ़ंक्शन है जो के समान प्राथमिकताओं का प्रतिनिधित्व करता है (लेकिन अब निरंतर सीमांत उपयोगिता है)। इस प्रकार, एक अच्छी दुनिया के साथ ऐसा लगता है कि यह कभी भी मामूली सी उपयोगिता के बारे में बात करने के लिए समझ में नहीं आता है। $u(x)$ $u'(x),\ u''(x)<0$ $f$ $(f\circ u)$ $x$ $(f\circ u)$ $u$

मेरा सवाल यह है: $L>1$ माल के साथ एक बाजार पर विचार करें । क्या कोई औपचारिक शर्त है जिसके तहत हम सुरक्षित सीमांत उपयोगिता को कम करने के बारे में बात कर सकते हैं? यही कारण है कि कहने के लिए है, ऐसी है कि वहाँ वरीयताओं का एक वर्ग है हर वैध उपयोगिता प्रतिनिधित्व, $u(\mathbf{x})$ , है $u_{ii}(\mathbf{x})<0$ कुछ के लिए $i$ ?

वैकल्पिक रूप से, वहाँ कुछ सरल सबूत है कि, के लिए है $L>1$ , के साथ एक उपयोगिता प्रतिनिधित्व के अस्तित्व $u_{ii}(\mathbf{x})<0$ कुछ के लिए $i$ जरूरी तात्पर्य सभी उपयोगिता निरूपण है $u_{ii}(\mathbf{x})<0$ ?

— सर्वव्यापी
स्रोत

Dittmer (2005) कुछ विस्तार से इस पर चर्चा करता है। परिचयात्मक स्तर पर, हम छात्रों को सिखाते हैं कि "डिमिनिशिंग मार्जिनल यूटिलिटी" (डीएमयू) नाम की कोई चीज है, जो यह कहती है कि उपयोगिता एक कार्डिनल अवधारणा है। फिर मध्यवर्ती और स्नातक स्तर पर, उपयोगिता अचानक एक सामान्य अवधारणा बन जाती है जहां DMU जैसी कोई चीज नहीं हो सकती है। और इसलिए जब इंट्रो से इंटरमीडिएट स्तर तक जाते हैं, तो बहुत बड़ी असंगति होती है। यह असंगति आमतौर पर अधिकांश छात्रों द्वारा ध्यान नहीं दी जाती है और इस प्रकार शिक्षक द्वारा अस्पष्टीकृत की जाती है।

— केनी एलजे

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"सीमांत उपयोगिता" (और इसलिए इस तरह की कमी) की अवधारणा का अर्थ केवल कार्डिनल उपयोगिता के संदर्भ में है ।

मान लें कि हमारे पास एक अच्छा उपयोगिता सूचकांक , और एक अच्छा है, और इस अच्छी की तीन मात्रा, , । प्राथमिकताएं अच्छी तरह से व्यवहार की जाती हैं और बेंचमार्क नियमितता की शर्तों को पूरा करती हैं, इसलिए $u()$ $q_1<q_2<q_3$ $q_2-q_1 = q_3-q_2$

u (q_{1}) < u (q_{2}) < u (q_{3})

$u(q_1)< u(q_2) < u(q_3)$

यह अध्यादेशीय उपयोगिता है। केवल रैंकिंग सार्थक है, दूरियां नहीं। इसलिए दूरियां और की कोई व्यवहारिक / आर्थिक व्याख्या नहीं है । यदि वे नहीं करते हैं, न ही अनुपात करें $u(q_2) - u(q_1)$ $u(q_3) - u(q_2)$

\frac{u (q_{2}) - u (q_{1})}{q_{2} - q_{1}}, \frac{u (q_{3}) - u (q_{2})}{q_{3} - q_{2}}

$\frac {u(q_2) - u(q_1)}{q_2-q_1},\;\; \frac {u(q_3) - u(q_2)}{q_3-q_2}$

लेकिन इन अनुपातों की सीमा क्योंकि शून्य तक जाती है, फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की परिभाषा होगी । इसलिए व्युत्पन्न आर्थिक / व्यवहारिक व्याख्या से रहित है, और इसलिए व्युत्पन्न कार्य के दो उदाहरणों की तुलना करने से कोई सार्थक सामग्री उत्पन्न नहीं होगी। $u()$

बेशक इसका मतलब यह नहीं है कि गणितीय अवधारणाओं के रूप में का व्युत्पत्ति मौजूद नहीं है। वे मौजूद हो सकते हैं, अगर भिन्नता के लिए आवश्यक शर्तों को संतुष्ट करता है। तो कोई विशुद्ध रूप से गणितीय सवाल पूछ सकता है "किस हालत में आर्डिनल उपयोगिता का प्रतिनिधित्व करने वाला फ़ंक्शन सख्ती से नकारात्मक दूसरा व्युत्पन्न है " (या बहुभिन्नरूपी मामले के लिए नकारात्मक निश्चित हेस्सियन), इसे आर्थिक / व्यवहार सामग्री के साथ "घटती सीमांत उपयोगिता" के रूप में व्याख्या नहीं करने की कोशिश कर रहा है। , लेकिन सिर्फ एक गणितीय संपत्ति के रूप में वह उस मॉडल की कुछ भूमिका निभा सकता है जिसकी वह जांच करता है। $u()$ $u()$

ऐसे मामले में, हम जानते हैं कि:
1) यदि प्राथमिकताएं उत्तल हैं, तो उपयोगिता सूचकांक एक अर्ध-अवतल कार्य है
2) यदि प्राथमिकताएं उत्तल हैं, तो उपयोगिता सूचकांक कड़ाई से अर्ध-अवतल है।

लेकिन अर्ध-सम्मति एक अलग प्रकार की संपत्ति है जो समाप्ती की तुलना में होती है: अर्ध-संगति एक "क्रमिक" गुण है इस अर्थ में कि यह फ़ंक्शन के बढ़ते परिवर्तन के तहत संरक्षित है।

दूसरी ओर, समभाव एक "कार्डिनल" संपत्ति है, इस अर्थ में कि यह जरूरी नहीं कि बढ़ते परिवर्तन के तहत संरक्षित हो।
इस पर विचार करें कि इसका क्या अर्थ है: मान लें कि हम वरीयताओं का एक लक्षण वर्णन पाते हैं जैसे कि उन्हें एक उपयोगिता सूचकांक द्वारा दर्शाया जा सकता है जो कि एक फ़ंक्शन के रूप में अवतल होता है। तब हम इस यूटिलिटी इंडेक्स के कुछ बढ़ते हुए बदलावों को पा सकते हैं और लागू कर सकते हैं, जिससे कंफर्ट प्रॉपर्टी खत्म हो जाएगी।

— एलेकोस पापाडोपोलोस
स्रोत

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तथ्य यह है कि आप "सुरक्षा" के बारे में पूछते हैं, इसका मतलब है कि आप मानते हैं कि कुछ परिणाम खतरे में हैं। इस उत्तर को बेहतर बनाया जा सकता है यदि आप एक परिणाम निर्दिष्ट कर सकते हैं जो आपके मन में हो सकता है। अन्यथा, पहले और दूसरे कल्याण प्रमेयों के उदाहरण के रूप में लें। वे घटती सीमांत उपयोगिता पर भरोसा नहीं करते हैं।

यदि आप अनिश्चितता के बारे में प्राथमिकताओं के बारे में परिणामों के बारे में चिंतित हैं (जोखिम के फैलाव के बारे में विचार, आदि) तो याद रखें कि हालांकि अनिश्चितता के बिना प्राथमिकताओं का एक मानक उपयोगिता फ़ंक्शन प्रतिनिधित्व एक सकारात्मक मोनोटोनिक परिवर्तन के लिए अद्वितीय है, वॉन न्यूमन-मॉर्गनस्टर्न कार्य प्रतिनिधित्व है अनिश्चितता से अधिक वरीयताओं के केवल सकारात्मक अप करने के लिए अद्वितीय है affine परिवर्तनों।

संपादित करें: अतिरिक्त नोट्स।

उपयोगिता फ़ंक्शन की परिभाषा इस प्रकार दी गई है ( जेहल और रेनी, 2011 द्वारा उन्नत माइक्रोइकॉनॉमिक थ्योरी से): यहाँ छवि विवरण दर्ज करें

— jmbejara
स्रोत