मैं सीईएस फ़ंक्शन से Leontief और कॉब-डगलस उत्पादन फ़ंक्शन कैसे प्राप्त कर सकता हूं?

अधिकांश सूक्ष्मअर्थशास्त्र की पाठ्यपुस्तकों में यह उल्लेख किया गया है कि निरंतरता (CES) उत्पादन कार्य की निरंतरता,

Q = γ [a K^{- ρ} + (1 - a) L^{- ρ}]^{- \frac{1}{ρ}}

$Q=\gamma[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]^{-\frac{1}{\rho}}$

(जहां प्रतिस्थापना की लोच ) है, इसकी सीमाएं Leontief उत्पादन समारोह और कॉब-डगलस एक दोनों के रूप में हैं। विशेष रूप से, $\sigma = \frac 1{1+\rho},\rho > -1$

lim_{ρ \to \infty} Q = γ min {K, L}

$\lim_{\rho\to \infty}Q= \gamma \min \left \{K , L\right\}$

तथा

lim_{ρ \to 0} Q = γ K^{a} L^{1 - a}

$\lim_{\rho\to 0}Q= \gamma K^aL^{1-a}$

लेकिन वे इन परिणामों के लिए कभी गणितीय प्रमाण नहीं देते हैं।

क्या कोई कृपया इन प्रमाणों को प्रदान कर सकता है?

इसके अलावा, उपरोक्त सीईएस फ़ंक्शन में निरंतर रिटर्न-टू-स्केल (डिग्री एक की एकरूपता) शामिल है, बाहरी एक्सपोनेंट होने के कारण $-1/\rho$ । यदि यह कहा जाता है, $-k/\rho$ , तो समरूपता की डिग्री होगी $k$ ।

यदि सीमित परिणाम कैसे प्रभावित होते हैं $k\neq 1$ ?

— Huseyin
स्रोत

ऐसा लगता है कि इसे हल करने का कोई पूर्व प्रयास के साथ एक होमवर्क प्रश्न लगता है, देखें: meta.economics.stackexchange.com/questions/24/…

— FooBar

यह निश्चित रूप से एक विषय पर विषय है, लेकिन कम गुणवत्ता वाला प्रश्न है । यहां तक कि अगर यह होमवर्क हुसैन नहीं है, तो हम आपसे उम्मीद करते हैं कि) आपके अंकन (आपने और ) और बी) के साथ सावधानी बरतें। कुछ विचारों और तरीकों का योगदान करें, जिनसे आपने समस्या को हल करने का प्रयास किया है। हम यहां ऐसे लोगों की मदद करने के लिए हैं जो खुद की मदद करते हैं , न कि पेशेवर सेवाओं की पेशकश करने के लिए।

ρ

$\rho$

p

$p$

— एलेकोस पापाडोपोलोस

स्टैटेक्सचेंज नेटवर्क के पूरे बाकी हिस्सों को गणित अलग तरह से करता है। केवल math.se पर आप अन्य लोगों के लिए बिना प्रयास दिखाए हल करने के लिए समस्याएँ प्रस्तुत कर सकते हैं। कृपया गणित के लिए उस तरह के प्रश्न को बचाएं। यहां नहीं।

— एनर्जीनेट्स

जब आप कहते हैं "मुझे साबित करने की आवश्यकता है" बिना किसी संकेत के कि आपको इसे साबित करने की आवश्यकता क्यों है, तो लोग यह मानने जा रहे हैं कि यह होमवर्क है।

— स्टीवन लैंड्सबर्ग

@ हुसैन अब जब सवाल फिर से खोल दिया गया है और एक जवाब प्रदान किया गया है, तो क्या आप कोब-डगलस सीमा के लिए अपना जवाब नहीं देंगे?

— एलेकोस पापाडोपोलोस

जवाबों:

मेरे द्वारा प्रस्तुत किए गए सबूत इस तथ्य से संबंधित तकनीकों पर आधारित हैं कि सीईएस उत्पादन समारोह में एक सामान्यीकृत भारित माध्य का रूप है ।
यह मूल पेपर में उपयोग किया गया था जहां सीईएस फ़ंक्शन पेश किया गया था, एरो, केजे, चेनरी, एचबी, मिन्हास, बीएस, और सोलो, आरएम (1961)। पूंजी-श्रम प्रतिस्थापन और आर्थिक दक्षता। अर्थशास्त्र और सांख्यिकी की समीक्षा, 225-250।
वहाँ के लेखकों ने अपने पाठकों को पुस्तक हार्डी, जीएच, लिटलवुड, जेई, और पोलिया, जी (1952) का उल्लेख किया । असमानताएं , अध्याय $2$ ।

हम सामान्य मामले को मानते हैं

Q_{k} = γ [a K^{- ρ} + (1 - a) L^{- ρ}]^{- \frac{k}{ρ}}, k > 0

$Q_k=\gamma[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]^{-\frac{k}{\rho}},\;\; k>0$

\Rightarrow γ^{- 1} Q_{k} = \frac{1}{[a (1 / K^{ρ}) + (1 - a) (1 / L^{ρ})]^{\frac{k}{ρ}}}

$\Rightarrow \gamma^{-1}Q_k = \frac 1{[a (1/K^{\rho}) +(1-a) (1/L^{\rho}) ]^{\frac{k}{\rho}}}$

1) सीमा जब $\rho \rightarrow \infty$
जब जब से हम सीमा में रुचि रखने वाले रहे हैं हम अंतराल जिसके लिए अनदेखा कर सकते हैं है, और इलाज सख्ती से सकारात्मक रूप में। $\rho\rightarrow \infty$ $\rho \leq0$ $\rho$

व्यापकता के नुकसान के बिना, मान । हमारे पास । फिर हम सत्यापित करते हैं कि निम्न असमानता है: $K\geq L \Rightarrow (1/K^{\rho})\leq (1/L^{\rho})$ $K, L >0$

(1 - a)^{k / ρ} (1 / L^{k}) \leq γ Q_{k}^{- 1} \leq (1 / L^{k})

$(1-a)^{k/\rho}(1/L^{k})\leq \gamma Q_k^{-1} \leq (1/L^{k})$

\begin{matrix} (1) & ⟹ (1 - a)^{k / ρ} (1 / L^{k}) \leq [a (1 / K^{ρ}) + (1 - a) (1 / L^{ρ})]^{\frac{k}{ρ}} \leq (1 / L^{k}) \end{matrix}

$\implies (1-a)^{k/\rho}(1/L^{k})\leq [a (1/K^{\rho}) +(1-a) (1/L^{\rho}) ]^{\frac{k}{\rho}} \leq (1/L^{k}) \tag{1}$

पाने के लिए शक्ति भर में बढ़ाकर $\rho/k$

जो वास्तव में रखती है, जाहिर है, मान्यताओं के मुताबिक। तब के पहले तत्व के लिए वापस जानाऔर

\begin{matrix} (2) & (1 - a) (1 / L^{ρ}) \leq a (1 / K^{ρ}) + (1 - a) (1 / L^{ρ}) \leq (1 / L^{ρ}) \end{matrix}

$(1-a)(1/L^{\rho}) \leq a (1/K^{\rho}) +(1-a) (1/L^{\rho}) \leq (1/L^{\rho}) \tag {2}$

(1)

$(1)$

lim_{ρ \to \infty} (1 - a)^{k / ρ} (1 / L^{k}) = (1 / L^{k})

$\lim_{\rho\rightarrow \infty} (1-a)^{k/\rho}(1/L^{k}) =(1/L^{k})$

जो से के मध्य अवधि को सैंडविच करता है , इसलिए $(1)$ $(1/L^{k})$

\begin{matrix} (3) & lim_{ρ \to \infty} Q_{k} = \frac{γ}{1 / L^{k}} = γ L^{k} = γ [min {K, L}]^{k} \end{matrix}

$\lim_{\rho\rightarrow \infty}Q_k = \frac {\gamma }{1/L^k} = \gamma L^k = {\gamma }\big[\min\{K,L\}\big]^{k} \tag{3}$

तो हम मूल Leontief उत्पादन समारोह प्राप्त करते हैं। $k=1$

2) सीमा जब $\rho \rightarrow 0$
रूप में घातीय का उपयोग कर समारोह लिखें

\begin{matrix} (4) & γ^{- 1} Q_{k} = \exp {- \frac{k}{ρ} \cdot \ln [a (K^{ρ})^{- 1} + (1 - a) (L^{ρ})^{- 1}]} \end{matrix}

$\gamma^{-1}Q_k=\exp\left\{-\frac k{\rho}\cdot \ln\big[a (K^{\rho})^{-1} +(1-a) (L^{\rho})^{-1}\big]\right\} \tag {4}$

पहले आदेश मैकलॉरीन विस्तार पर विचार करें (टेलर विस्तार शून्य पर केंद्रित) लघुगणक के अंदर शब्द, संबंध में : $\rho$

a (K^{ρ})^{- 1} + (1 - a) (L^{ρ})^{- 1} = a (K^{0})^{- 1} + (1 - a) (L^{0})^{- 1} - a (K^{0})^{- 2} K^{0} ρ \ln K - (1 - a) (L^{0})^{- 2} L^{0} ρ \ln L + O (ρ^{2})

$a (K^{\rho})^{-1} +(1-a) (L^{\rho})^{-1} \\= a (K^{0})^{-1} +(1-a) (L^{0})^{-1} -a (K^{0})^{-2}K^{0}\rho\ln K- (1-a) (L^{0})^{-2}L^{0}\rho\ln L + O(\rho^2) \\$

= 1 - ρ ए \ln कश्मीर - ρ (1 - ए) \ln एल + हे (ρ^{2}) = 1 + ρ [\ln {कश्मीर}^{- ए} {एल}^{- (1 - ए)}] + हे (ρ^{2})

$=1 - \rho a\ln K - \rho(1-a)\ln L+ O(\rho^2) = 1 +\rho \big[\ln K^{-a}L^{-(1-a)}\big]+ O(\rho^2)$

इसे वापस में डालें और बाहरी घातांक से छुटकारा पाएं, $(4)$

γ^{- 1} {क्यू}_{कश्मीर} = {(1 + ρ [\ln {कश्मीर}^{- ए} {एल}^{- (1 - ए)}] + हे (ρ^{2}))}^{- कश्मीर / ρ}

$\gamma^{-1}Q_k = \left(1 +\rho \big[\ln K^{-a}L^{-(1-a)}\big]+ O(\rho^{2})\right)^{-k/\rho}$

$r\equiv 1/\rho$

γ^{- 1} {क्यू}_{कश्मीर} = {(1 + \frac{[\ln {कश्मीर}^{- ए} {एल}^{- (1 - ए)}]}{आर} + हे ({आर}^{- 2}))}^{- कश्मीर आर}

$\gamma^{-1}Q_k = \left(1 +\frac{\big[\ln K^{-a}L^{-(1-a)}\big]}{r}+ O(r^{-2})\right)^{-kr}$

अब यह एक अभिव्यक्ति की तरह दिखता है जिसकी अनंत पर सीमा हमें कुछ घातीय देगी:

\underset{ρ \to 0}{लिम} γ^{- 1} {क्यू}_{कश्मीर} = \underset{आर \to \infty}{लिम} γ^{- 1} {क्यू}_{कश्मीर} = {(\exp {\ln {कश्मीर}^{- ए} {एल}^{- (1 - ए)}})}^{- कश्मीर}

$\lim_{\rho\rightarrow 0}\gamma^{-1}Q_k = \lim_{r\rightarrow \infty}\gamma^{-1}Q_k = \left(\exp\left\{ \ln K^{-a}L^{-(1-a)}\right\} \right)^{-k}$

\Rightarrow \underset{ρ \to 0}{लिम} {क्यू}_{कश्मीर} = γ {({कश्मीर}^{ए} {एल}^{1 - ए})}^{कश्मीर}

$\Rightarrow \lim_{\rho\rightarrow 0}Q_k =\gamma\left(K^{a}L^{1-a}\right)^k$

समरूपता की डिग्री $k$ of the function is preserved, and if $k=1$ we obtain the Cobb-Douglas function.

It was this last result that made Arrow and Co to call $a$ the "distribution" parameter of the CES function.

— Alecos Papadopoulos
स्रोत

The regular method of obtaining Cobb-Douglas and Leotief is L'Hôpital's rule.

Another methods should be used too. Setting $\gamma=1$ will be return $Q=[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]^{-\frac{1}{\rho}}$ and

Q^{- ρ} = [a K^{- ρ} + (1 - a) L^{- ρ}]

$Q^{-\rho}=[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]$ By The total derivative via differentials we will have

- ρ Q^{- ρ - 1} d Q = - a ρ K^{- ρ - 1} d K - (1 - a) ρ L^{- ρ - 1} d L

$-\rho Q^{-\rho-1}dQ=- a\rho K^{-\rho-1}dK -(1-a)\rho L^{-\rho-1}dL$ With some manupulations our main equation will be obtained.

d Q = a {(\frac{Q}{K})}^{1 + ρ} d K + (1 - a) {(\frac{Q}{L})}^{1 + ρ} d L

$dQ= a {(\frac{Q}{ K})}^{1+\rho}dK +(1-a){(\frac{Q}{ L})}^{1+\rho}dL$

Linear Function : $\lim_{\rho\to -1}{dQ}\Rightarrow Q=aK+(1-a)L$

Cobb-Douglas Function :

lim_{ρ \to 0} d Q \Rightarrow \frac{1}{Q} d Q = a (\frac{1}{K}) d K + (1 - a) (\frac{1}{L}) d L

$\lim_{\rho\to 0}{dQ}\Rightarrow \frac{1}{Q}dQ= a {(\frac{1}{ K})} dK +(1-a){(\frac{1}{ L})} dL$ Taking the Integral from both side would produce

\int \frac{1}{Q} d Q = a \int (\frac{1}{K}) d K + (1 - a) \int (\frac{1}{L}) d L

$\int\frac{1}{Q}dQ= a \int {(\frac{1}{ K})} dK +(1-a)\int{(\frac{1}{ L})} dL$

Q = K^{a} L^{(1 - a)} e^{C} = A K^{a} L^{(1 - a)}

$Q=K^a L^{(1-a)}e^{C}=AK^a L^{(1-a)}$

Leontief Function: $\lim_{\rho\to \infty}{dQ}\Rightarrow min(aK,(1-a)L)$

— Huseyin
स्रोत

(+1) I like especially how the Cobb-Douglas function is obtained.

— एलेकोस पापाडोपोलोस

Thanks @AlecosPapadopoulos. but I don't know why somebodies make dislike this post yet? I think this type of questions may provide brain storm at least to me.

— Huseyin

सच पूछिये तो Huseyin, वे सही कर रहे हैं: यदि आप अपने में अपने जवाब के कम से कम हिस्से में शामिल किया जाना चाहिए था सवाल : "यहाँ काम करने के मेरे रास्ते है, वहाँ किसी और तरीके से है?"

— एलेकोस पापाडोपोलोस 20

Is taking a differential and integrating "equivalent" to taking a limit? In general, can we take differential and integrate to find a limit? Or is this a special application?

— पीजीगुप्त