मांग फ़ंक्शन ढूंढने से उपयोगिता मिनट (x, y) फ़ंक्शन दिया गया

Question

मैं डिमांड फ़ंक्शन खोजने के बारे में एक विशेष बिंदु के बारे में उलझन में हूं। इस अभ्यास सेट में सभी समस्याएं जो मैं कर रहा हूं उनमें लैग्रैन्जियन मल्टीप्लायरों की पद्धति को लागू करना शामिल है। लेकिन मैं अनिश्चित हूं अगर यह इस समस्या के लिए यहां लागू होता है।

समस्या सेटअप

उपयोगिता फ़ंक्शन के साथ एक उपभोक्ता पर विचार करें $u(x,y) = \min\lbrace x,y\rbrace$। मान लीजिए हमें धन दिया गया$w$ और कीमतें $p_x = 1, p_y = \frac{1}{2}$।

मेरा काम

अभी बहुत कुछ नहीं करना है। मैंने जो भी किया वह सब बजट की अड़चन थी$w = xp_x + yp_y = x + \frac{1}{2} y$।

मेरा भ्रम

मैं एक Lagrangian गुणक समीकरण को सेट करने के लिए बिल्कुल तैयार था जब अचानक मुझे एहसास हुआ कि मेरी उपयोगिता फ़ंक्शन एक है $\min$समारोह। सबसे पहले, मुझे लगा कि यह फ़ंक्शन अलग नहीं है। अब, मैं सोच रहा हूं कि यह अलग नहीं है, लेकिन यह आंशिक रूप से अलग है। मैं अभी भी अनिश्चित हूं।

मेरा अनुमान

मुझे शक है $\min$ इस धागे के आधार पर आंशिक रूप से भिन्न है

/math/150960/derivative-of-the-fx-y-minx-y

लेकिन मुझे संदेह है कि मेरे जवाब के लिए एक टुकड़े-टुकड़े घटक या कुछ और की आवश्यकता होगी।

मेरा प्रश्न

क्या Lagrangian के गुणक यहां लागू होते हैं? यदि ऐसा है, तो मैं लैग्रेनिज़्म को टुकड़ों के संदर्भ में कैसे परिभाषित करूं क्योंकि मुझे लगता है कि मुझे करने की आवश्यकता होगी? यदि यह अलग नहीं है, तो किसी को दिए गए डिमांड फंक्शन को कैसे प्राप्त किया जा सकता है$\min$ या ए $\max$ समारोह?

Comments

गणित एसई पर यह प्रश्न भी देखें: math.stackexchange.com/questions/605925/…

— Mathemanic

Answer 1

नहीं, आपको यहां लैग्रेग मल्टीप्लायरों का उपयोग नहीं करना चाहिए, लेकिन ध्वनि की सोच। मान लीजिए$x\neq y$, सहमति के लिए कहें $x<y$। चलो$\epsilon=y-x$। फिर$\min\{x,y\}=x=\min\{x,x\}=\min\{x,y-\epsilon\}.$ तो उपभोक्ता बिना खराब हुए, उसकी अच्छी 2 की खपत को कम कर सकता है। दूसरी ओर सभी के लिए$\delta>0$, हम होंगे $\min\{x+\delta,y-\epsilon/2\}>x=\min\{x,y\}$, इसलिए उपभोक्ता दूसरे अच्छे की खपत को कम करके और पहले अच्छे पर मुक्त धन खर्च करके बेहतर हो सकता है। एक इष्टतम में, एक उपभोक्ता में सुधार नहीं हो सकता है इसलिए इष्टतमता की आवश्यकता होती है$x=y$। यह भी स्पष्ट है कि उपभोक्ताओं में सुधार हुआ है$x=y$45 ° रे। तो आप बस उपयोग कर सकते हैं$x=y$ आपके बजट की कमी और लैग्रेग मल्टीप्लायरों को बायपास करने के लिए एक इष्टतम स्थिति के रूप में।