लैग्रैन्जियन मल्टीप्लायरों को समझने में मदद करें?

Question

मैं लैग्रैन्जियन मल्टीप्लायरों को समझने की कोशिश कर रहा हूं और एक उदाहरण समस्या का उपयोग कर रहा हूं जो मुझे ऑनलाइन मिला।

समस्या सेट अप:

उपयोगिता फ़ंक्शन के साथ एक उपभोक्ता पर विचार करें $ u (x, y) = x ^ {\ अल्फा} y ^ {1- \ अल्फा} $, जहां $ \ अल्फा \ (0,1) $। मान लीजिए कि इस उपभोक्ता के पास $ w $ धन है और कीमतें $ p = (p_x, p_y) $ हैं। वह सब हमें दिया गया था।

मैंने जो काम किया:

मैंने तब एक बजट बाधा समीकरण को परिभाषित किया था: $ w = xp_x + yp_y $। फिर मैंने उपभोक्ता की अधिकतम समस्या के लिए एक संबद्ध लैग्रैजियन को भी परिभाषित किया: $ \ Lambda (x, y, \ lambda) = x ^ {\ अल्फा} y ^ {1- \ अल्फा} + \ lambda ((xp_x + yp_y) -w) $।

मेरा प्रश्न:

यह समीकरण मुझे क्या करने की अनुमति देता है? हालाँकि मैंने इसे सेट किया है कि विकिपीडिया के लैग्रेन्जियन मल्टीप्लायरों के पेज पर सूत्र दिया गया है, लेकिन मुझे वास्तव में यह पता नहीं है कि इस समीकरण का उद्देश्य क्या है। जैसे मुझे समझ में नहीं आता है कि दिए गए समीकरण मुझे यह निर्धारित करने की अनुमति देते हैं कि मैं अपनी उपयोगिता कैसे बढ़ा सकता हूं।

नोट: मैं भौतिक विज्ञान में बहुपरत पथरी और लैग्रैनिज ($ L = T -V $) से परिचित हूं, लेकिन यह तरीका मेरे लिए नया है।

Comments

अगर आपको यहां अच्छा जवाब नहीं मिलता है, तो आप math.stackexchange.com पर यह पूछने पर विचार कर सकते हैं! अच्छा प्रश्न।

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Answer 1

एक विवश अनुकूलन अनुकूलन अधिकतम या एक या अधिक बाधाओं के लिए एक उद्देश्य विषय को अधिकतम या न्यूनतम करता है। जैसा कि मैं इसे समझता हूं, लैग्रेंजियन गुणक दृष्टिकोण एक असंबंधित अनुकूलन समस्या (II) में एक विवश अनुकूलन अनुकूलन समस्या (I) को बदल देता है जहां समस्या II के लिए इष्टतम नियंत्रण मान भी समस्या I के लिए इष्टतम नियंत्रण मान हैं। इसके अलावा, उद्देश्य कार्य समस्याएं I और II समान रूप से समान मान लेते हैं। चाल अलग से उपयोग करने के बजाय सीधे उद्देश्य समारोह में बाधाओं को डालने का एक चतुर तरीका है।

मैं उपभोक्ता की अधिकतम समस्या की आपकी प्रस्तुति से सहमत हूँ: $ \ Lambda (x, y, \ lambda) = x ^ {\ अल्फा} y ^ {1- \ अल्फा} + \ lambda ((xp_x + yp_y) -w) $।

अब हम x को y के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न लेते हैं, उन्हें शून्य के बराबर सेट करते हैं, और फिर x * और y * के लिए हल करते हैं।

$ 0 = \ आंशिक \ लैम्ब्डा / \ आंशिक एक्स = \ अल्फा एक्स ^ {\ अल्फा -1} y ^ {1- \ अल्फा} + \ lambda p_x = (\ अल्फा / एक्स) x ^ {\ अल्फा} y ^ {1 - + अल्फा} + \ lambda p_x $

$ \ Rightarrow - \ lambda = (\ अल्फा / (x p_x)) x ^ {\ अल्फा} y ^ {1- \ अल्फा} $

$ 0 = \ आंशिक \ लैम्ब्डा / \ आंशिक y = (1 - \ अल्फ़ा) x ^ {\ अल्फ़ा} y ^ {- \ अल्फ़ा} + \ lambda p_y = (((1 - \ Alpha) / y) x ^ {\ अल्फ़ा } y ^ {1- \ अल्फा} + \ lambda p_y $

$ \ Rightarrow - \ lambda = ((1- \ Alpha) / (y p_y)) x ^ {\ Alpha} y ^ {1- \ alpha} $

$ \ Rightarrow (\ Alpha / (x p_x)) x ^ {\ Alpha} y ^ {1- \ Alpha} = - \ lambda = ((1- \ Alpha) / (y p_y)) x ^ {\ Alpha} y ^ {1- \ अल्फा} $

$ \ Rightarrow (\ अल्फा / (x p_x)) = ((1- \ अल्फा) / (y p_y)) $

$ \ Rightarrow (y p_y) / (1- \ Alpha) = (x p_x) / \ Alpha $ (eq 1)

आंशिक व्युत्पन्न $ \ आंशिक \ Lambda / \ आंशिक \ lambda = 0 $ लेकर बजट बाधा समीकरण पुनर्प्राप्त करें।

$ 0 = \ आंशिक \ लैम्ब्डा / \ आंशिक \ lambda = xp_x + yp_y - w \ Rightarrow xp_x / w + yp_y / w = 1 $ (eqn 2)

अब हमारे पास दो समीकरण और दो अज्ञात (x, y) हैं और x * और y * के लिए हल कर सकते हैं।

$ \ Rightarrow yp_y / w = xp_x / w \ cdot (1 / \ अल्फा - 1) = xp_x / w / \ अल्फा - xp_x / w $

$ \ Rightarrow 1 = yp_y / w + xp_x / w = xp_x / w / \ Alpha $

$ \ rightarrow \ Alpha = xp_x / w $ (परिणाम 1)

$ \ Rightarrow \ अल्फा = xp_x / w = 1 - yp_y / w $

$ \ rightarrow 1- \ Alpha = yp_y / w $ (परिणाम 2)

परिणाम 1 और 2 कोब-डगलस उपयोगिता और उत्पादन कार्यों के लिए प्रसिद्ध निरंतर व्यय शेयरों का परिणाम है। जिसे x * और y * के लिए भी स्पष्ट रूप से हल किया जा सकता है: $ x ^ * = \ अल्फा w / p_x $ और $ y ^ * = (1- \ अल्फा) w / p_y $ जो कि Lagrangian और दोनों के लिए इष्टतम मूल्य हैं मूल समस्याएं।

Comments

आपके अंतिम वाक्य के संदर्भ में, हम $ \ _ लैम्ब्डा $ के लिए भी हल क्यों नहीं कर रहे हैं? मैं पहचानता हूँ, क्योंकि $ \ Lambda (x, y, \ lambda) $ $ (lkada) में $ 1 ऑर्डर (उर्फ डिग्री) है, जो आंशिक व्युत्पन्न $ \ frac {\ आंशिक \ Lambda} {{आंशिक lambda} $ निकालता है $ \ lambda $ व्युत्पन्न होने के बाद से यह स्वाभाविक रूप से 1 है और इस प्रकार यह एक चर नहीं है। क्या यह जानबूझकर है?

— Stan Shunpike

मैंने उत्तर का विस्तार किया और उम्मीद है कि यह थोड़ा स्पष्ट हो जाएगा। हाँ, आप $ \ आंशिक \ लैम्ब्डा / \ आंशिक \ लैम्ब्डा $ का उपयोग करते हैं, यही कारण है कि आप बजट समीकरण को पुनर्प्राप्त करते हैं और अंततः एक्स और वाई के इष्टतम मूल्यों के लिए हल करते हैं। लेकिन आप वास्तव में लैम्ब्डा का चयन नहीं करते हैं। आप केवल x और y चुन सकते हैं। $ \ lambda $ एक विकल्प चर की तुलना में मूल्य (एक छाया कीमत) की तरह अधिक समाप्त होता है।

— BKay

इससे वह साफ हो गया। स्पष्टीकरण देने के लिए धन्यवाद। मैंने यहां एक उदाहरण के माध्यम से काम किया था: math.stackexchange.com/questions/674/... लेकिन किसी तरह वास्तव में संख्याओं ने मुझे भ्रमित किया। चर को देखकर और समझ में आया।

— Stan Shunpike

@BKay आपको $ \ frac {y p_y} {w} = \ frac {x p_x} {w (\ Alpha - 1)} $ कैसे मिलेगा?

— Mathemanic

Answer 2

यह इसके लिए है सहज बोध, कठोरता के लिए नहीं, और हम मानते हैं कि आप किस तरह से बाधा से भटकना चाहते हैं। यहाँ यह आसान है; आप ओवरस्पीड करना चाहेंगे, इसलिए हम लैग्रेग को आमंत्रित करते हैं कि आप अधिक से अधिक $ w $ खर्च करने के लिए अनुशासन करें। निम्नलिखित चरणों में समस्या के बारे में सोचें:

1. आप बाहर जाना चाहते हैं और पिज्जा ($ x $) और बीयर ($ y $) का उपभोग करते हैं, और अपने माता-पिता से क्रेडिट कार्ड उधार लेने के लिए कहते हैं।
2. आपके माता-पिता आपको जानते हैं, इसलिए क्रेडिट कार्ड से आपको निम्नलिखित चेतावनी मिलती है: यदि आप $ w $ से अधिक खर्च करते हैं, तो हम अपने दुष्ट पड़ोसी को मि। लग्रेंग अपनी उँगलियों से सूँघेंगे, जिससे प्रति डॉलर $ $ लैंबडा $ यूटिलिटी यूनिट का दर्द होगा। आप ओवरस्पीड करें।
3. लैग्रेनिज़्म को देखें; यह अब पिज्जा ($ x $), बियर ($ y $) और दर्द ($ \ lambda \ cdot (xp_x + yp_y-w) $) के एक फ़ंक्शन के रूप में आपकी उपयोगिता का जुर्माना है। आपके दृष्टिकोण से, आप इसे दिए गए $ \ lambda $ (जिसका अर्थ है, विशेष रूप से, कि यदि $ \ lambda $ बहुत छोटा है, के लिए अधिकतम करें, तो आपके बजट को सकल रूप से पार करने पर श्री लाग्रेंज से कम संख्या में स्लैप की कीमत होगी) ।
4. आपके माता-पिता के दृष्टिकोण से, वे $ \ lambda $ को उस संख्या में समायोजित करना चाहते हैं जो आपको स्वेच्छा से ठीक $ w $ खर्च करने के लिए चुनते हैं, बे पर श्री Lagrange को छोड़कर। ($ $ लैंबडा $ अधिक का चयन करने से आपको अंडरस्टैंडिंग होगी, आप व्याख्या को तदनुसार समायोजित कर सकते हैं।)
5. निश्चित रूप से आप ठीक उसी स्तर का चयन करेंगे, जहां आप अतिरिक्त उपभोग के बंडल होने और नहीं होने के बीच उदासीन हैं; दंड। इसलिए छाया मूल्य व्याख्या: $ \ lambda $ (अधिक सटीक रूप से: पहला-क्रम अनुमानित) आप कितना भुगतान करने के लिए तैयार होंगे - अपने उद्देश्य समारोह के रूप में एक ही इकाइयों में! आपका बजट बढ़ा है।

बाधा पर संकेत बदलने के सुझाव के रूप में: बेशक यह गणितीय रूप से काम करता है, लेकिन मैं शायद ही कभी इसे अनुदेश प्रयोजनों के लिए उपयोग करता हूं; इसे छोड़ना यह है, $ u- \ lambda (xp_x + yp_y-w) $ एक बाधा को उजागर करता है (जो आपको पसंद नहीं है, यह आपकी उपयोगिता को कम करता है) समकक्ष के रूप में कर (जो आपको एक ही कारण से पसंद नहीं है)। आर्थिक दृष्टिकोण से, आपको एक कर द्वारा लागू किए जा रहे बाधा का विचार मिलता है, और यह कि ई। में शिक्षाप्रद है। मॉडलिंग पिगोवियन करों को आंतरिक (अवांछित नकारात्मक) बाहरीता।

Answer 3

बाधाओं के तहत एक समारोह का अनुकूलन करने के लिए Lagrange गुणक का उपयोग करना एक उपयोगी है तकनीक , हालांकि अंत में, यह अतिरिक्त जानकारी और जानकारी प्रदान करता है। समानता की समस्या के मामले में चिपके रहना, समस्या

$ $ \ मैक्स + {(एक्स, वाई)} यू (एक्स, वाई) = एक्स ^ {\ अल्फा} वाई ^ {1- \ अल्फा}, \;; \ अल्फा \ (0,1) $ $ $$ \ text {s.t.} \;; w = p_xx + p_yy $$

प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन द्वारा निश्चित रूप से एक असंबंधित समस्या में रूपांतरित किया जा सकता है:

$$ \ max_ {y} u (x, y) = \ left (\ frac {w-yp_y} {p_x} \ right) ^ {\ Alpha} y ^ {1- \ अल्फा}, \; \; \ अल्फा \ (0,1) $ $

लेकिन सामान्य तौर पर, प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन बोझिल अभिव्यक्ति (विशेषकर गतिशील समस्याओं में) पैदा कर सकता है, जहां एक बीजीय गलती करना आसान होगा। तो लैगरेंज विधि का यहाँ एक फायदा है। इसके अलावा, लग्र गुणक की अर्थपूर्ण आर्थिक व्याख्या है। इस दृष्टिकोण में, हम एक नए चर को परिभाषित करते हैं, कहते हैं $ \ lambda $, और हम "लैरंगियन फ़ंक्शन" बनाते हैं

$ $ \ लैम्ब्डा (x, y, \ lambda) = x ^ {\ अल्फा} y ^ {1- \ अल्फा} + \ lambda (w-p_xx-p_yy) $$

पहले, ध्यान दें कि $ \ Lambda (x, y, \ lambda) $ है बराबर $ u (x, y) $ के बाद से, दाईं ओर जोड़े गए भाग की पहचान शून्य है। अब हम दो चर के संबंध में लग्रियन को अधिकतम करते हैं और हम पहले क्रम की स्थिति प्राप्त करते हैं

$ $ \ frac {\ आंशिक यू} {\ आंशिक x} = \ lambda p_x $ $

$$ \ frac {\ आंशिक u} {\ आंशिक y} = \ lambda p_y $$

$ \ Lambda $ के माध्यम से समीकरण, यह जल्दी से मौलिक संबंध प्रदान करता है

$ $ \ frac {\ आंशिक u / \ आंशिक x} {\ आंशिक u / \ आंशिक y} = \ frac {p_x} {p_y} $$

यह इष्टतम संबंध, बजट बाधा के साथ, दो अज्ञात में दो-समीकरण प्रणाली प्रदान करता है, और इसलिए समाधान $ प्रदान करता है (x ^ *, y ^ *) $ बहिर्जात मापदंडों के एक समारोह के रूप में (उपयोगिता पैरामीटर $ \ अल्फ़ा) $, कीमतें $ (p_x, p_y) $ और दी गई धन $ w $)।

$ \ Lambda $ के मूल्य को निर्धारित करने के लिए, क्रमशः $ x $ और $ y $ द्वारा प्रत्येक प्रथम-क्रम की स्थिति को गुणा करें और फिर प्राप्त करने के लिए पक्षों द्वारा योग करें

$$ \ frac {\ आंशिक u} {\ आंशिक x} x + \ frac {\ आंशिक u} {\ आंशिक y} y = \ lambda (p_xx + p_yy) = \ lambda w $$

डिग्री एक की उपयोगिता सजातीय के साथ, जैसा कि कोब-डगलस कार्यों के साथ होता है, हमारे पास वह है

$ $ \ _ \

और इसलिए हमारे पास इष्टतम बंडल है

$ $ u (x ^ *, y ^ *) = \ lambda ^ * w $ $

और यह है कि कैसे लैग्रेंज गुणक एक आर्थिक रूप से सार्थक व्याख्या प्राप्त करता है: इसका मूल्य है धन की सीमांत उपयोगिता । अब, के संदर्भ में क्रमवाचक उपयोगिता, सीमांत उपयोगिता वास्तव में सार्थक नहीं है (यह भी देखें) यहाँ चर्चा )। लेकिन उपरोक्त प्रक्रिया को लागत-कम करने की समस्या के उदाहरण के लिए लागू किया जा सकता है, जहां लैग्रेंज गुणक उत्पादित मात्रा में मामूली वृद्धि से कुल लागत में वृद्धि को दर्शाता है, और इसलिए यह सीमांत लागत है।

Comments

यह एक महान व्याख्या थी। प्रश्न: लैग्रैजियन मल्टीप्लायरों पर विकिपीडिया के पृष्ठ पर, यह बताता है हालांकि, सभी स्थिर बिंदु मूल समस्या का समाधान नहीं देते हैं। इस प्रकार, लैग्रेग मल्टीप्लायरों की विधि विवश समस्याओं में अनुकूलता के लिए एक आवश्यक स्थिति उत्पन्न करती है। क्या इसका मतलब "अधिकतमकरण" शब्द गलत है? क्योंकि मुझे लगा कि आवश्यक पर्याप्त नहीं था, लेकिन काफिले ने किया।

— Stan Shunpike

@StanShunpike वास्तव में, वे सिर्फ आवश्यक हैं। वे पर्याप्त हो जाते हैं जब उद्देश्य फ़ंक्शन और बाधाओं में कुछ गुण होते हैं। उदाहरण के लिए, रैखिक बाधाओं और अर्ध-अवतल उद्देश्य फ़ंक्शन के साथ, वे भी पर्याप्त हैं।

— Alecos Papadopoulos

@AlecosPapadopoulos $ u (x ^ *, y ^ *) $ लिखने का दूसरा तरीका है अप्रत्यक्ष उपयोगिता समारोह $ v $, सही है? इस प्रकार, अगर मैं गलत नहीं हूँ, यह लिफाफा प्रमेय का एक आवेदन है, नहीं?

— Mathemanic

Answer 4

मैं आपको पैराग्राफ द्वारा इस उत्तर पैराग्राफ के माध्यम से काम करने की सलाह दूंगा, जिससे सुनिश्चित होगा कि आप उनमें से प्रत्येक को बदले में प्राप्त करेंगे, या आप भ्रमित हो जाएंगे। यदि आप अपने उद्देश्य के लिए आवश्यक नहीं हैं, तो आप बाद में इसे अनदेखा करना चाह सकते हैं।

मुख्य विचार यह है कि यदि बिंदु सशर्त चरम है, तो यह आवश्यक रूप से लैग्रैनिजियम का एक स्थिर बिंदु है, अर्थात् ऐसा बिंदु, कि लैग्रैनिजियम के सभी आंशिक व्युत्पन्न इसमें शून्य हैं। समस्या को हल करने के लिए आपको सभी स्थिर बिंदुओं को पहचानना चाहिए और उनमें से अधिकतम का पता लगाना चाहिए।

हालांकि सामान्य तौर पर यह नुस्खा विश्वसनीय नहीं है, क्योंकि अधिकतम मौजूद नहीं हो सकता है। आमतौर पर आप सत्यापित कर सकते हैं कि यह वीयरस्ट्रैस प्रमेय के साथ अस्तित्व में है। इसके लिए जरूरी है कि कल्पना निरंतर हो और सेट कॉम्पैक्ट हो जो कि यहां पर है। सामान्य तौर पर इसका मतलब है कि आपको प्रश्न में सेट के किसी भी सीमा बिंदुओं की जांच करने की आवश्यकता है, अंक $ x = 0 $ और अंक $ y = 0 $।

इस मामले में आपका समीकरण समाधान के लिए अपर्याप्त है, क्योंकि आप जिस सेट पर विचार कर रहे हैं वह समानता के बजाय असमानताओं द्वारा परिभाषित किया गया है। आप इंगित कर सकते हैं, कि फ़ंक्शन $ x $ और $ y $ में मोनोटोनिक है, इसलिए अधिकतम ऊपरी दाहिनी सीमा पर है। इसके अलावा उपयोगिता 0 है अगर $ x = 0 $ या $ y = 0 $, जबकि व्यवहार्य बिंदु हैं जहां यह सख्ती से सकारात्मक है, इसलिए अधिकतम को बाईं या निचली सीमाओं पर प्राप्त नहीं किया जा सकता है। तब यह दृष्टिकोण पूरी तरह से उचित है।

भविष्य में आपको उस समस्या के बारे में पता होना चाहिए अगर इस तरह के प्रकार को आमतौर पर कुह्न-टकर प्रमेय को लागू करके हल किया जाना चाहिए और मैं आपको इस सामग्री को प्राप्त करने के बाद इसके साथ परिचित होने के लिए फिर से जोड़ता हूं।

Answer 5

जैसा कि अन्य ने उल्लेख किया है, लैग्रेग विधि का सार एक विवश-चरम-समस्या को इस रूप में बदलना है कि मुक्त-चरम-समस्या की FOC लागू की जा सके। अपने सेटअप में, आपने गैर-विवश समस्या ($ \ max u (x, y) $) को इसमें बदल दिया:

$ $ \ लैम्ब्डा = x ^ {\ अल्फा} y ^ {1- \ अल्फा} + \ lambda (w- (xp_x + yp_y)) $$

यदि आप मानते हैं कि प्रतिबंध पूरा हो जाएगा, यानी $ xp_x + yp_y = w $, तो अंतिम शब्द $ \ lambda $ के मूल्य से स्वतंत्र रूप से गायब हो जाएगा, ताकि $ \ Lambda $ $ u के समान होगा $। चाल $ \ lambda $ को एक अतिरिक्त पसंद चर के रूप में मानने के लिए है, इस प्रकार $ \ Lambda (x, y, \ lambda) $ को अधिकतम करना है। चूंकि $ \ lambda $ के लिए पहली ऑर्डर शर्त है

$ $ \ frac {\ आंशिक Z} {\ आंशिक \ lambda} = w- (xp_x + yp_y) = 0 $ $ हमें अड़चन की संतुष्टि और $ लाम्बा $ के लुप्त होने का आश्वासन दिया जा सकता है।

से संबंधित व्याख्या $ \ lambda_i $ (Lagrange गुणक) में, व्यापक आर्थिक दृष्टि से यह है परछाई कीमत $ i की $ वें बाधा। आपके सेटअप में, जहां केवल बजट की कमी है, छाया की कीमत बजट की कमी का अवसर लागत है, अर्थात, बजट धन (आय) की सीमांत उपयोगिता।

इसे देखने का दूसरा तरीका यह है कि $ (लैम्ब्डा $) $ (लैम्ब्डा $) की संवेदनशीलता (बजट) में बदलाव के उपायों को मापता है। वास्तव में यह सिद्ध किया जा सकता है

$$ \ frac {d \ Lambda ^ *} {dw} = \ lambda ^ * $ $

ध्यान दें कि $ \ lambda ^ * $ की इस व्याख्या के लिए आपको हमेशा $ w- (xp_x + yp_y) $ के रूप में बाधा को व्यक्त करना होगा नहीं $ के रूप में (xp_x + yp_y) -w $ (जैसे आपने अपने सेटअप पर लिखा है)।