साबित करें कि $ u $ $ \ succsim $ के लिए एक उपयोगिता फ़ंक्शन है

Question

यदि X परिमित है, तो इस फ़ंक्शन को परिभाषित करें $ u: X \ rightarrow \ mathbb {R} $ द्वारा $ u (x) = | \ {z \ _ X: z \ prec x \} | । साबित करो $ यू $ के लिए एक उपयोगिता कार्य है $ \ Succsim $ ।

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क्या यह साबित करने के लिए पर्याप्त है कि संबंध संक्रामक और पूर्ण है?
लेम्मा द्वारा: अगर $ \ Succsim $ एक उपयोगिता समारोह है, तो यह सकर्मक और पूर्ण है।

Comments

आपको एक बहुत ही विशिष्ट उपयोगिता फ़ंक्शन दिया जाता है और यह साबित करने के लिए कहा जाता है कि यह विशेष फ़ंक्शन एक सीमित विकल्प पर वरीयता को दर्शाता है। दूसरे शब्दों में, आपको $ u (x) \ ge u (y) \; \ Leftrightarrow \ _ साबित करने के लिए कहा जाता है; x \ succsim y $ सभी $ x, y \ के लिए X $ में, जहाँ $ u $ प्रश्न में परिभाषित किया गया है।

— Herr K.

ठीक है धन्यवाद। मैं अभी भी उलझन में हूं कि इस तरह की चीजों को कैसे साबित किया जाए।

— Zhang_anlan

Answer 1

आपको यह साबित करने के लिए कहा जाता है $ u (x) \ ge u (y) \; \ Leftrightarrow \; x \ succsim y $ किसी के लिए $ x, y $ X में , कहा पे $ u (x) = | \ {z \ _ in X: z \ prec x \} | $ , यानी की उपयोगिता $ X $ अन्य विकल्पों की संख्या से मापा जाता है जो इसके नीचे सख्ती से रैंक करते हैं। जबसे $ X $ परिमित है, चलो सामान्यता के नुकसान के बिना मान लेते हैं कि $ एक्स = \ {1,2, \ डॉट्स, एन \} $ कहा पे $ एन $ कुछ परिमित संख्या है।

मैं उस मामले को साबित करूंगा जिसमें विकल्प के प्रति उदासीनता नहीं है, कहते हैं $ 1 \ succ2 \ succ \ cdots \ succ N $ । मैं आपको उस मामले की स्थापना करके सबूत खत्म करने देता हूं जहां विकल्पों के सबसेट के बीच अंतर हैं।

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चरण 1. स्थापित करना $ u (x) & gt; u (y) \; \ Rightarrow \; x \ succ y $ ।

मान लीजिए $ U (x) & gt; यू (y) $ । की परिभाषा के द्वारा $ यू $ विकल्पों की संख्या सख्ती से बदतर है $ X $ सख्ती से बदतर विकल्पों की संख्या से बड़ा है $ Y $ । अगर $ y \ succsim x $ , यह बस पिछले कथन का खंडन करेगा। इसलिए, हमारे पास होना चाहिए $ x \ succ y $ ।

चरण 2. स्थापित करना $ x \ succ y \; \ Rightarrow \; u (x) & gt; u (y) $ ।

मान लीजिए $ x \ succ y $ । चूंकि हम विकल्पों के बीच कोई उदासीनता नहीं मानते हैं, इसलिए सख्ती से बदतर विकल्पों का सेट $ X $ , X में $ \ {z \ _: x \ succ z \} $ , के लिए सख्ती से बदतर विकल्पों के सेट से अधिक तत्व शामिल होने चाहिए $ Y $ , X में $ \ {z \ _: $ \ n । दूसरे शब्दों में, $ | \ {z \ _ in X: x \ succ z \} | & gt;? \ {z \ _ in X: y \ succ z \} | $ । इसलिए, हम प्राप्त करते हैं $ U (x) & gt; यू (y) $ नतीजतन।

एक साथ लिया, चरण 1 और 2 यह प्रदर्शित करता है $ x \ succ y \; \ Leftrightarrow \; u (x) & gt; u (y) $ किसी भी मनमानी के लिए $ x, y $ X में ।