लॉटरी और अपेक्षित उपयोगिता

Question

मान लें कि हमारे पास निम्नलिखित चार लॉटरी हैं:

$L_{1}=[(1,\$1)]$

$L_{2}=[(0.01,\$0),(0.89,\$1),(0.1,\$5)]$

$L_{3}=[(0.9,\$0),(0.1,\$5)]$

$L_{4}=[(0.89,\$0),(0.11,\$1)]$

यदि हमारा एजेंट कहता है कि वह $L_{1}$ से $L_{2}$ को पसंद करता है और $L_{3}$ से को पसंद करता है $L_{4}$, तो वह स्वतंत्रता की अपेक्षित उपयोगिता (जिसे प्रतिस्थापन के रूप में भी जाना जाता है) का पालन नहीं कर रहा है।

किसी को पता है कि यह कैसे समझा जाए?

Comments

आपका प्रश्न अस्पष्ट है। आपकी चेष्टा यह स्पष्ट करती है कि आप इस बात की व्याख्या कर रहे हैं कि कोई व्यक्ति इन प्राथमिकताओं को क्यों पसंद करेगा, बजाय इसके कि ये प्राथमिकताएँ स्वतंत्रता की धारणा का उल्लंघन क्यों करेंगी।

— संचय

Answer 1

आपका उदाहरण क्लासिक एलाइस विरोधाभास है ।

मुझे लगता है कि वरीयता पैटर्न और L 3 best L 4 स्वतंत्रता का उल्लंघन कैसे करते हैं, यह देखने का सबसे अच्छा तरीका है कि इसे ज्यामितीय रूप से कल्पना करें। निम्नलिखित आकृति पर विचार करें:$L_1\succ L_2$$L_3\succ L_4$

निरीक्षण करें कि इसलिए,एल1औरएल4से गुजरने वाले उदासीनता वक्रसमानांतर होना चाहिए। के बाद सेएल1≻एल2, बाद लॉटरी के माध्यम से आईसी नीचे होनी चाहिएएल1। आईसी के समानांतरवाद के निहितार्थ से,एल3को भीएल4 केमाध्यम से आईसी के नीचे झूठ बोलना चाहिए। लेकिन हम दिया जाता है किएल3≻एल4। इसका मतलब यह है कि

$$\begin{align} L_2&=L_1+(0.01,-0.11,0.1)\\ L_3&=L_4+(0.01,-0.11,0.1). \end{align}$$ $L_1$$L_4$$L_1\succ L_2$$L_1$$L_3$$L_4$$L_3\succ L_4$L 3 (ब्लू धराशायी लाइन) केमाध्यम से आईसी के नीचे स्थित है। चूँकि IC की समानता स्वतंत्रता की एक आवश्यक शर्त है, एजेंट की प्राथमिकता स्वतंत्रता के साथ असंगत है, क्योंकि इसे केवल गैर-समानांतर IC के सेट द्वारा ही उचित ठहराया जा सकता है।$L_4$$L_3$

वैकल्पिक रूप से, आप निम्नलिखित तरीके से एजेंट की पसंद और अपेक्षित उपयोगिता सिद्धांत के बीच असंगतता के बारे में सोच सकते हैं। मान लीजिए अपेक्षित उपयोगिता सिद्धांत रखता है। तब असमानता के बराबर है यू ( $ 1 ) > 0.01 यू ( $ 0 ) + 0.89 यू ( $ 1 ) + 0.1 यू ( $ 5 ) । 0.89 u ( $ 0 ) जोड़ना - 0.89 u $L_1\succ L_2$

$$\begin{equation} u(\$1)>0.01u(\$0)+0.89u(\$1)+0.1u(\$5). \end{equation}$$ दोनों तरफ, हमें 0.89 u ( $ 0 ) + 0.11 u ( $ 1 ) > 0.9 u ( $ 0 ) + 0.1 u ( $ 5 ) मिलता है । लेकिन इस दूसरी असमानता बस कह रहा है एल 4 ≻ एल 3 , जो एजेंट की पसंद के विरोधाभासी है।$0.89u(\$0)-0.89u(\$1)$ $$\begin{equation} 0.89u(\$0)+0.11u(\$1)>0.9u(\$0)+0.1u(\$5). \end{equation}$$ $L_4\succ L_3$

Answer 2

मैं इस पर काम कर रहा हूं और मेरा मानना ​​है कि यह तरीका है इसका तरीका:

लॉटरी निम्नानुसार लिखें:

$L_{1}=[(0.89,\$1),(0.11,\$1)]$

$L_{2}=[(0.89,\$1),(0.11,L')]$$L'$$L_{2}$$L'=[(\frac{1}{11},\$0),(\frac{10}{11},\$5)]$

$L_{3}=[(0.89,\$0),(0.11,L')]$$L'$

$L_{4}=[(0.89,\$0),(0.11,\$1)]$

$L_{1}$$L_{2}$

तो, स्वतंत्रता या प्रतिस्थापन की धारणा, से लॉटरी मान बदलकर के लिए ( 0.89 , $ 0 ) के साथ सब और लगातार बने रहे, लेकिन हमारे वरीयताओं को बदलें नहीं करना चाहिए। तो, अगर इस धारणा पीछा किया जाता है, हम होना चाहिए एल 4 के लिए पसंद किया जाता है एल 3 ।$(0.89,\$1)$$(0.89,\$0)$$L_{4}$$L_{3}$

हालाँकि, को L 4 पसंद किया जाता है , इसलिए ऐसा नहीं है।$L_{3}$$L_{4}$

आप इस दृष्टिकोण से क्या समझते हैं? क्या यह मान्य है?

Comments

मेरे उत्तर की जाँच करें।

— डाउनवोट्स के

@ शिक्षा, आप सही हैं। नीचे मेरा जवाब देखें जिसमें मैं आपके तर्कों को पूरी तरह से औपचारिकता देता हूं।

Answer 3

यह सिर्फ @ Sadem का तर्क औपचारिक है। ध्यान दें कि हमें किसी उपयोगिता फ़ंक्शन के अभ्यावेदन का उपयोग करने की आवश्यकता नहीं है, हम स्वतंत्रता के स्वयंसिद्ध संयोजन के साथ लॉटरी पर वरीयता का उपयोग कर सकते हैं।

$L'' \succeq L'$ $\Leftrightarrow$

$$\alpha L'' + (1-\alpha) L \succeq \alpha L' + (1-\alpha) L$$ $\forall L, L', L'' \in \mathcal{L}$$\forall \alpha \in (0,1)$

$L'' := L_{1}$$L' := \big((0,1/11), (5,10/11)\big)$$L := L_{1}$$\alpha = .11$

$$\alpha L'' + (1-\alpha) L \succ \alpha L' + (1-\alpha) L$$

अब, परिभाषित । इसलिए, दूसरा बयान का तात्पर्य अल्फा एल " + ( 1 - अल्फा ) एल ‴ ≺ अल्फा एल ' + ( 1 - अल्फा ) एल $L''' := (0,1)$

$$\alpha L'' + (1-\alpha) L''' \prec \alpha L' + (1-\alpha) L'''$$

इस प्रकार स्वतंत्रता स्वयंसिद्ध उल्लंघन है।

Comments

$\alpha=0.11$$0.89$$\alpha L'+(1-\alpha)L\ne L_2$

@HerrK। तुम सही हो। फिक्स्ड!

Answer 4

$L_1$$L_2$

$E(L_1)=\sum_{i=1}^{n=1}{p_iu_i}=1*1= 1$

$E(L_2)=\sum_{i=1}^{n=3}p_iu_i=0.01*0+0.89*1+0.1*5= 1.39$

$L_1$$L_2$$E(L_2) > E(L_1)$

$L_3$$L_4$

$E(L_3)=\sum_{i=1}^{n=2}p_iu_i=0.05$

$$E(L_4)=\sum_{i=1}^{n=2}p_iu_i= 0.11$

क्योंकि , अगर एजेंट कहता है कि वह L 3 से L 4 पसंद करता है, तो वह स्वतंत्रता पर अपेक्षित उपयोगिता धारणा का भी पालन नहीं कर रहा है।$E(L_4)>E(L_3)$$L_3$$L_4$

आशा है कि यह उपयोगी है!

Comments

हम नहीं जानते हैं कि उपयोगिता फ़ंक्शन प्रतिनिधित्व है।

@AitakereCity क्या मतलब है आपका? मुझे नहीं पता कि यह गलत क्यों है

— FreakconFrank

मुझे लगता है कि आप अपेक्षित उपयोगिता और अपेक्षित मूल्य को भ्रमित कर रहे हैं। भले ही लॉटरी का अपेक्षित मूल्य दूसरे से बड़ा हो, लेकिन इसका मतलब यह नहीं है कि इसकी अपेक्षित उपयोगिता भी बड़ी होनी चाहिए। इसके अलावा, स्वतंत्रता की धारणा से इसका कोई लेना-देना नहीं है।

— ओमरेन

@ शिक्षा हुह? उपयोगिता का अपेक्षित मूल्य अपेक्षित उपयोगिता है!

— FreakconFrank

$[(0.5,0),(0.5,100)]$$50$$[(1,36)]$$36$ , फिर एजेंट पहले के मुकाबले दूसरी लॉटरी को पसंद करेगा। $u(x)=\sqrt{x}$

— ओमरैन