उपयोगिता समारोह में डिग्री एक का समरूप।

Question

सवाल

मेरा समाधान इस प्रकार है। कृपया मेरे समाधान की जाँच करें। अगर मुझसे कोई गलती हुई हो तो बताएं। मैं वास्तव में अपने समाधान के बारे में निश्चित नहीं हूं। धन्यवाद

U (x) डिग्री एक का समरूप है (u) (tx) = tu (x)

सबसे पहले मैं दिखाता हूं कि अप्रत्यक्ष उपयोगिता फ़ंक्शन, मी में डिग्री एक का समरूप है।

उपयोगिता अधिकतमकरण द्वारा,

वी (पी, एम) पिक्सल के अधिकतम यू (एक्स) विषय = $\le$ मीटर

टीवी (पी, एम) = पिक्सल के अधिकतम तू (एक्स) विषय $\le$ मीटर

यू (TX) = तू (एक्स), टीवी के बाद से (पी, एम) = पिक्सल के अधिकतम यू (TX) विषय $\le$ मीटर

फिर वी (पी, टीएम) = टीवी (पी, एम)

यह अप्रत्यक्ष उपयोगिता फ़ंक्शन डिग्री एक का समरूप है।

मैं दिखाता हूं कि व्यय परिणाम पिछले परिणाम का उपयोग करके यू में एक डिग्री के समरूप है।

मुझे पता है

v (p, m) = v (p, e (p, u)) = u (x)

चूँकि u (x) डिग्री वन और v (p, m) का समरूप है, m, v (p, e (p, u) में डिग्री एक का समरूप है) e (p, u) में डिग्री एक का समरूप होना है। ।

दूसरे शब्दों में, v (p, e (p, u (tx))) = v (p, e (p, tu (x))) = tv (p, e (p, u)) iff e (p) रखती है , तू (x)) = ते (पी, यू (x))

यानी महंगा फंक्शन e (p, u) यू में डिग्री एक का समरूप है।

---

अब मैं दिखाऊंगा कि मार्शेलियन डिमांड x (p, m) m में डिग्री एक का समरूप है।

रॉय की पहचान से,

$$\frac{\partial v(p,m)/\partial p}{\partial v(p,m)/\partial m}=x(p,m)$$

पहले परिणाम से, चूंकि v (p, m) m में एक डिग्री का समरूप है, तो x (p, m) m में एक डिग्री का समरूप है।

अब दिखाते हैं कि हिक्सियन की मांग यू में एक डिग्री के समरूप है।

मुझे पता है

x (p, m) = x (p, e (p, u)) = h (p, u) ........ (1)

एक्स (पी, टीएम) = tx (पी, एम) = tx (पी, ई (पी, यू)) = एक्स (पी, ते (पी, यू))

चूंकि ई (पी, यू) दूसरे भाग द्वारा डिग्री एक का समरूप है,

एक्स (पी, ते (पी, यू)) = एक्स (पी, ई (पी, यू (TX)) = ज (पी, यू (TX)) = ज (पी, तू (x)) = वें (पी, यू (x)) को पकड़ना चाहिए क्योंकि समानता (1) मौजूद है।

यह हिक्सियन मांग है कि यू में डिग्री एक का समरूप है।

Comments

आप बुरा नहीं कर रहे हैं। अपने पहले प्रमाण के लिए, ध्यान दें कि आपको लिखना चाहिए $u(tx)=tu(x)\implies tv(p,m)=\max u(tx) \;\;s.t.\;\; p(tx)≤ tm = v(p,tm)$

Answer 1

जिस तरह से आप पता चलता है कि की डिग्री में एक सजातीय है सही है, लेकिन कारण है कि यह है कि, तात्पर्य में डिग्री एक के सजातीय है , नहीं अपने तर्क में बहुत ही सटीक है । उदाहरण के लिए, द्वैत हमें बताता है जहां सिर्फ एक लक्ष्य उपयोगिता स्तर है, लेकिन आपके प्रमाण में नहीं होना चाहिए ।$v(p,m)$$m$$e(p,u)$$u$

$$v(p,e(p,u))=u,$$ $u$$u(x)$

यहाँ आगे बढ़ने के लिए एक संभव तरीका है: चूंकि में डिग्री एक के सजातीय है , यह के रूप में लिखा जा सकता है समानता देता है जो स्पष्ट रूप से यह बताता है कि सजातीय है में एक की डिग्री । आप हिक्सियन मांग की समरूपता साबित करने के लिए एक समान तर्क का उपयोग कर सकते हैं।$v(p,m)$$m$

$$v(p,m)=mv(p,1)=m\tilde v(p).$$ $v(p,e(p,u))=u$ $$e(p,u)=\frac{u}{\tilde v(p)},$$ $e(p,u)$$u$

कहा कि सभी के साथ, मैं आपको सुझाव दूंगा कि आप व्यय विवरण और हिक्सियन मांग की परिभाषाओं का उपयोग करते हुए मूल कथन को सीधे साबित करें। उदाहरण के लिए,

$$\begin{align*} e(p,\lambda u)&= \min p\cdot x ~~\text{ s.t. } u(x)\geq \lambda u\\ &=\lambda\min p\cdot\frac{1}{\lambda}x ~~\text{ s.t. }\frac{1}{\lambda}u(x)\geq u\\ &=\cdots \end{align*}$$

Comments

ठीक है धन्यवाद। मैं इसे हिक्सियन डिमांड के लिए भी करता हूं। कृपया मेरे समाधान के साथ-साथ हिक्सियन मांग की भी जाँच करें। फिर से m = 1 को सामान्य करते हैं। और । चूंकि तो मेरे पास इसलिए, चूंकि ई (पी, यू) यू में एक डिग्री का समरूप है, तो हिक्सियन की मांग यू में भी एक डिग्री की सजातीय है। क्या यह सही है? कृपया इसे फिर से देखें प्रिय @ZiweiWang आपको बहुत बहुत धन्यवाद। :)$x(p,m)=mx(p,1)=m\tilde {x}(p)$$x(p,e(p,u))=h(p,u)$$\frac{h(p,u)}{m\tilde {x}(p)}=e(p,u)$

— ००००

ध्यान दें कि आपने , इसलिए में प्लग किया है (यानी को ।)ज ( पी , यू ) = ~ एक्स ( पी ) ई ( पी , यू ) मीटर ज ( पी , यू $m=e(p,u)$$h(p,u)=\tilde{x}(p)e(p,u)$$m$$h(p,u)$

— ज़ियावी वांग