स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं के निर्माण को समझना

Question

मैंने निम्नलिखित तरीकों से स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं को मॉडलिंग / निर्माण किया है।

संभावना स्थान पर विचार करें और let (औसत दर्जे का) परिवर्तन जिसका उपयोग हम समय के साथ नमूना बिंदु के विकास को मॉडल करने के लिए करते हैं । इसके अलावा, को यादृच्छिक वेक्टर । तब, स्टोकेस्टिक प्रक्रिया का उपयोग सूत्र या के माध्यम से टिप्पणियों के अनुक्रम को मॉडल करने के लिए किया जाता है। $(\Omega, \mathcal F, Pr)$$\mathbb S$$\mathbb S: \Omega \rightarrow \Omega$$\omega$$X$$X: \Omega \rightarrow \mathbb R^n$$\{ X_t: t=0,1,...\}$$X_t(\omega) = X[\mathbb S^t(\omega)]$$X_t = X \circ \mathbb S^t.$

मुझे इस निर्माण में नमूना अंक और परिवर्तन को कैसे समझना चाहिए ? (मैं और कुछ मामलों में झटके के अनुक्रम की तरह हो सकता है?)$\omega \in \Omega$$\mathbb S$$\omega$

अधिक संक्षिप्तता के लिए, मैं इस अंकन में इन दो प्रक्रियाओं को कैसे लिखूंगा?

प्रक्रिया 1: जहां ।

$$X_{t+1} = \rho X_t + \varepsilon_{t+1} \tag{1}$$ $X_0 = 0$

प्रक्रिया 2:

$$X_{t+1} = \varepsilon_{t+1} \tag{2}$$

Answer 1

आपके द्वारा वर्णित यह निर्माण पूरी तरह से सामान्य नहीं है। वास्तव में यह कड़ाई से स्थिर समय श्रृंखला की विशेषता है। आप देखते हैं कि यह पाली-अपरिवर्तनीय है। यह ऑपरेटर मूल रूप से एक शिफ्ट ऑपरेटर है।$S$

तुलना के लिए, यहां सामान्य परिभाषा बताई गई है, चलो असतत समय, प्रक्रियाएं कहते हैं:

परिभाषा एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया एक संभावना स्थान पर Borel औसत दर्जे के नक्शे का एक क्रम है । $\{ X_t \}$$( \Omega, \mathcal{F}, \mu )$

अब आप जो वर्णन कर रहे हैं, उसके लिए आपके पास एक निश्चित Borel औसत दर्जे का मानचित्र । यह अंतर्निहित उपाय है जो अनुसार विकसित हो रहा है । नक्शा एक नया "पुश-फॉरवर्ड माप" (माप-सिद्धांत संबंधी दृष्टांत में) को पर सिर्फ करता है: एक माप द्वारा परिभाषित करें$X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}^n$$S$$S$$\Omega$$\mu_S$

$$A \in \mathcal{F} \stackrel{\mu_S}{\mapsto} Pr(S^{-1}(A)).$$

तो यादृच्छिक वेक्टर है निर्माण के द्वारा। वे पर उसी पुश-फॉरवर्ड माप को प्रेरित करते हैं । प्रत्येक लिए साथ ऐसा करें और आपके पास अपनी समय श्रृंखला है।$X: ( \Omega, \mathcal{F}, \mu_S) \rightarrow \mathbb{R}^n$$X \circ S$$\mathbb{R}^n$$S^t$$t$

जैसा कि आपके प्रश्न के लिए के बारे में , अन्य दिशा के लिए प्रमाण का निरीक्षण करना चाहिए, इसे स्पष्ट करना चाहिए --- अर्थात किसी भी कड़ाई से स्थिर समय श्रृंखला को आवश्यक रूप से कुछ , और ।$\omega$$( \Omega, \mathcal{F}, Pr)$$X$$S$

मूल बिंदु यह है कि, सामान्य दृष्टिकोण से, एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया इसकी संभावित परीक्षाओं के सेट पर एक प्रायिकता उपाय है। यह देखा जाता है, उदाहरण के लिए, ब्राउनियन गति के वीनर का निर्माण; उन्होंने पर एक प्रायिकता मापक का निर्माण किया । तो सामान्य तौर पर, एक एक नमूना पथ है और में सभी संभावित नमूना पथ होते हैं। $C[0, \infty)$$\omega$$\Omega$

उदाहरण के लिए, ऊपर बताई गई दो प्रक्रियाओं को लें। वे सख्ती से स्थिर हैं, अगर हम कहते हैं कि नवाचार गॉसियन हैं। (कोई भी सहप्रसरण स्थिर समय गाऊसी नवाचारों से प्रेरित श्रृंखला सख्ती से स्थिर है।) निर्माण तो लेने के द्वारा शुरू होगा सभी दृश्यों का सेट, होना करने के लिए -algebra उत्पन्न द्वारा नक्शे समन्वय, और उपयुक्त उपाय। सफेद शोर प्रक्रिया (2) के लिए, केवल एक अनंत उत्पाद पर एक उत्पाद उपाय है।$\Omega$$\mathcal{F}$$\sigma$$Pr$$Pr$

संदर्भ इस लक्षण वर्णन / निर्माण को कड़ाई से स्थिर समय श्रृंखला की शिफ्ट द्वारा अर्थमिति के लिए व्हाइट के एसिम्प्टोटिक सिद्धांत में उल्लेख किया गया है ।

Comments

उत्तर और संदर्भ के लिए धन्यवाद। साथ ही, यहाँ धीमे उत्तर के लिए क्षमा करें। यह समझ में आता है। इसके अलावा, सिर्फ उल्लेख करने के लिए, संदर्भ (श्वेत की पुस्तक) के अनुसार यह मुझे लगता है कि यह निर्माण गैर-स्थिर प्रक्रियाओं के लिए अनुमति देता है। डेफ। 3.27 एक ट्रांसफ़ॉर्मेशन को परिभाषित करता है कि अगर वह सभी । इसके बाद, प्रॉप 3.29 कहता है कि अगर को मापना सुरक्षित है, तो प्रक्रिया स्थिर है। $\mathbb S$$Pr(A) = P(\mathbb S^{-1}(A))$$A \in \mathcal F$$\mathbb S$

— जम्बिजारा

@jmbejara हां, अच्छी बात है। यह वास्तव में पूरी तरह से सामान्य है --- का चयन करके विहित पथ अंतरिक्ष (होने के लिए ), एक अनंत उत्पाद --- और परिभाषित पारी होने के लिए, किसी भी समय श्रृंखला कानून में महसूस किया जा सकता ऐसा रूप। $\Omega$$\Pi \mathbb{R}$$S$

— माइकल

Answer 2

यह के मामलों पर विचार करने के लिए संभव है अनंत आयामी अंतरिक्ष, जैसे अनुक्रम के झटके के में एक बिंदु जा रहा है, लेकिन इस तरह व्याख्या अनुत्पादक हो सकता है, के रूप में तो आप कोई सरलीकरण मिल जाएगा जब फ़िल्टर्ड संभावना अंतरिक्ष और केवल पर प्रक्रिया के प्रत्यक्ष विनिर्देश की तुलना में मामलों को जटिल करने के लिए अवांछित अतिरिक्त संस्थाओं का उत्पादन किया।$\omega$

यह दृष्टिकोण परिमित आयामी अंतरिक्ष में बिंदुओं के लिए अनुप्रयोगों के लिए अधिक उपयुक्त है। तब इस दृष्टिकोण से आप सम-विषम मार्कोव प्रक्रिया का निर्माण करेंगे और व्याख्या राज्य के स्थान, इस प्रक्रिया की वर्तमान स्थिति, या कई अंतिम स्थितियों के रूप में की जाएगी। उदाहरणों पर चर्चा होने तक एस की व्याख्या पर विचार स्थगित कर दिया जाएगा।$\omega$

इसके अलावा, मुझे लगता है कि प्रश्न में परिभाषित संभावना स्थान पर यादृच्छिक चर का एक iid अनुक्रम है। फिर दूसरी प्रक्रिया को निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है:$\epsilon_t$

$\omega \in R,$ $S(\omega) = \omega,$ $X(S^t(\omega)) = S^t(\omega).$अपर इंडेक्स यहां ऑपरेटर के कई एप्लिकेशन को दर्शाता है।

पहला उदाहरण पहले एक पर एक विस्तार है:

$\omega \in R^2,$ $S((\omega_1,\omega_2)) = (\rho \cdot \omega_1 + \omega_2,\omega_2),$ $X(S^t(\omega)) = (S^t(\omega))_1.$निचला सूचकांक यहाँ संबंधित वेक्टर के संबंधित घटक को दर्शाता है।

जैसा कि हमने देखा है, ऑपरेशन एस स्वयं ही अस्पष्ट है और यथोचित व्याख्या करने के लिए अलग है। हालांकि, ध्यान देने वाली बात यह है कि यह परिवर्तन को संरक्षित करने के उपाय को परिभाषित करता है और इसके तहत एक छवि लेना उसी माप के साथ सेट का उत्पादन करता है। तो यह कार्य समय में हमारे राज्य स्थान पर माप की गतिशीलता है।

Answer 3

वह सिर्फ को एक नियतात्मक और रूप में बिना सोचे होने के रूप में सोच रहा है। तब हम निरीक्षण करते हैं, जो कि बारे में अधूरी जानकारी के रूप में होता है । और तब हमें पर एक संयुक्त संभाव्यता वितरण को कम करने में मदद करते हैं ।$\mathbb{S}$$\omega$$X(\omega)$$\omega$$\mathbb{S}$$X$$\{X_t\}_{t=0}^\infty$