क्या मार्शालियन डिमांड फंक्शन को देखते हुए उदासीनता घटाना संभव है?

एक दो अच्छे संसार में, एक मार्शेलियन डिमांड इस तरह से काम करेगी D(p,m)कि पी एक अच्छा मूल्य है और आय आय एक उपयोगिता फ़ंक्शन या उदासीनता वक्र फ़ंक्शन का उत्पादन करती है? यदि हां, तो कोई इसे हल करने के बारे में कैसे जाता है?

microeconomics utility consumer-theory

— हावर्ड ब्लैक
स्रोत

हां, कुछ शर्तों के तहत। यह क्लासिक पूर्णांकनीयता समस्या है : विस्तृत चर्चा के लिए, किम बॉर्डर द्वारा कुछ उत्कृष्ट नोट्स देखें ।

कई अन्य तकनीकी स्थितियों की आवश्यकता होती है, लेकिन सबसे अधिक आर्थिक रूप से मजबूत स्थिति यह है कि स्लटस्की मैट्रिक्स हमेशा सममित और नकारात्मक अर्धवृत्ताकार होना चाहिए। ठोस होने के लिए, अगर हम परिभाषित पर वें स्लट्स्की मैट्रिक्स के तत्व होने के लिए $ij$ $(p,m)$ तो हम होना आवश्यक हैसभी के लिए, और किसी भी वेक्टर के लिएहम सभी के लिए होना आवश्यक हैआवश्यकता

σ_{i j} (p, m) = \frac{\partial D_{i} (p, m)}{\partial p_{j}} + D_{j} (p, m) \frac{\partial D_{i} (p, m)}{\partial m}

$\sigma_{ij}(p,m)=\frac{\partial D_i(p,m)}{\partial p_j}+D_j(p,m)\frac{\partial D_i(p,m)}{\partial m}$

σ_{i j} (p, m) = σ_{j i} (p, m)

$\sigma_{ij}(p,m)=\sigma_{ji}(p,m)$

(p, m)

$(p,m)$

v

$v$

(p, m)

$(p,m)$

\sum_{i} \sum_{j} σ_{i j} (p, m) v_{i} v_{j} \leq 0

$\sum_i \sum_j \sigma_{ij}(p,m)v_iv_j \leq 0$ इन स्थितियों का मूल उपभोक्ता सिद्धांत से तुरंत अनुसरण होता है, जो यह दर्शाता है कि यदि मार्शलियन की मांग उपयोगिता फ़ंक्शन के विवश अधिकतमकरण से ली गई है, तो स्लटस्की मैट्रिक्स सममित और नकारात्मक अर्धचालक है। लेकिन एक उपयोगिता फ़ंक्शन का समर्थन करने के लिए इन शर्तों (कुछ अन्य तकनीकी मान्यताओं के साथ संयोजन में) की पर्याप्तता एक अधिक जटिल मामला है, और विवरण प्राप्त करने के लिए मैं बॉर्डर के नोट्स या कुछ अन्य उन्नत माइक्रो स्रोत की सलाह देता हूं।

$i=1,2$

\frac{\partial e (p, u)}{\partial p_{i}} = h_{i} (p, u) = D_{i} (p, e (p, u))

$\frac{\partial e(p,u)}{\partial p_i} = h_i(p,u) = D_i(p,e(p,u))$

D

$D$

e

$e$

(\bar{p}, \bar{m})

$(\bar{p},\bar{m})$

\bar{u}

$\bar{u}$

e (\bar{p}, \bar{u}) = \bar{m}

$e(\bar{p},\bar{u})=\bar{m}$

p_{1}

$p_1$

i = 1

$i=1$

e (p_{1}, {\bar{p}}_{2}, \bar{u})

$e(p_1,\bar{p}_2,\bar{u})$

p_{1}

$p_1$

ज ({पी}_{1}, {\bar{पी}}_{2}, \bar{यू}) = डी ({पी}_{1}, {\bar{पी}}_{2}, इ ({पी}_{1}, {\bar{पी}}_{2}, \bar{यू}))

$h(p_1,\bar{p}_2,\bar{u})=D(p_1,\bar{p}_2,e(p_1,\bar{p}_2,\bar{u}))$

p_{1}

$p_1$

$\bar{u}$ $p_1$ $p_1$

— नाममात्र कठोर
स्रोत