एक प्रत्याशा शब्द के साथ यूलर समीकरण का लॉग-लाइनकरण

Question

लॉग-लीनियराइज़ेशन के साथ मदद के लिए कुछ ऑनलाइन संसाधन उपलब्ध हैं (जैसे, यहाँ या यहाँ )। हालांकि, लॉग-लाइनकरण जहां एक उम्मीद शामिल है थोड़ा मुश्किल है क्योंकि लॉग उम्मीद ऑपरेटर से बस "पास" नहीं कर सकता है। क्या कोई इस उदाहरण में बीजगणित में मदद कर सकता है?

मेरे पास यूलर समीकरण (समीकरण 1) है $$ 1 = E_t \ left [\ बाएँ \ {\ डेल्टा \ बाएँ (\ frac {C_ {t + 1}} {C_t} \ right) ^ {- 1 / \ psi} \ दाएँ \} ^ \ थीटा \ बाएँ \ {\ frac {1} {1 + R_ {m, t + 1}} \ right \} ^ {1 - \ theta} 1 + R_ {i, t + 1} \सही ] $$ जहां $ \ थीटा = (1 - \ गामा) / (1 - 1 / \ psi) $। मैं एक अभिव्यक्ति प्राप्त करने की कोशिश कर रहा हूं जोखिम मुक्त दर और इक्विटी प्रीमियम के लिए एक अभिव्यक्ति। मै यह कैसे कर सकता हूँ?

यह ऊपर दिए गए दूसरे लिंक से लगता है कि मुझे इसकी जगह शुरू करना चाहिए इस तरह की ब्याज की चर $ C_t = c e ^ {\ tilde C_t} $। फिर दिए गए चरणों का पालन करें, ऐसा लगता है कि मुझे (समीकरण 2) पर पहुंचना चाहिए

\ Begin {} संरेखित 1 = E_t \ left [ \ बाएँ \ {\ डेल्टा \ बायाँ (\ frac {\ tilde C_ {t + 1} + 1} {\ tilde C_t + 1} \ right) ^ {- 1 / \ psi} \ दाएँ \} ^ \ थीटा {} \ बायाँ {\ _ frac {1} {(1 + R_m) [\ widetilde {(1 + R_ {m, t + 1})} + 1]} \ right \} ^ {1 - \ theta} \ _ \ _ \ _ \ \ सी-डॉट [(1 + आर_आई) [\ विधुतक {(1 + आर_ {i, t + 1})}} # 1] \सही ]। \ अंत {align}

लेकिन मैं यहां से कहां जाऊं?

संपादित करें:

1. मैंने अपने पास मौजूद नोटों से सीधे समीकरण 1 की नकल की है। शायद यह मामला है कि दाईं ओर का शब्द, $ 1 + R_ {i, t + 1} $, कोष्ठक में होना चाहिए, $ (1 + R_ {i, t + 1}) $। लॉग-लीनियराइजेशन के अपने शुरुआती प्रयास में मैंने इसे इस तरह से व्यवहार किया है।

2. समीकरण 2 में, मैंने उस निर्देश के चरणों का पालन किया है जो शुरुआत में दूसरे लिंक में पाया जा सकता है। तो, समय सब्सक्रिप्शन के बिना $ R_i $ और $ R_m $ स्थिर अवस्था में ये मूल्य हैं।

3. $ R_m $ बाजार पोर्टफोलियो पर प्रतिफल है और $ R_i $ परिसंपत्ति $ i $ पर प्रतिफल है।

संपादित करें 2:

उपयोगी टिप्पणियों के लिए धन्यवाद। इसलिए, अब तक जो मैंने इकट्ठा किया है, उससे मुझे कुछ ऐसा मिलना चाहिए:

\ Begin {} संरेखित 1 & amp; = E_t \बाएं [   \ delta ^ \ theta (1 - \ frac \ theta \ psi (\ tilde C_ {t + 1} - \ tilde C_t)   (1 + R_m) ^ {\ थीटा - 1} (\ थीटा - 1)   \बाएं (     1 + \ tilde R_ {m, t} \ frac {R_m} {1 + R_m}   \ठीक ठीक ।\\   & Amp; \बाएं । \, \ cdot   (1 + R_i)   \बाएं (     (1 + \ _ tilde R_ {i, t} \ frac {R_i} {1 + R_i}}   \सही ) \सही ] \ अंत {align}

फिर इसका अर्थ यह होगा कि जोखिम-मुक्त दर निम्नानुसार पाई गई है:

\ Begin {} संरेखित 1 & amp; = E_t \बाएं [   \ delta ^ \ theta (1 - \ frac \ theta \ psi (\ tilde C_ {t + 1} - \ tilde C_t)   (1 + R_m) ^ {\ थीटा - 1} (\ थीटा - 1)     \बाएं (     1 + \ tilde R_ {m, t} \ frac {R_m} {1 + R_m}     \सही )   (1 + R_f) \सही ] \\ 1 & amp; = E_t [m_ {t + 1} (1 + R_f)] \\ \ frac {1} {E_t [m_ {t + 1}]} & amp; = 1 + R_f \ अंत {align}

क्या ये सही है? और अब, इस सवाल को खत्म करने के लिए, मुझे कैसे पता चलेगा इक्विटी प्रीमियम?

Comments

रन पर Im, लेकिन क्या आपके पास Gali की पुस्तक तक पहुंच है? मुझे लगता है कि वह इसे बड़े पैमाने पर करता है, iirc

— FooBar

नहीं, क्या यह उनकी मौद्रिक नीति की किताब है जिसमें यह होगा? "मौद्रिक नीति, मुद्रास्फीति, और व्यापार चक्र?"

— ethan1410

आपके द्वारा दी गई अंतिम समानता (जोखिम से मुक्त दर sdf की अपेक्षा के बराबर है) हमेशा सही होती है, इसलिए यह एक अच्छा संकेत है। इक्विटी प्रीमियम को खोजने के लिए, $ E_t [m_ {t + 1} (1 + R_m)] $, बाजार के लिए एक दावे का मूल्य, फिर जोखिम मुक्त रिटर्न की कीमत को घटाएं: 1।

— jayk

Answer 1

आइए उस पल के लिए नजरअंदाज करें जब अपेक्षित मूल्य का अस्तित्व हो। यदि यह एक नियतात्मक सेट-अप था, तो लॉग लेने के माध्यम से रैखिककरण सीधा होगा, और ओपी द्वारा दिए गए लिंक के ट्रिक्स के बिना। हमारे द्वारा प्राप्त पहले समीकरण के दोनों किनारों पर प्राकृतिक लॉग लेना:

$ $ ० = \ (1 + R_ {m, t + 1}) + \ ln (1 + R_ {i, t + 1}) \ टैग {1} $ $

सेट

$ $ \ _ c_ {t + 1} = \ frac {C_ {t + 1} -C_t} {C_t} \ Rightarrow \ frac {C_ {t + 1}} {C_t} = 1 \ _ c_ {t + 1} \ टैग {2} $ $

यह भी ध्यान दें कि यह $ \ ln (1 + a) \ अनुमानित $ $ कम से कम $ $ लिखने के लिए मानक सन्निकटन है। आमतौर पर यह विकास दर और वित्तीय दरों का मामला है, इसलिए हम प्राप्त करते हैं

$ $ ० = \ 1} \ टैग {3} $ $

जो एक स्पष्ट गतिशील संबंध है जो मौजूद तीन चरों को जोड़ता है। यदि मॉडल में, स्थिर-राज्य को निरंतर खपत और निरंतर रिटर्न की विशेषता है, तो उस पर हमारे पास $ \ hat c_ {t + 1} = 0 $ होगा और इसलिए स्थिर-राज्य संबंध होगा

$ $ R_ {i} = - \ theta \ ln \ delta + (1- \ theta) R_ {m} \ टैग {4} $ $

लेकिन हमने अपेक्षित मूल्य की अनदेखी करते हुए ये सब किया। हमारी अभिव्यक्ति $ E_t \ left [f \ left (C_t, C_ {t + 1}, R_ {m, t + 1}, R_ {i, t + 1} \ right) \ right] $ है, न कि केवल $ f \ बाएँ (C_t, C_ {t + 1}, R_ {m, t + 1}, R_ {i, t + 1} \ right) $। $ F () $ का पहला क्रम टेलर विस्तार दर्ज करें। हमें विस्तार के केंद्र की आवश्यकता है। केवल $ \ mathbf z_ {t + 1} $ द्वारा चार चर का प्रतिनिधित्व करें (यह चोट नहीं करता है कि $ t $ -index वाला एक चर $ \ mathbf z_ {t + 1} $ में मौजूद है)। हम $ E_t (\ mathbf z_ {t + 1}) $ के आसपास फ़ंक्शन का विस्तार करने के लिए चुनते हैं। इसलिए

$ $ f \ left (\ mathbf z_ {t + 1} \ right) \ लगभग f \ left (E_t [\ mathbf z_ {t + 1}] \ right) + \ nabla f \ left (Et [\ mathbf z_ { t + 1}] \ right) \ cdot \ big (\ mathbf z_ {t + 1} -E_t [\ mathbf z_ {t + 1}] \ big) \ tag {5} $ $

फिर

$ $ E_t \ left [f \ left (\ mathbf z_ {t + 1} \ right) \ right] \ लगभग f \ left (E_t [\ mathbf z_ {t + 1}] \ right) का टैग {6} $ $

स्पष्ट रूप से यह एक सन्निकटन है, अर्थात इसमें त्रुटि है, भले ही केवल जेन्सन की असमानता के कारण। लेकिन यह मानक अभ्यास है। तब हम देखते हैं कि सभी पिछले काम हमने निर्धारक संस्करण पर किए थे, स्टोकेस्टिक संस्करण में चर के स्थान पर सशर्त अपेक्षित मानों को सम्मिलित किया जा सकता है। तो इक। $ (3) $ लिखा है

$ $ ० = \ E_t [R_ {i, t + 1}] \ टैग {7} $ $

परंतु स्थिर-राज्य मान कहाँ हैं ? एक स्थिर संदर्भ में स्थिर राज्य मान थोड़ा पेचीदा है, क्योंकि हम तर्क देते हैं कि हमारे चर (जिन्हें अब यादृच्छिक चर माना जाता है) स्थिरांक ? या स्टोचस्टिक संदर्भ में स्थिर-स्थिति को परिभाषित करने का एक और तरीका है?

एक से अधिक तरीके हैं। उनमें से एक, "सही दूरदर्शिता स्थिर स्थिति" है, जहां हम पूरी तरह से जरूरी नहीं कि निरंतर मूल्य का अनुमान लगाते हैं (यह "उम्मीदों के अनुसार संतुलन" की अवधारणा है)। यह उदाहरण के लिए प्रयोग किया जाता है जोर्डी गली की किताब एक टिप्पणी में उल्लेख किया है। "परिपूर्ण-दूरदर्शिता स्थिर राज्य" द्वारा परिभाषित किया गया है $ $ E_t (x_ {t + 1}) = x_ {t + 1} \ टैग {8} $ $

इस अवधारणा के तहत, ईक। $ (7) $ इक हो जाता है। $ (3) $ जो अब अर्थव्यवस्था का "संपूर्ण-दूरदर्शिता वाला स्थिर राज्य" है।

यदि हम एक मजबूत स्थिति चाहते हैं, यह कहते हुए कि चर स्थिर-स्थिति में स्थिर हो जाते हैं, तो यह तर्क करना भी उचित है कि, फिर से, उनका पूर्वानुमान अंततः सही होगा। उस मामले में, स्टोकेस्टिक अर्थव्यवस्था की स्थिर-स्थिति निर्धारक अर्थव्यवस्था, यानी ईक के समान है। $ (4) $।

Comments

@jmbejara यह पूरी तरह से है सही बात । यह किसी फ़ंक्शन के छंटे हुए पहले क्रम टेलर सन्निकटन का अपेक्षित मान है। क्या आप इससे असहमत हैं? चाहे आप इसे एक मानते हैं इनकी सन्निकटन, एक और मामला है, और आपको गुणवत्ता का अनुमान लगाने के लिए किन मानदंडों का उपयोग करना है और सन्निकटन की पर्याप्तता है।

— Alecos Papadopoulos

ठीक। तुम्हारी बात तथ्य पूर्ण है। लेकिन, जैसा आप कहते हैं, मुझे यकीन नहीं है कि स्थिति में सबसे अच्छी बात क्या है। लेकिन निश्चित रूप से इसके बारे में जाने के विभिन्न तरीके प्रतीत होते हैं। पूर्वाग्रह के बारे में निश्चित रूप से कुछ कहा जा सकता है, लेकिन आप एक अच्छी बात लाते हैं। जैसे ही वह मुझे जाने देगा मैं वोट को पूर्ववत कर दूंगा।

— jmbejara

Answer 2

सही अनुमान $ f (x) \ लगभग E [f (x)] + E [f '(x)] (x - E [x]) $ है। यह निष्पक्ष है, जबकि $ f (x) \ लगभग E [f (x)] + f '(E [x]) (x - E [x]) $ नहीं है। यह देखने के लिए, प्रोजेक्ट $ f (x) - \ overline {f (x)} $ x - \ bar x $ पर $, जहां "बार" उम्मीद ऑपरेटर का प्रतिनिधित्व करता है। फिर, अनुमानित $$ \ frak {\ text {Cov} (f (x), x)} {\ text {Var (x)}} \ लगभग E [f '(x)]। $$ यह सन्निकटन सटीक है जब $ x $ सामान्य रूप से वितरित किया जाता है (स्टीन के लेम्मा द्वारा)।

संपादित करें:

स्पष्टीकरण के लिए, यह देखें $ f (x) - \ overline {f (x)} $ $ का प्रक्षेपण - \ bar x $ हमें $ f (x) - \ overline {f (x)} = \ beta (x - \ bar) x) + \ epsilon $, जहां $ E [\ epsilon] = E [\ epsilon x] = ० $ और $ \ Beta = \ frac {\ text {Cov} (f (x), x)} {\ text {Var (x)}} $। यदि हम स्टीन के लेम्मा का उपयोग $ \ बीटा $ के रूप में ऊपर वर्णित के रूप में करते हैं, तो हमें छोड़ दिया जाता है $$ f (x) \ लगभग E [f (x)] + E [f '(x)] (x - \ bar x) + \ epsilon, $$ जो निष्पक्ष है, $$ ई [\ epsilon] = ०। $$ दूसरी ओर, $$ E [f (E [x]) + f '(E [X]) (x - E [x])] = f (E [x]) \ neq E [f (x)]। $$

Comments

यदि आप अपने उत्तर में सन्निकटन $ f (x) \ लगभग E [f (x)] + E [f '(x)] (x - E [x]) $ की विस्तृत व्युत्पत्ति शामिल कर सकते हैं तो यह उपयोगी होगा।

— Alecos Papadopoulos

अपना उत्तर बढ़ाने के लिए धन्यवाद। प्रश्न के करीब रहने के लिए, ओपी के पास $ f (x) $ का एक फ़ंक्शन है और वह इसके अपेक्षित मूल्य में हेरफेर करना चाहता है। इसलिए उसे चाहिए कि वह आपके द्वारा $ E [f (x)] $ के लिए लिखी गई अभिव्यक्ति को हल करे और $ $ E [f (x)] \ लगभग f (x) - \ frac {\ text {Cov} (f) प्राप्त करे , x)} {\ text {Var} (x)} \ cdot [xE (x)]? $ $

— Alecos Papadopoulos

Answer 3

आपकी समस्या आवर्ती (एपस्टीन-ज़िन) वरीयताओं के साथ परिसंपत्ति-मूल्य निर्धारण समीकरण की तरह लगती है। जब परिसंपत्ति की कीमतों में दिलचस्पी होती है, तो किसी को सामान्य "मैक्रोइकॉनॉमिक" रैखिककरण से सावधान रहना होगा। इस तरह के एक अनुमान निश्चित-समतुल्य है, जिसका अर्थ है कि रैखिक समाधान के गुणांक झटके के आकार पर निर्भर नहीं करते हैं। इसके अलावा, रैखिक समाधान में सभी चर अपने निर्धारक स्थिर राज्यों के आसपास उतार-चढ़ाव करेंगे। नतीजतन, जोखिम प्रीमियर शून्य है, जो इस तरह की बात को खारिज करता है।

एक समाधान उच्च-क्रम गड़बड़ी तरीकों का उपयोग करना है (लगातार जोखिम प्रीमियर प्राप्त करने के लिए 2 क्रम, समय-अलग-अलगia के लिए 3 क्रम)। यह मौजूदा सॉफ्टवेयर (उदाहरण के लिए डायनेरे) के साथ करना आसान है, यदि आप मॉडल को संख्यात्मक रूप से वैसे भी हल करना चाहते हैं (जिस स्थिति में मैन्युअल रूप से रैखिक होने की कोई आवश्यकता नहीं है)। यदि इसके बजाय विश्लेषणात्मक (अनुमानित) समाधान को प्राथमिकता दी जाती है, तो सामान्य तरीका मात्राओं की गतिशीलता को घटाना है (जैसे कि खपत वृद्धि), फिर एयलर समीकरण से सीधे संपत्ति की कीमतें प्राप्त करें, लॉगऑनर्मिलिटी धारणा का उपयोग करके अपेक्षाओं की गणना करें, जैसे कि बंसल & amp; यारोन (2004) ।

उदाहरण के लिए, यदि लोअरकेस वैरिएबल लॉग हैं, तो सामान्य यूलर समीकरण को फिर से लिखा जा सकता है

$$ 1 = E_t [\ exp (m_ {t + 1} + r_ {t + 1}]] $$

यदि $ m_ {t + 1}, r_ {t + 1} $ हैं (सशर्त रूप से) संयुक्त रूप से सामान्य हैं, तो उपरोक्त निहित हैं

$$ 0 = E_t [m_ {t + 1}] + E_t [r_ {t + 1}] + \ frac {1} {2} \ left \ {Var_t [m_ {t + 1}] + Var_t / r_ {t + 1}] + 2 Cov_t [m_ {t + 1}, r_ {t + 1}] \ right \} \ टैग {1} $$

जोखिम मुक्त दर $ \ exp (-r ^ f_t) = E_t [\ exp (m_ {t + 1})] $ या

$$ r ^ f_t = -E_t [m_ {t + 1}] - \ frac {1} {2} Var_t [m_ {t + 1}] $$

और इस प्रकार हमारे पास होना चाहिए

$$ E_t [r_ {t + 1}] - r ^ f_t + \ frac {1} {2} Var_t [r_ {t + 1}] = Cov_t [m_ {t + 1}, r_ / t + 1}] $$

वास्तव में संपत्ति की कीमतों की गणना करने के लिए, एक तब होगा

• लॉग-एसडीएफ को कुछ राज्य चर और झटके के रैखिक कार्य के रूप में व्यक्त करते हैं (जैसे सीआरआरए मामले में लॉग खपत वृद्धि)

• लॉग डिविडेंड-प्राइस अनुपात (कैंपबेल-शिलर सन्निकटन) के संदर्भ में लीनियराइज करें, विकल्प (1)।

• एक्सप्रेस चर / पी अनुपात राज्य के चर में रैखिक के रूप में व्यक्त करते हैं, फिर इसके लिए एक समाधान प्राप्त करने के लिए अनिर्धारित गुणांक की विधि का उपयोग करते हैं जो संतुष्ट करता है (1)।

व्यवहार में यह थोड़ा अधिक जटिल है (विशेष रूप से ईज़ी वरीयताओं के साथ, जब किसी को पहले बाजार रिटर्न को प्राप्त करने के लिए दृष्टिकोण का उपयोग करना पड़ता है जो एसडीएफ में प्रवेश करता है, फिर दूसरी बार दूसरी रिटर्न के लिए), लेकिन अधिक विवरण ई.जी. लिंक बंसल में & amp; यारों का कागज।

Comments

ठीक ठीक। ऐसा लगता है कि इस धागे में भ्रम इस तथ्य से आया है कि परिसंपत्ति मूल्य निर्धारण के लिए एक यूलर समीकरण के पहले क्रम में, कोई जोखिम प्रीमियम नहीं है। (एसडीएफ और वापसी के बीच सहसंयोजक, ज़ाहिर है, दूसरे क्रम में है।) इसे साफ करने के लिए धन्यवाद।

— nominally rigid