समय की लागत और सेंट पीटर्सबर्ग विरोधाभास

Question

सेंट पीटर्सबर्ग विरोधाभास में, हम इस समस्या के साथ समाप्त होते हैं कि एक तर्कसंगत एजेंट किसी भी दांव के लिए खेल खेलने के लिए तैयार होना चाहिए, अगर हम अपेक्षित आय या अपेक्षित आय की उपयोगिता को देखते हैं। इसके लिए मानक "समाधान" इसके बजाय आय की अपेक्षित उपयोगिता को देखना है, जहां आय की सीमांत उपयोगिता कम हो रही है।

सहज रूप से, घटती सीमांत उपयोगिता (उदाहरण के लिए, जहां उपयोगिता लघुगणक है) आय का अर्थ है, क्योंकि कोई यह तर्क दे सकता है कि आय की उपयोगिता क्रय शक्ति से आती है, और मानक उदासीनता घटता उत्तल है।

लेकिन मैंने देखा है कि (एक सांख्यिकी विभाग में) लोग बताते हैं कि खेल खेलने के लिए मौद्रिक दांव के अतिरिक्त समय भी लगता है। इससे संभावित अन्य ट्रेड-ऑफ का पता चलता है जो निर्णय लेने को प्रभावित कर सकता है, जैसे कि यह तथ्य कि यह समय अधिक सुखद खोज पर खर्च किया जा सकता है, या काम करने और पैसा बनाने में हो सकता है, भले ही घटती सीमांत उपयोगिता अभी भी लोगों के लिए सबसे ठोस स्पष्टीकरण हो। मेरे साथ व्यवहार।

खिलाड़ी के दांव को सीमित करने के संदर्भ में सेंट पीटर्सबर्ग समस्या में फैली हुई समय-लागतें कैसे हो सकती हैं, और क्या साहित्य इस का एक अच्छा कवरेज प्रदान कर सकता है?

Answer 1

विकिपीडिया से विरोधाभास के संस्करण पर विचार करें :

एक कैसीनो एकल खिलाड़ी के लिए संयोग का एक खेल प्रदान करता है जिसमें प्रत्येक चरण में एक उचित सिक्का उछाला जाता है। पॉट 2 डॉलर से शुरू होता है और हर बार सिर दिखाई देने पर दोगुना हो जाता है। पहली बार जब एक पूंछ दिखाई देती है, तो खेल समाप्त होता है और खिलाड़ी जो कुछ भी बर्तन में होता है उसे जीतता है। इस प्रकार खिलाड़ी 2 डॉलर जीतता है अगर एक पूंछ पहली टॉस पर दिखाई देती है, 4 डॉलर अगर एक सिर पहली टॉस पर दिखाई देती है और दूसरी पर एक पूंछ, 8 डॉलर अगर एक सिर पहले दो टॉस और तीसरे पर एक पूंछ दिखाई देती है, 16 डॉलर अगर एक सिर पहले तीन tosses और चौथे पर एक पूंछ, और इतने पर दिखाई देता है। संक्षेप में, खिलाड़ी 2k डॉलर जीतता है, जहां k टॉस की संख्या के बराबर होता है। खेल में प्रवेश करने के लिए कैसीनो का भुगतान करने के लिए उचित मूल्य क्या होगा?

$c$

$$-c+\sum_{t=1}^\infty \left[\frac{1}{2^t}\left(2^t-c\right)\right]=\sum_{t=1}^\infty \frac{1}{2^t}2^t-\sum_{t=0}^\infty \frac{c}{2^t}=-2c+1+1+1+\ldots=\infty$$

इस प्रकार, मूल विरोधाभास की तरह, लॉटरी का मूल्य अनंत है।

एक विकल्प यह माना जा सकता है कि खर्च किए गए समय की सीमांत लागत स्थिर नहीं है (जैसे यह बढ़ रहा है)। हालांकि, यह देखना मुश्किल है कि समय की उपयोगिता का कुछ विचार किए बिना समय की बढ़ती लागत को कैसे उचित ठहराया जाएगा (लेकिन इस अभ्यास का पूरा उद्देश्य एक उपयोगिता समारोह को लागू करने से दूर होना है)।

दो समाधान जो संबंधित हैं (इस अर्थ में कि वे एक समय आयाम शामिल हैं) और जो अधिक आकर्षक हो सकते हैं वे हैं:

$\delta<1$

$$\sum_{t=1}^\infty\delta^{t-1}\frac{1}{2^t}2^t=\frac{1}{1-\delta}.$$ $\delta<1$$\delta$

$\lambda$

$$\sum_{t=1}^\infty\lambda^{t-1}\frac{1}{2^t}2^t=\frac{1}{1-\lambda}.$$