उपयोगिता फ़ंक्शन का अस्तित्व साबित करना

Question

जेहल और रेनी द्वारा उन्नत सूक्ष्मअर्थशास्त्रीय सिद्धांत में प्रमेय का एक प्रमाण है जो उपयोगिता समारोह के अस्तित्व को बताता है।

उपयोगिता फ़ंक्शन $ u (\ mathbf {x}) $ के अस्तित्व को साबित करने के लिए, जो कि बाइनरी रिलेशन $ $ $ $ $ $ का है, अगर यह पूर्ण, सकर्मक, निरंतर और सख्ती से मोनोटोनिक है, तो इसे मैपिंग पर विचार करने का सुझाव दिया जाता है।

$ u: \ mathbb {R _ + ^ n} \ to \ mathbb {R} $ ऐसे कि $ u (\ mathbf {x}) e \ sim \ mathbf {x} $ संतुष्ट हों, जहाँ $ \ mathbb {x} $ एक बंडल है, $ u (\ mathbf {x}) $ कुछ संख्या है और $ \ mathbf {e} $ एक बंडल है जिसमें हर अच्छे में से एक है।

इसलिए प्रथम हमें यह दिखाने की आवश्यकता है कि हमेशा ऐसी संख्या $ u (\ mathbf {x}) $ मौजूद है। ऐसा करने के लिए दो सेटों पर विचार करें:

$ A \ equiv \ {t \ geq 0 \ mid t \ mathbf {e} \ succeq \ mathbf {x} \} $

$ B \ equiv \ {t \ geq 0 \ mid t \ mathbf {e} \ preceq \ mathbf {x} \} $

अगर $ t ^ * \ A A cap B $ में है, तो $ t ^ * \ mathbf {e} \ sim \ mathbf {x} $ है, इसलिए हमें यह दिखाने की जरूरत है कि $ A \ cap B $ nonempty है।

$ \ Succeq $ की निरंतरता का अर्थ है कि A और B दोनों $ \ mathbb {R _ +} $ में बंद हैं। सख्त नीरसता से, $ t \ A में $ t का अर्थ '$ A' होता है, $ $ \ forall $ $ t '\ geq t $। तो $ A = [\ _ {t}, \ infty) $ को रेखांकित करें। इसी तरह $ B = [0, \ overline {t}] $

किसी भी $ t \ geq 0 $ के लिए, $ \ succeq $ की पूर्णता का अर्थ है कि $ t \ mathbf {e} \ succeq \ mathbf {x} $ या $ t \ mathbf {e} \ prebq \ mathbf {x} $ यानी, A $ कप B $ में $ t \ _

$ \ mathbb {R_ +} = A \ _ कप B = [0, \ overline {t}] \ cup [\ underline {t}, \ infty) $।

तो $ A \ cap B $ के लिए गैर-खाली होना चाहिए, यह $ \ underline {t} \ leq \ overline {t} $ होना चाहिए।

लेकिन क्या हमेशा ऐसा ही होता है? मैं यह नहीं देख सकता कि अंतिम असमानता हमेशा क्यों होनी चाहिए।

Comments

मुझे लगता है कि आपने इसे बहुत समाप्त कर दिया। यदि $ \ underline {t} & gt; \ overline {t} $, तो $ A \ cup B $ में (nonempty) अंतराल $ (\ overline {t}, \ underline {t}) $ में कोई संख्या नहीं होती है। लेकिन यह इस तथ्य का खंडन करता है कि आपने पहले ही $ A = कप B = \ mathbb {R} _ + $ दिखाया था। इसलिए हमारे पास $ \ underline {t} \ leq \ overline {t} $ होना चाहिए।

— usul

बस एक और अनुस्मारक, यह उपयोगिता फ़ंक्शन के एकमात्र स्वयंसिद्ध से दूर है। यू पूर्ण।

— Dave Harris

Answer 1

W इसे बिना किसी कतार से बाहर निकालने के लिए:

वरीयता संबंध की पूर्णता संपत्ति, इसका तात्पर्य है सभी गैर-नकारात्मक के लिए ई $ टी $ हम वरीयता संबंध बनाने और घोषित करने में सक्षम होंगे। इसलिये

$ $ A \ cup B = \ mathbb {R _ +} $ $

एकरसता से हमारे पास $ B = [0, \ overline {t}], \; \; A = [\ _ {t}, \ infty) $ को रेखांकित करें।

विज्ञापन बेतुका, मान लें कि $ \ overline {t} & lt; \ रेखांकन {t} $। फिर एक खुला अंतराल $ (\ overline {t}, \ underline {t}) $ मौजूद है जो $ A $ और $ B $ के संघ से संबंधित नहीं है। लेकिन फिर हम $ A \ कप B \ neq \ mathbb {R _ +} $ पर पहुंचते हैं जो पूर्णता संपत्ति के निहितार्थों का खंडन करता है।

तो हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $ \ overline {t} \ geq \ underline {t} $, जिसका तात्पर्य है कि प्रतिच्छेदन $ A \ cap B $ गैर-रिक्त है (भले ही इसमें एक भी तत्व हो, जब $ \ _ } = \ underline {t} $)।