LEN- मॉडल समकक्षता

Question

प्रारंभिक स्थिति अधूरी जानकारी (नैतिक खतरा) और निम्नलिखित गुणों के साथ एक प्रमुख-एजेंट-मॉडल है:

• एजेंट उपयोगिता: $u(z)=-e^{(-r_az)}$
• मुख्य उपयोगिता: $B(z)=-e^{(-r_pz)}$
• प्रयास का स्तर $e\in \Bbb R$
• परिणाम $x\in \Bbb R, x\sim N(\mu(e), \sigma), \mu'(e)>0, \mu''(e)\le0$
• अनुबंध: ,$w(x)=a+bx$

जहां और क्रमशः एजेंट और प्रिंसिपल के लिए पूर्ण जोखिम- का एरो-प्रैट माप है।$r_A$$r_P$

मैं एजेंट के लिए प्रिंसिपल के लिए इष्टतम अनुबंध की तलाश कर रहा हूं जब एजेंट का प्रयास दिखाई नहीं देता है। प्रिंसिपल की उपयोगिता निम्नानुसार लिखी जा सकती है:

$$U^P(e,a,b)=\int_{-\infty}^\infty-e^{(-r_P((1-b)x-a))}f(x\mid e) \, dx$$

मैं यह दिखाना चाहता हूं कि निम्नलिखित समानता रखती है, जिसका अर्थ है कि प्रिंसिपल की उपयोगिता का अधिकतमकरण निम्नलिखित समानता के आरएचएस के रूप में लिखा जा सकता है:

$$\max_{\rm e,a,b}\int_{-\infty}^\infty-e^{(-r_P((1-b)x-a))}f(x\mid e) \, dx \Leftrightarrow \max_{\rm e,a,b}(1-b)\mu(e)-a-\frac{r_P}2(1-b)^2\sigma^2$$

जहाँ f (x। e) = \ frac {1} {\ _ sigma \ sqrt {2 \ pi}} e ^ {(- \ frac {1} 2 (\ frac {x- \ mu (e)) / सिग्मा) ^ 2)} अपेक्षित मान \ mu (e) और विचरण \ sigma> 0 के साथ $f(x|e)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{(-\frac{1}2(\frac{x-\mu(e)}\sigma)^2)}$एक सामान्य यादृच्छिक चर x \ sim N (\ mu (e), \ sigma) का घनत्व कार्य है ।$x\sim N(\mu(e),\sigma)$$\mu(e)$$\sigma>0$

मैंने एलएचएस में एफ (एक्स | ई) के स्पष्ट रूप का उपयोग करने की कोशिश की $f(x|e)$, इसे थोड़ा हेरफेर किया और फिर इसे पूरा किया लेकिन समानता नहीं मिल सकी।

Answer 1

मुख्य बिंदु यह है कि एक निश्चित स्तर पर भुगतान सशर्त से प्रिंसिपल की अपेक्षित उपयोगिता रूप में लिखी जा सकती है$z$$e$

$$\text{E}[{z}|e] - \frac{r_p}{2}\text{Var}(z|e).$$

दूसरे शब्दों में, चूंकि धन आम तौर पर वितरित किया जाता है, घातीय उपयोगिता का एक सरल `माध्य-विचरण 'प्रतिनिधित्व है। एक व्युत्पत्ति के लिए, यहाँ देखें ।

मैं इसे लेता हूं कि प्रिंसिपल का भुगतान बराबर होता । यह तब (सशर्त) माध्य और विचरण की गणना करने के लिए सीधा है :$z$$x - w(x) = (1 - b)x - a$$z$

$$\text{E}[z|e] = (1 - b)\text{E}[x|e] - \text{E}[a] = (1 - b)\mu(e) - a,$$

$$\text{Var}[z|e] = (1 - b)^2 \text{Var}(x|e) - \text{Var}(a)= (1 - b)^2\sigma^2.$$

यह निम्नानुसार है कि प्रिंसिपल की अपेक्षित उपयोगिता को लिखा जा सकता है

$$(1 - b)\mu(e) - a - \frac{r_p}{2}(1 - b)^2\sigma^2.$$