जुआ उद्योग में लाभ के अधिकतमकरण के लिए पहला आदेश शर्त

मैं जुआ उद्योग में इष्टतम भुगतान प्रतिशत के मॉडल पर काम कर रहा हूं।

क्योंकि $ 1 टिकट का नाममात्र मूल्य हमेशा $ 1 होता है, हम एक प्रभावी मूल्य रणनीति का उपयोग करते हैं जहां जीता पुरस्कारों में Q = $ 1 है। यदि कोई गेम 50% का भुगतान करता है, तो प्रभावी मूल्य $ 2 है, क्योंकि पुरस्कार में एक अपेक्षित $ 1 जीतने के लिए खर्च करने की आवश्यकता होगी । बहुत आसान है, है ना?

ठीक है, मैं कुछ शोध में इस फुटनोट में भाग गया, और यह पता नहीं लगा सका कि वे पहले समीकरण से लाभ अधिकतमकरण के लिए पहले आदेश की स्थिति में कैसे आए:

"चलो मात्रा इकाइयों के एक समारोह के रूप में परिचालन लागत का प्रतिनिधित्व करते हैं, जहां एक मात्रा इकाई को पुरस्कार के अपेक्षित मूल्य में एक डॉलर के रूप में परिभाषित किया गया है। $C(Q)$

लॉटरी एजेंसी का शुद्ध लाभ इसके द्वारा दिया जाता है

N = P Q - Q - C (Q)

$N = PQ - Q - C(Q)$

जहां एक मात्रा इकाई के लिए मूल्य वसूला जाता है। $P$

लाभ अधिकतमकरण के लिए पहली-ऑर्डर स्थिति लिखी जा सकती है

- E_{P Q} = P (1 - C^{'}) / [P (1 - C^{'}) - 1]

$-E_{PQ} = P(1 - C')/[P(1 -C')- 1]$

यदि सीमांत परिचालन लागत बिक्री का प्रतिशत है और भुगतान दर प्रतिशत है, तो हमारे पास और , जिसका अर्थ है कि अधिकतम लाभ पर मांग की कीमत लोच । $6$ $50$ $P = 2$ $C' = .12$ $-2.3$

मुनाफे को बढ़ाने के लिए भुगतान दर में वृद्धि के लिए, को निरपेक्ष मूल्य में से अधिक होना चाहिए । " $E_{PQ}$ $2.3$

- [उद्धरण] क्लॉटफेल्टर, चार्ल्स टी और फिलिप जे कुक। "राज्य लॉटरी के अर्थशास्त्र पर।" आर्थिक परिप्रेक्ष्य की पत्रिका: 105-19।

FOC समीकरण में, मांग का प्रभावी मूल्य लोच है। यह सामान्य रूप से पहले समीकरण में संबंध में के व्युत्पन्न लेने से मिलेगा । $-E_{PQ}$ $P$ $Q$

जहां उन्होंने किया, वहां उनका अंत कैसे हुआ? मुझे कुछ याद आ रहा है।

मुझे यह समझने में परेशानी हो रही है कि विशेष रूप से फर्स्ट ऑर्डर की स्थिति कैसे पहुंची- क्या यह नेट रेवेन्यू समीकरण पर कुछ व्युत्पन्न प्रक्रिया का परिणाम था, या यदि यह केवल एक बाहरी स्थिति है।

धन्यवाद!

— datahappy
स्रोत

वाह! MathJax काम करता है :-)

— लेटरलफ्रैक्टल

प्रश्न में अभिव्यक्ति संदर्भित लेख के फुटनोट में है। कागज को पढ़ते हुए, हम देखते हैं कि यहां निर्णय चर "भुगतान दर" है, जो का पारस्परिक है । तो समतुल्य रूप में, हम के संबंध में अधिकतम समस्या को हल कर सकते हैं (और wrt नहीं )। अधिक से अधिक, "मांग की कीमत लोच" में संबंध में के व्युत्पन्न शामिल हैं , और आसपास के अन्य तरीके नहीं: $11$ $P$ $P$ $Q$ $Q$ $P$

E_{P Q} = \frac{d Q / d P}{Q} P

$E_{PQ} = \frac {dQ/dP}{Q}P$

और हम इसे नकारात्मक होने की उम्मीद करते हैं (उच्च कीमत का अर्थ है कम भुगतान दर, जिससे यहां मात्रा माप की मांग कम हो सकती है, अर्थात कम "पुरस्कार की मांग")।

हम अधिकतमकरण समस्या को रूप में लिख सकते हैं

max_{P} N = max_{P} [P \cdot Q (P) - Q (P) - C (Q (P))]

$\max_{P}N = \max_{P}\left[P\cdot Q(P) - Q(P) - C(Q(P))\right]$

पहले क्रम की स्थिति है

\begin{matrix} (1) & \frac{\partial N}{\partial P} = Q + P \cdot Q^{'} - Q^{'} - C^{'} \cdot Q^{'} = 0 \end{matrix}

$\frac{\partial N}{\partial P} = Q + P\cdot Q' - Q' - C'\cdot Q' = 0 \tag{1}$

द्वारा गुणा करें : $P/Q$

Q \frac{P}{Q} + P \cdot Q^{'} \frac{P}{Q} - Q^{'} \frac{P}{Q} - C^{'} \cdot Q^{'} \frac{P}{Q} = 0

$Q\frac PQ + P\cdot Q'\frac PQ - Q'\frac PQ - C'\cdot Q'\frac PQ = 0$

\Rightarrow P + P \cdot E_{P Q} - E_{P Q} - C^{'} \cdot E_{P Q} = 0

$\Rightarrow P +P\cdot E_{PQ} - E_{PQ} - C'\cdot E_{PQ}=0$

\begin{matrix} (2) & \Rightarrow - E_{P Q} = \frac{P}{P - 1 - C^{'}} \end{matrix}

$\Rightarrow -E_{PQ} = \frac {P}{P-1-C'} \tag{2}$

यह समझ में आता है। संदर्भ में प्रस्तुत मूल्यों में प्लग करना, हमारे पास है

- E_{P Q} = \frac{2}{2 - 1 - .12} = \frac{2}{0.88} \approx 2.27

$-E_{PQ} = \frac {2}{2-1-.12} = \frac {2}{0.88} \approx 2.27$

जो लेखकों द्वारा प्रस्तुत समीकरण से उत्पन्न मूल्य के बहुत करीब है। मैं जो भी बीजगणितीय जोड़तोड़ करके, उनके सूत्र को दोहराने की कोशिश कर रहा हूं, वह सक्षम नहीं है, लेकिन eq किसी भी मामले में सही है। अगर कोई सुलह हुई तो मैं अपडेट करूंगा। $(2)$

— एलेकोस पापाडोपोलोस
स्रोत

बहुत खुबस। यह वह जगह है जहां मैं समाप्त हुआ, साथ ही साथ। प्रश्न में मेरे पिछले काम को शामिल नहीं करने के लिए माफी (मुझे ऐसा करने के लिए याद रखना होगा)।

— datahappy

मैंने कागज के लेखकों को ईमेल किया- अगर वे किसी भी बिंदु पर जवाब देते हैं, तो मैं उनके तर्क को दूसरे उत्तर के रूप में जोड़ दूंगा ... मैं आपको बीटा में होने के बाद से कुछ अन्य लोगों को जवाब देने के लिए जवाब के रूप में चिह्नित करने का इंतजार करूंगा। :)

— डेटापीरी

बेशक आपको इंतजार करना चाहिए। हम प्रति प्रश्न एक से अधिक उत्तर चाहते हैं!

— एलेकोस पापाडोपोलोस 3