-calculus को बीजगणित कहने का क्या मतलब है?

Question

कैलकुलस के बजाय -calculus को बीजगणित कहने का अंतर क्या है ? मैं यह सवाल इसलिए उठाता हूं क्योंकि मैंने कहीं पढ़ा है कि " λ -calculus पथरी नहीं बल्कि एक बीजगणित है" (iirc, Dana Scott के लिए जिम्मेदार)। मुद्दा क्या है? धन्यवाद।$\lambda$$\lambda$

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इस विषय के शिक्षु से आने की संभावना के साथ कोई अंतर्दृष्टि नहीं है: यह निर्धारित नहीं कर रहा है कि क्या दो लैम्ब्डा-कैलकुलस एक्सप्रेशन समान नहीं हैं? क्या इसका कोई प्रभाव है कि इसे "पथरी" क्यों नहीं माना जाएगा? क्योंकि यह एक बुनियादी सवाल है, जिसे एल्गोरिथम की गणना नहीं की जा सकती ...

— जेरेमी कुन

Answer 1

एक पथरी प्रतीकात्मक अभिव्यक्तियों के हेरफेर के आधार पर गणना की एक प्रणाली है। बीजगणित प्रतीकात्मक अभिव्यक्तियों और उनके बीच संबंधों की एक प्रणाली है [*]। यह है, एक पथरी, उत्तरों को जानने के लिए एक प्रणाली है, और एक बीजगणित शब्दों के बीच संबंधों को व्यक्त करने का एक तरीका है।

-calculus या तो एक पथरी या एक बीजगणित, चाहे आप के बारे में सोचना चाहिए उसके आधार पर है β और η उन्मुख कमी नियम या unoriented समीकरणों के रूप में नियमों। यदि आप नियमों को उन्मुख होने के बारे में सोचते हैं, तो आपने एक मूल्यांकन आदेश निर्धारित किया है, और नियम आपको बताते हैं कि एक शब्द कैसे लें और एक सामान्य रूप का उत्पादन करें। यदि आप नियमों को बिना सोचे समझे करते हैं, तो वे आपको λ -terms पर समानता का संबंध देते हैं।$\lambda$$\beta$$\eta$$\lambda$

[*] बीजगणित की एक श्रेणीबद्ध परिभाषा भी है, जो एक औपचारिक परिभाषा है जो अनौपचारिक विचार की तुलना में कुछ अधिक प्रतिबंधात्मक है। धीरे-धीरे बोल रहा है, अंतर यह है कि बीजगणित की औपचारिक परिभाषा चर बंधन के बिना सिर्फ उन प्रणालियों को शामिल करती है। तो SKI कॉम्बिनेटर एक बीजगणित बनाते हैं, लेकिन -calculus नहीं होता है।$\lambda$

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जैसा कि मेरी टिप्पणी में उल्लेख किया गया है, बीजगणित की श्रेणीबद्ध परिभाषा को बाध्यकारी संचालन के साथ संरचनाओं को घेरना दिखाया जा सकता है। मुख्य विचार यह है कि जबकि बाइंडरों के बिना संरचनाओं को सेट पर बीजगणित के रूप में दर्शाया जा सकता है, बाइंडरों के साथ संरचनाओं का प्रतिनिधित्व -प्रशासन- पर बीजगणित द्वारा किया जा सकता है।

— कोड़ी

AFAIK, यह सार्वभौमिक बीजगणित में बीजगणित की परिभाषा है, उच्च-क्रम के हस्ताक्षर (जॉन मिशेल की प्रोग्रामिंग भाषाओं के अनुसार) के साथ संचालन की अनुमति नहीं देता है।

— ब्लिसोरब्लेड

Answer 2

परंपरागत रूप से, एक बीजगणित एक वाहक सेट होता है जो कुछ समीकरणों को संतुष्ट करता है ("समूह") सोचता है। ऐसे कई तरीके हैं जिनसे धारणा को सामान्य किया जा सकता है:

• बहु-क्रमबद्ध बीजगणित में कई वाहक सेट होते हैं। एक उदाहरण एक रिंग आर के ऊपर एक मॉड्यूल होगा , जहां हम पूरी चीज को एक एकल बीजगणित के रूप में विचार करना चाहते हैं। एक और, बल्कि मूर्खतापूर्ण उदाहरण, एक निर्देशित ग्राफ है, जिसमें दो वाहक सेट हैं, किनारों के ई और कोने के वी , और दो संचालन, स्रोत एस : ई → वी और लक्ष्य ई → वी , कोई समीकरण संतोषजनक नहीं है।$M$$R$$E$$V$$s : E \to V$$E \to V$

• अधिक सामान्य स्वयंसिद्ध जो केवल समीकरण नहीं हैं उन्हें अनुमति दी जा सकती है। उदाहरण के लिए, एक क्षेत्र के लिए सूक्तियों को छोड़कर सभी समीकरण हैं । एक अन्य उदाहरण एक अभिन्न डोमेन की तरह है।$x \neq 0 \implies x \cdot x^{-1} = 1$

• अधिक सामान्य ऑपरेशनों की अनुमति दी जा सकती है, विशेष रूप से असीम धमनी वाले लोगों में, या उच्च-क्रम वाले ऑपरेशन जो तर्कों के रूप में कार्य करते हैं। मार्टिन एस्कार्डो और एलेक्स सिम्पसन के मिडपॉइंट बीजगणित में एक अनन्ततांत्रिक ऑपरेशन का एक उदाहरण है । यदि आप इस दिशा में बहुत दूर जाते हैं तो आप भिक्षुओं के पास पहुंचते हैं।$M$

इस अर्थ में अप्राप्त -calculus एक बीजगणित है क्योंकि यह कुछ समीकरणों ( β और η ) को संतुष्ट करने वाले कुछ (उच्च-क्रम) संचालन के साथ निर्धारित वाहक के संदर्भ में निर्दिष्ट है ।$\lambda$$\beta$$\eta$

Answer 3

श्रेणी सिद्धांत में एक बीजगणित क्या है इसकी काफी सटीक परिभाषा है: उदाहरण के लिए इस लेख को देखें । यह समझने में कुछ साल लग गए कि कैसे बाध्य चर के साथ एक संरचना को उसी संदर्भ में समझा जा सकता है, जैसा कि गणित और कंप्यूटर विज्ञान में आमतौर पर इस्तेमाल की जाने वाली बीजगणित संरचना शब्द के रूप में है , और यह पता चलता है कि एफ-अलजेब्रा की श्रेणीबद्ध अवधारणा एकीकृत करने में सक्षम है दो। मुझे यकीन है कि मुक्केबाज़ी समाधान के ऐतिहासिक पहलुओं नहीं कर रहा हूँ, लेकिन एक संभव दृष्टिकोण presheaf अल्जेब्रास Fiore, Plotkin और Turi (उपलब्ध द्वारा शुरू की गई है यहाँ ) प्रश्न और प्रेरित अलग लेकिन इसी तरह के तरीकों, जैसे देखने बसे Hirshowitz एट अल। और उनके पीएचडी छात्र जुलियाना ज़्सिडो ।

कुछ एक्साइटिंग शोध इस बात पर किए गए हैं कि कैसे सिंटैक्टिक "क्रुफ़्ट" को खत्म करने की उम्मीद में बाध्य चर के साथ संरचनाओं की हमारी समझ को रिफ्लेक्टर और गहरा करने के लिए उपयोग किया जाता है, जिसमें आमतौर पर -calculi और संबंधित पर शोध के सबसे उबाऊ अध्याय शामिल हैं। संरचनाओं।$\lambda$

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एफ-अल्जेब्रा आमतौर पर मुक्त अल्जब्रस होते हैं, अर्थात समीकरणों की अनुमति नहीं देते हैं; पियर्स की श्रेणी सिद्धांत इंट्रो (1992 से) का दावा है कि एफ-अल्जेब्रा के लिए समीकरणों का कोई विकास नहीं हुआ है। मैंने केवल 2010 से चुंग-किल (गिल) हूर की पीएचडी थीसिस के सार में समाधानों के बारे में पढ़ा है: "श्रेणीबद्ध समीकरण प्रणाली: बीजगणितीय मॉडल और समान तर्क"। क्या मुझे लगता है कि यह है, और क्या यह प्राथमिक उपचार ओ विषय है?

— ब्लूसोरब्लेड

मुझे नहीं लगता कि कोई भी कारण है कि एफ-बीजगणित दृष्टिकोण समीकरणों के साथ सिद्धांतों पर लागू नहीं होता है। विचार यह है कि आप उपयुक्त सिद्धांत द्वारा "भागफल" द्वारा मुक्त लोगों (बिना समीकरणों) के समीकरणों के साथ प्रारंभिक बीजगणित बना सकते हैं। मुझे गिल के काम या पियर्स का उनकी टिप्पणी से क्या मतलब है, इसके बारे में ज्यादा जानकारी नहीं है।

— कोड़ी

परिशिष्ट: एक सरसरी नज़र के बाद, मार्सेल्लो फियोर के साथ गिल का काम एफ-अल्जेब्रा के लिए समान सिद्धांतों की एक सामान्य धारणा का इलाज करता है।

— कोड़ी

Answer 4

हालांकि यह सच है कि "कैलकुलस" की धारणा "बीजगणित" की धारणा से कम अच्छी तरह से परिभाषित है, मोटे तौर पर "कैलकुलस" आमतौर पर गणना की एक प्रक्रिया का अर्थ है, जबकि बीजगणित में समतुल्य सिद्धांतों के साथ निर्माण के पैटर्न हैं।
आप कह सकते हैं कि वहाँ एक भावना है कि बीजगणित "पहले से ही मौजूद है" संरचना के रूप में और हम केवल उनके बारे में सत्य को उजागर कर रहे हैं, बजाय नए उत्तरों का उत्पादन करने के लिए कुछ विधि का उपयोग करने से पहले जो मौजूद नहीं थे।

यदि आप सोचते हैं कि स्कॉट स्कॉट डोमेन के साथ क्या करने की कोशिश कर रहा था, तो उसका कथन समझ में आता है: वह पूर्वनिर्धारित गणितीय और बीजीय संरचनाओं को खोजने की कोशिश कर रहा था जो एलसी के लिए निश्चित शब्दार्थ के रूप में काम करेंगे। वह इस भावना को दूर करना चाहते थे कि किसी शब्द का अर्थ किसी विशेष प्रक्रिया से बाहर आने के लिए हुआ था।

आप संबंधित प्रश्न के बारे में पिछले उत्तर में रूचि ले सकते हैं: क्या अर्थविज्ञान शब्दार्थ का गठन करता है?

Answer 5

$\beta$$\eta$$M$$N$

तो स्कॉट कभी एक "बीजगणित" (जो मैं नहीं बल्कि संदेह) पथरी कॉल लैम्ब्डा किया, तो वह, एक नहीं बल्कि सूक्ष्म मुद्दा बना हो गया होता अर्थात।, आपको लगता है कि कर सकते हैं एक होने के रूप में लैम्ब्डा पथरी के बारे में सोच एक प्रायोरी अर्थ।

फिर भी उनके पास अपने दावे के किसी भी बीजगणित को समझाने में एक कठिन समय होगा, क्योंकि उनके पास लंबो कैलकुलस में समीकरण नहीं हैं, उनके पास समतुल्य (यानी, मेटा-स्तर पर) है। दूसरी ओर "कंबाइनरी अलजेब्रा" पूरी तरह से सामान्य है।

Answer 6

पथरी जैसी कोई चीज नहीं है , लेकिन बीजगणित नामक एक अच्छी तरह से परिभाषित गणितीय वस्तु है , हालांकि इस शब्द के कई उपयोग हैं । हालांकि, मेरा अनुमान है कि नाम इस अर्थ में दिया गया था

(...) संख्या प्रणाली और उनके भीतर के अमूर्त अध्ययन।

$\lambda$

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नील का जवाब देखिए।

— डेव क्लार्क

$\lambda$