"वास्तविक" कारण क्या है कि IP = PSPACE गैर-सापेक्ष है?

IP = PSPACE को एक गैर-रिलेटिविंग परिणाम के विहित उदाहरण के रूप में सूचीबद्ध किया गया है, और इसके लिए प्रमाण यह है कि एक ओरेकल मौजूद है जैसे कि , जबकि अन्य के लिए सभी दैवज्ञ । $O$ ${\sf coNP}^O \not\subseteq {\sf IP}^O$ ${\sf coNP}^O \subseteq {\sf PSPACE}^O$ $O$

हालाँकि, मैंने देखा है कि कुछ लोग "प्रत्यक्ष" स्पष्टीकरण क्यों , जिसका परिणाम सापेक्षता नहीं देता है, और सामान्य उत्तर "अंकगणित" है। IP = PSPACE के प्रमाण के निरीक्षण पर, यह उत्तर गलत नहीं है , लेकिन यह मेरे लिए संतोषजनक नहीं है। ऐसा लगता है कि "वास्तविक" कारण खुद ही इस बात का प्रमाण देता है कि समस्या TQBF - सही मात्रा में बूलियन फार्मूला - PSPACE के लिए पूरी है; यह साबित करने के लिए, आपको यह दिखाने की आवश्यकता है कि आप एक बहुपद-आकार के प्रारूप में एक PSPACE मशीन के विन्यास को एन्कोड कर सकते हैं, और (यह गैर-सापेक्ष भाग लगता है) आप एक बहुपद-आकार में विन्यास के "सही" संक्रमण को सांकेतिक कर सकते हैं। बूलियन फार्मूला - यह कुक-लेविन-शैली के चरण का उपयोग करता है। ${\sf IP} = {\sf PSPACE}$

जो अंतर्ज्ञान मैंने विकसित किया है वह यह है कि नॉन-रिलेटिविंग परिणाम वे होते हैं जो ट्यूरिंग मशीनों के किटी ग्रिट्टी के साथ चारों ओर प्रहार करते हैं, और जिस चरण में PSPQ के लिए TQBF को पूरा दिखाया जाता है वह यह है कि यह प्रहार चारों ओर होता है - और अंकगणित चरण हो सकता है केवल इसलिए हुआ क्योंकि आपके पास अंकगणित करने के लिए एक स्पष्ट बूलियन सूत्र था।

यह मुझे मौलिक कारण प्रतीत होता है कि IP = PSPACE गैर-सापेक्ष है; और लोककथाओं का मंत्र जो अंकगणित की तकनीक से संबंधित नहीं होता है, उसका उपोत्पाद लगता है: किसी चीज़ को अंकगणित करने का एकमात्र तरीका है यदि आपके पास एक बूलियन सूत्र है जो पहले स्थान पर TM के बारे में कुछ बताता है!

क्या मुझे कुछ याद आ रहा है? एक अधीनता के रूप में - क्या इसका मतलब यह है कि सभी परिणाम जो किसी तरह से TQBF का उपयोग करते हैं, वे भी relativize नहीं करते हैं?

cc.complexity-theory interactive-proofs relativization

— हेनरी यूएन
स्रोत

आप मात्रात्मक बूलियन सूत्र में ओरेकल गेट्स को शामिल कर सकते हैं, और फिर इस तरह के एक relativized TQBF ^ O PSPACE ^ O के लिए पूरा हो गया है, इसलिए यह गैर-रिलेटिविंग चरण नहीं है।

— एमिल जेकाबेक

हाय एमिल - क्या आप थोड़ा और विस्तृत कर सकते हैं? मान लीजिए कि मेरे पास एक मशीन M है, और मैं उसी प्रमाण को आगे बढ़ाने की कोशिश करता हूं कि L (M) (M द्वारा स्वीकृत भाषा) (जो भी अर्थ है) के लिए फिर से तैयार की जाती है। मुझे अंततः एक बूलियन फार्मूला के साथ आना होगा जो व्यक्त करता है कि क्या ऑर्कल मशीन एम के दो विन्यास सी, पड़ोसी हैं (किसी भी दो कॉन्फ़िगरेशन सी, सी 'के लिए)। मैं यह कैसे सुनिश्चित कर सकता हूं, कि इस नृत्‍य की परवाह किए बिना, इस बूलियन सूत्र का परिमित आकार है, अकेले बहुपद का आकार दें? उदाहरण के लिए, ओ हाल्टिंग समस्या को एनकोड कर सकता है।

{P S P A C E}^{O}

${\sf PSPACE}^O$

T B Q F^{O}

$TBQF^O$

T B Q F^{O}

$TBQF^O$

— हेनरी यूएन

मुझे लगता है कि मैं इसे और भी आगे बढ़ा सकता हूं - क्या कुक-लेविन प्रमेय खुद को रिलेट करता है? ऊपर उल्लिखित समान कारणों के लिए, मुझे नहीं लगता कि यह करता है। क्या कुक-लेविन प्रमेय का संबंध निर्धारित करता है कि क्या TQBF का PSPACE-पूर्णता प्रमाण भी सापेक्ष है।

— हेनरी यूएन

एक QBF ^ O सूत्र, सामान्य क्वांटिफायर और बूलियन एक नए अनबाउंड फैन-इन गेट का भी उपयोग कर सकता है, आइए इसे , जिसका शब्दार्थ है कि iff स्ट्रिंग ओरेकल अंतर्गत आता है । इस भाषा में व्यक्त करना कि एक विन्यास दूसरे का उत्तराधिकारी है, एक सरल अभ्यास है, क्योंकि आप बस ओरेकल क्वेरी टेप की सामग्री को में प्लग कर सकते हैं । (मैं यहाँ मान रहा हूँ कि एक PSPACE मशीन केवल

f (x_{0}, \dots, x_{n})

$f(x_0,\dots,x_n)$

f (x_{0}, \dots, x_{n}) = 1

$f(x_0,\dots,x_n)=1$

x_{0} \dots x_{n}

$x_0\dots x_n$

O

$O$

f

$f$

— बहुरूपिक रूप से

मैं देख रहा हूँ - आप कह रहे हैं कि जब TQBF के PSPACE-पूर्णता के प्रमाण को रिलेट कर रहे हैं, तो न केवल आप मशीनों को प्ले में रिलेटिव करते हैं, बल्कि आप स्वयं बूलियन फ़ार्मुलों को भी रिलेटिव करते हैं (इसलिए वे सख्त अर्थों में बूलियन फ़ार्मुले नहीं हैं) )। उस स्थिति में, मैं देख सकता हूं कि अंकगणित कदम क्यों टूट जाएगा। धन्यवाद! शायद आप इसे उत्तर के रूप में लिख सकते हैं।

— हेनरी यूएन

फॉर्म के किसी भी प्रश्न का उत्तर, " वास्तविक कारण क्या है ..." आवश्यक रूप से कुछ व्यक्तिपरक होगा। हालांकि, आईपी = PSPACE के विशेष मामले के लिए, मुझे लगता है कि एक बहुत अच्छा मामला है, किया जा सकता है कि कि arithmetization वास्तव में महत्वपूर्ण है को देख जबकि आईपी = PSPACE नहीं है कि द्वारा relativize , यह करता है algebrize के अर्थ में Aaronson और Wigderson । जैसा कि वे अपने पेपर में समझाते हैं, मोटे तौर पर, एक जटिलता वर्ग समावेश algebrizes अगर सभी के लिए oracles और सभी निम्न-डिग्री एक्सटेंशन के ${\cal C} \subseteq {\cal D}$ ${\cal C}^A \subseteq {\cal D}^{\tilde A}$ $A$ $\tilde A$ $A$ । विशेष रूप से, वे दिखाते हैं कि समावेशी IP algebrizes, भले ही यह relativize नहीं करता है। $\subseteq$

अंतर्ज्ञान जो मैंने विकसित किया है वह यह है कि गैर-रिलेटिविंग परिणाम वे हैं जो ट्यूरिंग मशीनों के किटी ग्रिट्टी के साथ चारों ओर प्रहार करते हैं

यह एक बुरा अंतर्ज्ञान नहीं है, लेकिन मुझे लगता है कि आरोनसन-विगडरसन परिणाम से पता चलता है कि आईपी = पीएसपीएसी प्रमाण एक सीमित तरीके से चारों ओर चोट करता है, और निश्चित रूप से पी एन एनपी को साबित करने के लिए एक परिष्कृत पर्याप्त तरीके से नहीं है , क्योंकि हारून और विगडरसन यह भी दिखाते हैं कि पी को एनपी से अलग करने के लिए गैर-बीजगणित तकनीक की आवश्यकता होगी। $\ne$

— टिमोथी चौ
स्रोत

संदर्भ के लिए धन्यवाद। मुझे यह देखने दें कि क्या मैं यह समझता हूं: आप और - आरोनसन / विगडरसन पेपर - बहस करते हुए प्रतीत होता है कि "अंकगणित" एक कमजोर गैर-सापेक्ष कदम है, और यह कि सापेक्षता की धारणा (अर्थात) के लिए एक छोटा, प्राकृतिक परिवर्तन है बीजीय सापेक्षताकरण) इस संपत्ति को तोड़ देगा। चूँकि बाकी IP = PSPACE प्रूफ रिलेटिव है (और मुझे विश्वास है कि Emil ने ऊपर जो कहा है), इसका मतलब है कि IP = PSPACE रिजल्ट अपने आप में बहुत ही कमजोर रिलेटिव है, जो आपने कहा है। बहुत ही रोचक! धन्यवाद। मुझे दोनों उत्तरों को स्वीकार करने के तरीके की आवश्यकता है :)

— हेनरी यूएन

हां, यह मूल रूप से सही है।

— टिमोथी चाउ