सबसे छोटा समतुल्य सीएनएफ फॉर्मूला

Question

बता दें कि वेरिएबल और क्लॉस के साथ एक संतोषजनक CNF फॉर्मूला है । चलो का समाधान स्थान होना ।$F_1$$n$$m$$S_{F_1}$$F_1$

निर्धारित करने की समस्या को देखते हुए विचार करें , एक और CNF फॉर्मूला के रूप में चर के एक ही सेट के साथ , साथ (के रूप में ही समाधान स्थान ), लेकिन संभव के रूप में कुछ खंड के रूप में के साथ (केवल उद्देश्य क्लॉज़ की संख्या को कम करना है, इसलिए प्रत्येक क्लॉज़ में कितने शाब्दिक प्रासंगिक हो सकते हैं)।$F_1$$F_2$$F_1$$S_{F_2} = S_{F_1}$$F_1$

सवाल

क्या किसी ने पहले से ही इस समस्या की जांच की? क्या इसके विषय में साहित्य में कोई परिणाम हैं?

एक उदाहरण के रूप में, निम्नलिखित CNF फॉर्मूला पर विचार करें (प्रत्येक पंक्ति एक खंड है): $F_1$

एक्स 2 ∨ एक्स 3 ∨ एक्स 4 ¬ एक्स 1 ∨ एक्स 2 ∨ एक्स 4 ¬ एक्स 1 ∨ एक्स 2 ∨ ¬ एक्स 3 ¬ एक्स 1 ∨ एक्स 3 ∨ एक्स 5 ¬ एक्स 1 ∨ एक्स 2 ∨ ¬ एक्स $x_1 \lor x_2 \lor x_3$
$x_2 \lor x_3 \lor x_4$
$\lnot x_1 \lor x_2 \lor x_4$
$\lnot x_1 \lor x_2 \lor \lnot x_3$
$\lnot x_1 \lor x_3 \lor x_5$
$\lnot x_1 \lor x_2 \lor \lnot x_5$

और निम्नलिखित सूत्र : $F_2$

$x_1 \lor x_2 \lor x_3$
$x_2 \lor x_3 \lor x_4$
$\lnot x_1 \lor x_3 \lor x_5$
$\lnot x_1 \lor x_2$

दोनों में एक ही समाधान स्थान है, लेकिन में खंड हैं, केवल । $F_1$$6$$F_2$$4$

अंत में, निम्नलिखित सूत्र पर विचार करें : $F_3$

$x_2 \lor x_3$
$\lnot x_1 \lor x_3 \lor x_5$
$\lnot x_1 \lor x_2$

समाधान स्थान फिर से वही है, लेकिन केवल खंडों के साथ।$3$

Comments

@tsuyoshi मुझे लगता है कि वह एक cnf फार्मूला प्राप्त करना चाहता है जो एक ही समाधान स्थान के साथ न्यूनतम संख्या में बना है

— तय्युन पे

@TsuyoshiIto: हां, मैं क्लॉज की संख्या कम करना चाहता हूं। मुझे लगता है कि प्रत्येक खंड में शाब्दिक संख्या पर कोई प्रतिबंध नहीं हो सकता है।

— जियोर्जियो कैमरानी 15

"छोटे" की किसी भी उचित परिभाषा के लिए, समस्या एनपी-हार्ड है। एक CNF फॉर्मूला संतोषजनक है अगर और केवल अगर यह "फॉल्स" फॉर्मूला के समतुल्य नहीं है , जिसमें शून्य खंड हैं।

— 18

Citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/… की धारा 6 में उल्लेख किया गया है कि यह निर्धारित करने की समस्या है कि दिए गए अधिकांश शाब्दिक समकक्ष CNF फॉर्मूला में । मुझे यकीन नहीं है कि मैं समझता हूं कि आपका संस्करण क्लॉज़ की संख्या कम से कम क्यों दिलचस्प है, क्योंकि यह सूत्र आकार के के एक कारक के भीतर है , जहां चर की संख्या है। $\Pi_2^p$$n$$n$

— आंद्र सलाम

: इसके अलावा, एक और हाल ही परिणाम प्रासंगिक है dx.doi.org/10.1016/j.dam.2011.05.013

— एंड्रास सालेमन

Answer 1

यह निर्धारित करने की समस्या है कि किसी दिए गए नंबर पर शाब्दिक रूप से समतुल्य CNF फॉर्मूला है, जो । खंड की संख्या को कम करने वाला संस्करण सूत्र आकार के के एक कारक के भीतर है , जहाँ चर की संख्या है। देखें खंड 6:$\Pi_2^p$$n$$n$

• क्रिस्टोफर Umans, न्यूनतम समकक्ष DNF समस्या और सबसे छोटा Implicants , JCSS 63 (4), 597-611, 2001 डोई: 10.1006 / jcss.2001.1775 ( प्रीप्रिंट )

हाल के परिणाम से पता चलता है कि कम से कम समतुल्य सीएनएफ फॉर्मूला के आकार के लिए एक विशेष निचली सीमा की गणना (जैसा कि आप निर्दिष्ट करते हैं, क्लॉस की संख्या से मापा जाता है) एनपी-पूर्ण है। इस पत्र में यह भी कहा है कि खंड की संख्या को कम से आपकी समस्या है , -Complete रूप में अच्छी तरह, ऊपर Umans कागज का हवाला देते हुए हालांकि यह क्यों इस प्रकार तुरंत मेरे लिए स्पष्ट नहीं है।$\Pi^p_2$

• Ond Oej ekepek, Petr Kučera और Petr Savický, Boolean CNF जटिलता , DAM 160 (4–5), 365-382, 2012 के लिए एक साधारण प्रमाण पत्र के साथ कार्य करती है । doi: 10.15 / j.dam।

Answer 2

सर्किट minization समस्या असभ्य है (नीचे टिप्पणी देखें)। इसके अलावा मुझे क्या लगता है कि आप जिस चीज में रुचि रखते हैं, वह तकनीक है कुछ सैट सॉल्वर्स लागू होते हैं (कम से कम कुछ हद तक) जिसे सैट प्रीप्रोसेसिंग कहा जाता है। उदाहरण के लिए प्रसिद्ध मिनीसैट सॉल्वर एक उदाहरण के लिए एक CNF मिनिमाइज़र सेटलाइट का उपयोग करता है । Google विद्वान "संतृप्त प्रीप्रोसेसिंग" के लिए बहुत से परिणाम देता है।

Comments

मुझे लगा कि 2008 में बुचफुहर और उमान ने ट्यूरिंग रिडक्शन के तहत सर्किट न्यूनतमकरण समस्या को -अपूर्ण, सुलझाया ? $\Pi^p_2$

— अंद्रस सलामन

Umans पहले से ही 1998 में पता चला है कि कम से कम बराबर CNF सूत्र खोजने है -हार्ड ( dx.doi.org/10.1006/jcss.2001.1775 )। पेपर एंड्र्यू का उल्लेख है कि यह बड़े गहराई सर्किटों के लिए सामान्यीकृत करता है। $\Sigma^P_2$

— जनवरी जोहानसेन

Answer 3

EE में CNF न्यूनीकरण के लिए प्रमुख एसटीडी / ज्ञात समाधान, क्वीन-मैकक्लुस्की एल्गोरिथ्म है जिसमें कई कार्यान्वयन हैं, कुछ सार्वजनिक डोमेन हैं। हालांकि मेरी समझ यह है कि (वर्तमान विकिपीडिया लेख में उल्लेख नहीं किया गया है) सबसे बड़े स्रोतों के समाधान के लिए heuristics और लालची एल्गोरिदम पर वापस जाएं, यानी वे nec नहीं। इष्टतम समाधान esp खोजें। बड़े इनपुट उदाहरणों के लिए।

Quine-MCluskey कार्नो मैप्स के साथ काम करने का एक सामान्यीकरण है जो आरेख छोटे उदाहरणों के लिए सफल हो सकता है।

और ध्यान दें कि समान (न्यूनतम) क्लॉज़ आकार के साथ समकक्ष फ़ार्मुलों के संदर्भ में कई इष्टतम समाधान हो सकते हैं, यह सबज पर एक अच्छा संदर्भ में इंगित किया जाएगा। मूल रूप से मूल सूत्र के आकार की तुलना में मेमोरी / "स्पेस" में बड़े पैमाने पर घातांक को शामिल करने वाले सभी प्रमुख इंप्रेशन को सूचीबद्ध करने के लिए न्यूनतम जाहिरा तौर पर कम करने से कम हो जाता है।