अनुकूलन समस्या सेट करें - क्या यह np-complete है?

सेट $S=\{e_1,\cdots,e_n\}$ दिया गया है। प्रत्येक तत्व $e_i$ , हमारा वजन $w_i>0$ और लागत $c_i>0$ । लक्ष्य सबसेट रही है $M$ आकार का $k$ है जो निम्न उद्देश्य समारोह को अधिकतम:

\sum_{e_{i} \in M} w_{i} + \frac{\sum_{e_{i} \notin M} w_{i} c_{i}}{\sum_{e_{i} \notin M} c_{i}}

$\sum_{e_i\in M} w_i + \frac{\sum_{e_i\notin M} w_i c_i}{\sum_{e_i\notin M} c_i}$ ।

क्या समस्या एनपी-कठिन है?

चूंकि उद्देश्य फ़ंक्शन अजीब लगता है, इसलिए यह उद्देश्य फ़ंक्शन के किसी अनुप्रयोग को समझाने में सहायक होता है।

मान लीजिए हम n आइटम $e_1$ के लिए $e_n$ और देखते हैं $c_i$ प्रत्येक वस्तु की प्रतियां $e_i$ हमारे सूची में। हम कुछ ग्राहकों है और वे अपने वजन के साथ अनुपात में इन वस्तुओं में रुचि रखने वाले कर रहे हैं $w_i$ , जो अधिक से अधिक के साथ वस्तु का मतलब $w_i$ अधिक लोकप्रिय है। हमारे पास एक ऑनलाइन बिक्री प्रणाली है और हमें अपने ग्राहक के अनुरोधों का सही उत्तर देने की आवश्यकता है। हम वस्तुओं को उनके आकार से नहीं पहचान सकते (वे सभी एक जैसे दिखते हैं!)। लेकिन हमारे पास उन्हें खोजने के लिए कुछ क्लासिफायरियर हैं। प्रत्येक वर्गीकरणकर्ता का उपयोग किसी वस्तु की प्रतियों का पता लगाने के लिए किया जा सकता है। हम अपने ग्राहक की संतुष्टि को अधिकतम करने के लिए k क्लासिफायर चलाना चाहते हैं।

पुनश्च: यह मामले के बारे में सोचने के लिए उपयोगी हो सकता है कि सभी के लिए ; हालाँकि, मुझे यकीन नहीं है। [ मैं इस बारे में गलत था! यह इस धारणा के द्वारा P में है ] $w_i c_i=p$ $i\leq n$

np-hardness optimization

— Nasooh
स्रोत

सही शब्द किसी तत्व के सबसे बड़े वजन से कम या बराबर नहीं है। इसलिए यदि आपके पास एक बड़े वजन वाला तत्व है तो उसे बर्बाद करने की बजाय इसे M में रखना बेहतर है। तो M को k सबसे बड़े वज़न वाले तत्वों से मिलकर बनाना चाहिए। सही?

— zotachidil

यह सही नहीं है, क्योंकि लागत भी महत्वपूर्ण है। निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें:

— नासोह

w1 = 50, c1 = 80 - w2 = 40, c2 = 15 - w3 = 10, c3 = 5। K के बराबर 1 चुनने के लिए e2 e1 से ज्यादा फायदेमंद है।

— नासोह

आप सही हे। हम्म ...

— zotachidil

प्रेरणा को समझाने की कोशिश करने के लिए धन्यवाद। दुर्भाग्य से, प्रश्न में आपके स्पष्टीकरण और उद्देश्य फ़ंक्शन के बीच का संबंध अभी भी मेरे लिए पूरी तरह से अस्पष्ट है, लेकिन मुझे लगता है कि मुझे एक उचित लंबाई के भीतर प्रश्न को रखने के लिए वर्तमान स्पष्टीकरण से संतुष्ट होना होगा।

— त्सुकोशी इतो

जवाबों:

नीचे दिए गए उत्तर से पता चलता है कि समस्या का एक विशेष मामला बहुपद समय में हल करने योग्य है। यह पोस्ट में प्रश्न का पूरी तरह से उत्तर नहीं देता है, लेकिन एनपी-कठोरता प्रमाण के लिए क्या आवश्यक हो सकता है, इस पर कुछ जानकारी दे सकता है, और पोस्ट में अतिरिक्त रुचि को उत्तेजित कर सकता है ...

अवलोकन। पोस्ट में समस्या का एक एल्गोरिथ्म है, जो किसी भी उदाहरण को देखते हुए जहां प्रत्येक एक पूर्णांक है, और में बहुपद में चलता है । $c_i$ $n$ $D = \sum_i c_i$

प्रमाण स्केच। कोई इनपुट जहां और (WLOG) । समस्या से थोड़ा अलग ढंग से व्यक्त, लक्ष्य को मिल रहा है आकार की अधिकतम $(S, w, c, K)$ $w,c\in\mathbb{R}_+^n$ $S=\{1,2,\ldots,n\}$ $M\subseteq S$ $K$ । $\frac{\sum_{i\in M} w_i c_i}{\sum_{i\in M} c_i} - \sum_{i\in M} w_i$

$(d_1, d_2, k, m)$ $0\le d_1 \le d_2 \le D$ $0\le k \le K$ $k\le m\le n$

ϕ (d_{1}, d_{2}, k, m) = max {\sum_{i \in M} w_{i} (c_{i} / d_{1} - 1) : M \subseteq [m], | M | = k, \sum_{i \in M} c_{i} = d_{2}} .

$\textstyle\phi(d_1, d_2, k, m) = \max \Big\{ \sum_{i\in M} w_i (c_i / d_1 - 1) ~:~ M \subseteq [m],\, |M| = k, \, \sum_{i\in M} c_i = d_2\Big\}.$

max_{d} ϕ (d, d, K, n)

$\max_d \phi(d, d, K, n)$

के संभावित समाधानों को उन लोगों में विभाजित करना जिनमें और वो शामिल नहीं हैं, हमें पुनरावृत्ति हम सीमा मामलों को एक अभ्यास के रूप में छोड़ देते हैं। $\phi(d_1, d_2, k, m)$ $m$

ϕ (d_{1}, d_{2}, k, m) = max {\begin{cases} ϕ (d_{1}, d_{2} - c_{m}, k - 1, m - 1) + w_{m} (c_{m} / d_{1} - 1) \\ ϕ (d_{1}, d_{2}, k, m - 1) . \end{cases}

$\textstyle\phi(d_1, d_2, k, m) = \max\begin{cases} \phi(d_1, d_2 - c_m, k-1,m-1) + w_m(c_m/d_1-1) \\ \phi(d_1, d_2, k, m-1). \end{cases}$

उपप्रक्रमों की संख्या , और पुनरावृत्ति के प्रत्येक दाहिने हाथ के लिए निरंतर समय में मूल्यांकन किया जा सकता है, इसलिए एल्गोरिथ्म और में समय बहुपद में चलता है । $O(n^2 D^2)$ $n$ $D$ $~~\Box$

परिणाम। जब तक पी = एनपी, एनपी-कठोरता दिखाने वाली कोई भी कमी उन उदाहरणों में कम हो जाएगी जहां बहुपद नहीं है । $D$ $n$

टिप्पणी। जब तक मैं गलत कर रहा हूँ, वहाँ भी पोस्ट में समस्या के लिए एक पीटीए है, गोलाई के आधार पर 'तो गतिशील प्रोग्रामिंग का उपयोग कर रहा है। हालाँकि, पीटीएएस के अस्तित्व पर कोई सीधा असर नहीं है कि क्या समस्या एनपी-हार्ड है, जैसा कि पोस्ट में कहा गया है। $w_i$

मैं भी उत्सुक हूँ --- क्या कोई जानता है कि क्या विशेष मामला जब (प्रत्येक ) में पॉली-टाइम एल्गोरिथ्म हो? (संपादित करें: यह होता है, यह लेने के द्वारा अनुकूलित किया जा रहा है प्रति विलार्ड झान की टिप्पणी को रोकने के लिए सबसे बड़ा तत्व।) $w_i=c_i$ $i$ $M$ $k$

— नील जवान
स्रोत

का मामला नहीं है को कम करने के रूप में ही है, जो अनुकूलित है जब सबसे बड़ा होते 'है?

w_{i} = c_{i}

$w_i=c_i$

(\sum_{i \neq j \notin M} w_{i} w_{j}) / (\sum_{i \notin M} w_{i})

$(\sum_{i\neq j\notin M}w_iw_j)/(\sum_{i\notin M} w_i)$

M

$M$

w_{i}

$w_i$

— विलार्ड झान

@IllardZhan, हाँ, यह सही लगता है।

— नील युवा

-6

आप बिना किसी प्रतिबंध के फ़ंक्शन के अधिकतमकरण के बारे में पूछ रहे हैं?

यह वास्तव में सरल है। यदि एम सबसे बड़ा सेट है, तो यह सबसे अच्छा समाधान है। कुछ भी गणना करने की आवश्यकता नहीं है।

यह समस्या नैकपैक समस्या के समान है, जो कि एनपी है।

— गिलर्मो।
स्रोत

सवाल कहता है, "आकार के सबसेट एम।"

— त्सुयोशी इतो