नुथ ने ए कैसे प्राप्त किया?

Question

प्राकृतिक संख्याओं के रूप में कुंजियों की व्याख्या करते समय हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।

$$\begin{equation} h(k) = \lfloor m (kA\bmod{1}) \rfloor \end{equation}$$

मुझे यह समझने में परेशानी हो रही है कि हम ए का मूल्य कैसे चुनें:

$$\begin{equation} 0 < A < 1 \end{equation}$$

नुथ के अनुसार एक इष्टतम मूल्य है:

$$\begin{equation} A \thickapprox (\sqrt{5} - 1) / 2 = 0.6180339887... \end{equation}$$

तो मेरा सवाल यह है कि नुथ यह कैसे आया और मैं अपने विशिष्ट डेटा के लिए एक इष्टतम मूल्य की गणना कैसे कर सकता हूं?

Comments

मुझे बस यह दिलचस्प लगता है कि ... और गुग्लिंग जो वास्तव में एक संदर्भ लाती है "नुथ का तर्क है कि सुनहरे अनुपात से बार-बार गुणा करने से हैश स्पेस में अंतराल कम हो जाएगा, और इस तरह यह एक साथ संयोजन के लिए एक अच्छा विकल्प है एक बनाने के लिए कई चाबियाँ। $A = 1+\phi$

— अहमद मसूद

अगर मुझे सही ढंग से याद है कि यह अभ्यास में से एक में समझाया गया है तो $kA \mod 1$ यूनिट अंतराल में अच्छी तरह से फैला हुआ है। मेरे पास अब जाँचने के लिए पुस्तक नहीं है।

— राडू ग्रिजोर

@RaduGRIGore यह एक अच्छी तरह से ज्ञात प्रमेय है कि किसी भी तर्कहीन लिए समान रूप से वितरित मोडुलो (Niven के "अपरिमेय संख्या" के प्रमेय 6.3)। शायद किसी मायने में सबसे अच्छा विकल्प है। $A, 2A, \ldots$$1$$A$$A=1+\phi$

— 2

"अधिक इष्टतम" जैसी कोई चीज नहीं है; यह "अधिक सर्वश्रेष्ठ" कहने जैसा है। या तो यह इष्टतम मूल्य है या यह नहीं है।

— जेफ़

यह इंगित करने योग्य है कि इस मूल्य का उपयोग प्राकृतिक प्रक्रियाओं द्वारा भी किया जाता है। विशेष रूप से, सुनहरा कोण कई पौधों में पंखुड़ियों, फूलों आदि की नियुक्ति को नियंत्रित करता है। इस कोण द्वारा एक घुमाव को बार-बार लगाया जा सकता है जब एक वृत्त के चारों ओर बिंदु लगाते हैं और अंक समान रूप से (स्थिर कारक के भीतर) स्थान पर होंगे।

— जेम्स राजा

Answer 1

कंप्यूटर प्रोग्रामिंग के कला के खंड 6.4 के व्यायाम 9 देखें ।

कोई भी तर्कहीन काम करेगा, क्योंकि (मैं नोटेशन उपयोग करता है का सबसे बड़ा अंतराल टूट जाता है लिए )।$A$$\{kA\}$$\{A\}, \{2A\}, \ldots, \{(k-1)A\}$$\{x\}$$x\mod 1$

लेकिन अगर या , तो इसकी एक विशेष संपत्ति है: ये एकमात्र मूल्य हैं जिनके लिए दो नए बनाए गए अंतराल में से कोई भी दो बार से अधिक नहीं है। अन्य।$A = \phi^{-1}$$A = \phi^{-2}$

Comments

साथ ही, सबसे छोटे अंतर का आकार जितना संभव हो उतना बड़ा है।

— जेफ