मैं प्लानर हैमिल्टनियन साइकिल एनपी-कम्पलीट (हैमिल्टन साइकिल से) को साबित करने के लिए एक आसान गैजेट चाहता हूं

यह ज्ञात है कि हैमिल्टनियन (हैम फॉर शॉर्ट) साइकिल एनपी-पूर्ण है और प्लेनर हैम साइकिल एनपी-पूर्ण है। प्लेनर हैम साइकिल का प्रमाण हैम साइकिल से नहीं है।

क्या कोई अच्छा गैजेट है, जिसे ग्राफ G दिया गया है, सभी क्रॉसिंग को कुछ प्लानर गैजेट से बदल दें ताकि आपके पास एक प्लानर ग्राफ G हो, जैसे कि

G का हैम चक्र है iff G 'का हैम चक्र है।

(मैं हैम पथ या हाम साइकिल या निर्देशित हैम पथ की तरह वेरिएंट से खुश रहूंगा।)

— बिल GASARCH
स्रोत

कुछ हद तक तुच्छ अवलोकन। मान लीजिए कि आपने

और किनारों

और

क्रॉस को

के साथ क्रॉसिंग पॉइंट के चारों ओर क्लॉकवाइज़ एम्बेड किया है । इसे गैजेट

द्वारा बदलें । यदि

में एक हैमिल्टनियन चक्र दोनों किनारों

और

का उपयोग करता है

G

$G$

(x, y)

$(x,y)$

(u, v)

$(u,v)$

x, v, y, u

$x,v,y,u$

है कि चार प्रवेश द्वार अंक

के लिए इसी

P_{x v y u}

$P_{xvyu}$

x^{'}, v^{'}, y^{'}, u^{'}

$x',v',y',u'$

x, v, y, u

$x,v,y,u$

G

$G$

(x, y)

$(x,y)$

तो में

इसी चक्र आत्म पार करना होगा। निश्चित रूप से यह वही एक `` गैजेट "है और यह भी में Hamiltonian चक्र है कि के सबसे अनुभवहीन व्याख्या हो जाती है

की जरूरत में इसी चक्र के रूप में ही किनारों पालन करने के लिए

।

(u, v)

$(u,v)$

G^{'}

$G'$

G^{'}

$G'$

G

$G$

— मारेक च्रोबक

हाम साइकिल क्या है? कृपया यह न मानें कि हर कोई आपके संक्षिप्तीकरण को समझता है।

— त्सुकोशी इतो

@MarekChrobak: मैं आपकी टिप्पणी से सहमत हूं। आप अपने तर्क से बचने के दो तरीके देते हैं। मुझे लगता है कि सबसे प्राकृतिक एक दूसरे से एक है: वहाँ Hamiltonian चक्र है

में

iff वहां मौजूद Hamiltonian चक्र

।

x \to y \to \dots \to u \to v \to \dots \to x

$x\to y\to\dotsb\to u\to v\to\dotsb\to x$

G

$G$

x \to x^{'} \to \dots \to u^{'} \to u \to \dots \to y \to y^{'} \to \dots \to v^{'} \to v \to \dots \to x

$x\to x'\to\dotsb \to u'\to u\to\dotsb\to y\to y'\to\dotsb\to v'\to v\to\dotsb\to x$

— ब्रूनो

@ त्सुयोशी: इसका मतलब हैमिल्टनियन चक्र है। मुझे लगता है कि यह मानना उचित है कि हर कोई इसका पता लगा सकता है।

— डोमटॉर्प

@ बिल: मैं सोच रहा हूं कि आपको क्यों लगता है कि ऐसे गैजेट का अस्तित्व होना चाहिए। विमान में एक मनमाना ग्राफ एम्बेड करते समय क्रॉसिंग की संख्या बहुत बड़ी हो सकती है (

पूरा ग्राफ के लिए - पार लेम्मा देखें)। इसलिए, यदि आप

किनारों और कई किनारों (द्विघात के पास कहते हैं) केसाथ एक ग्राफ के साथ शुरू करते हैं, तोवर्टिकल के रूप में जोड़े गए क्रॉसिंग के साथ एम्बेडेड ग्राफ में पूरी तरह से अलग संरचना है ...

Θ (n^{4})

$\Theta(n^4)$

n

$n$

— Sariel Har-Peled

कम से कम, एक क्रॉसओवर के लिए कोई "अच्छा" गैजेट नहीं।

चलो और एक क्रॉस होगा जिसे हम बदलना चाहते हैं। $(a, b)$ $(x,y)$ यहाँ छवि विवरण दर्ज करें

हमारे ग्राफ, लिए कई मामले हैं , लेकिन हमें कम से कम निम्नलिखित चार को पूरा करना होगा। केस 1: कम से कम एक हैमिल्टनियन चक्र है, लेकिन दोनों किनारों में से कोई भी उपयोग नहीं करता है। केस 2: कम से कम एक चक्र है, और सभी चक्र दो किनारों में से एक का उपयोग करते हैं। केस 3: कम से कम एक चक्र है, और सभी चक्र दोनों किनारों का उपयोग करते हैं। केस 4: कोई हैमिल्टनियन चक्र नहीं है। $G$

अगर हमारे गैजेट में सभी समान पड़ोसियों ( समीप प्रत्येक के लिए दो (या अधिक) कोने हैं $a, b, x, y$ और बनाए रखने के के पड़ोसियों) तो जरूरी अभी भी समतल नहीं होगा। ऊपर दिए गए हमारे मामलों में से पहले को संतुष्ट करने के लिए, हम तब गैजेट में कोई नया कार्य नहीं कर सकते हैं। $a_0$ $a_1$ $a$ $G'$

ऊपर केस 3 को संतुष्ट करने के लिए, हमारे पास गैजेट में कम से कम दो किनारे होने चाहिए। न तो प्लेनर और कवरिंग जोड़ी, और न ही केस 2 को संतुष्ट करता है, इसलिए हमें तीसरे किनारे की आवश्यकता है। सामान्यता की हानि के बिना, उन तीनों को रहने दो $(a, x), (y, b)$ $(a, y), (x, b)$ । $(a, y), (y, b), (x,b)$

हालांकि, कि प्रतिस्थापन चौथा मामला टूट जाता है, क्योंकि Hamiltonian चक्र हो सकता है जब नहीं करता है। उदाहरण के लिए, जहां और $G'$ $G$ $G = (V, E)$ $V = \{a, b, x, y, p, q, r, s, t\},$ । प्लांटर नहीं है और इसमें हैमिल्टनियन चक्र नहीं है। $E = \{(a, b), (x, y), (a, r), (a, p), (a, q), (b, s), (b, x), (p, s), (p, t), (p, y), (q, x), (r, y), (t, x)\}$ $G$ यहाँ छवि विवरण दर्ज करें

$G' = (V, E')$ $E' = \{(a, y), (y, b), (x, b)\} \cup$ $\{(x, y), (a, r), (a, p), (a, q), (b, s), (p, s), (p, t), (p, y), (q, x), (r, y), (t, x)\}$ $G'$ $a, q, x, t, p, s, b, y, r, a$

$(b, y)$ $(a, x)$ $G'$

$(a, b), (a, y), (x, b)$

तीन किनारों को तोड़ने के मामले में 4 जोड़ने के बाद से, अधिक जोड़ने से मदद नहीं मिलेगी।

$a, b, x$ $y$

(नोट: कृपया मुझे बताएं कि क्या मैंने ऊपर कोई त्रुटि की है!)

( ~~नोट 2: मेरे पास कुछ अच्छे आंकड़े थे, लेकिन उन्हें पोस्ट नहीं कर सकते।~~ पोस्ट किया गया।)

— केली
स्रोत

मुझे लगता है कि अब आपको आंकड़े पोस्ट करने में सक्षम होना चाहिए।

— जुक्का सूमेला