एक रेखीय डायोफैंटीन समीकरण को हल करना

Question

निम्नलिखित समस्या पर विचार करें:

इनपुट : एक हाइपरप्लेन , एक वेक्टर के द्वारा दिया गया और मानक बाइनरी प्रतिनिधित्व में।$H = \{ \mathbf{y} \in \mathbb{R}^n: \mathbf{a}^T\mathbf{y} = {b}\}$$\mathbf{a} \in \mathbb{Z}^n$$b \in \mathbb{Z}$

आउटपुट :$\mathbf{x} \in \mathbb{Z}^n = \arg \min d( \mathbf{x}, H)$

उपरोक्त संकेतन $d(\mathbf{x}, S)$ लिए $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$ और $S \subseteq \mathbb{R}^n$ को d (\ mathbf {x} के रूप में परिभाषित किया गया है , S) = \ min _ {\ mathbf {y} \ _ S} {\ _ | mathbf {x} - \ mathbf {y}} \ _ _2$d(\mathbf{x}, S) = \min_{\mathbf{y} \in S}{\|\mathbf{x} - \mathbf{y}}\|_2$ , यानी यह बिंदुओं के एक सेट और एक एकल बिंदु के बीच प्राकृतिक यूक्लिडियन दूरी है। ।

शब्दों में, हमें एक हाइपरप्लेन दिया जाता है और हम पूर्णांक जाली में उस बिंदु की तलाश करते हैं जो हाइपरप्लेन के सबसे करीब है।

प्रश्न है:

इस समस्या की जटिलता क्या है?

ध्यान दें कि यहाँ बहुपद समय का मतलब इनपुट के बिट्स में बहुपद होगा। जहाँ तक मैं देख सकता हूँ समस्या दो आयामों में भी दिलचस्प है। फिर यह देखना मुश्किल नहीं है कि 0 \ leq x \ leq | a = / a / mathsf {gcd} (a_1, a_2) के साथ केवल उन समाधानों (x_1, x_2) पर विचार करना ही पर्याप्त है , लेकिन यह कई विकल्प हैं।$(x_1, x_2)$$0\leq x_1 \leq |a_1|/\mathsf{gcd}(a_1, a_2)$

एक निकट संबंधी समस्या एक रैखिक डायोफैंटीन समीकरण को हल कर रही है, अर्थात ऐसा या यह निर्धारित करना कि कोई ऐसी मौजूद है। तो, एक लीनियर डायोफैंटाइन समीकरण को हल करना यह निर्धारित करने के बराबर है कि मेरे द्वारा ऊपर बताई गई समस्या के लिए मान 0 का कोई समाधान मौजूद है या नहीं। एक रेखीय डायोफैंटीन समीकरण को बहुपद समय में हल किया जा सकता है; वास्तव में यहां तक ​​कि रैखिक डायोफैंटीन समीकरणों की प्रणालियों को बहुमानीय समय में मैट्रिक्स के स्मिथ सामान्य रूप में गणना करके हल किया जा सकता है । बहुपदीय समय के एल्गोरिदम हैं जो पूर्णांक मैट्रिक्स के स्मिथ सामान्य रूप की गणना करते हैं, जो पहले दिया गया हैएक्स ∈ जेड एन एक टी एक्स = ख एक्स $\mathbf{x} \in \mathbb{Z}^n$$\mathbf{a}^T\mathbf{x} = b$$\mathbf{x}$$\mathbf{A}$कन्नन और बेचेम ।

रैखिक डायोफैंटीन समीकरणों के बारे में अंतर्ज्ञान प्राप्त करने के लिए हम दो आयामी मामले पर फिर से विचार कर सकते हैं। स्पष्ट रूप से, कोई सटीक समाधान नहीं है यदि विभाजित नहीं करता है । यदि यह विभाजित करता है , तो आप दो नंबर और प्राप्त करने के लिए विस्तारित GCD एल्गोरिथ्म चला सकते हैं जैसे और और । अब आप देख सकते हैं कि अनुमानित संस्करण कैसे भिन्न है: जब को विभाजित नहीं करता है , तो हम पूर्णांक कैसे पाते हैंछ ग घ ( एक 1 , एक 2 ) ख ख रों टी एक 1 एस + एक 2 टी = छ ग घ ( एक 1 , एक 2 ) x 1 = रों ख / छ ग घ ( एक 1 , एक 2 ) x 2 = टी बी / जी सी डी ( एक 1$\mathsf{gcd}(a_1, a_2)$$b$$b$$s$$t$$a_1s + a_2t = \mathsf{gcd}(a_1, a_2)$$x_1 = sb/\mathsf{gcd}(a_1, a_2)$ एक 2 ) जी सी डी ( एक 1 , एक 2 ) ख एक्स 1 , x 2 ( x 1 , x 2$x_2 = tb/\mathsf{gcd}(a_1, a_2)$$\mathsf{gcd}(a_1, a_2)$$b$$x_1, x_2$इस तरह की दूरी और लाइन बीच की दूरी कम से कम है?$(x_1, x_2)$$a_1x_1 + a_2x_2 =b$

मेरे लिए समस्या कुछ हद तक निकटतम सदिश समस्या की तरह है, लेकिन मुझे स्पष्ट रूप से किसी भी समस्या से दूसरे में कमी नहीं दिखती है।

Comments

क्या गुड सिम्पलसेंट डायोफैंटाइन अप्रोचमेंशन लगभग NP-Hard , C Rössner और JP Seiffert है, MFCS 96 आपके प्रश्न का उत्तर देता है?

— काई

नहीं, यह नहीं है: डायोफैंटाइन सन्निकटन एक डायोफैंटीन समीकरण को हल करने से अलग समस्या है। एक diophantine सन्निकटन समस्या में आपको वास्तविक संख्याएँ दी गई हैं और आप उन सभी को एक पूर्णांक से गुणा करना चाहते हैं ताकि वे सभी कुछ पूर्णांक से भीतर हों । समस्या और के आकार के बीच इष्टतम व्यापार का पता लगा रही है । मैं अपनी समस्या और इस एक के बीच एक संबंध नहीं देखता हूं। n Q ϵ Q $n$$Q$$\epsilon$$Q$$\epsilon$

— साशो निकोलोव

आपका इनपुट प्रारूप क्या है? ऐसा लगता है जैसे कि अगर किसी भी का कोई समन्वित मान है, तो यह न्यूनतम है, तो प्रश्न में न्यूनतम शून्य है (उपयुक्त 2-आयामी विमान के साथ और incommensurate का समीकरण प्राप्त करने के लिए) , यानी अपरिमेय, और फिर मानक परिणाम का उपयोग करने के लिए यह दर्शाने के लिए कि लाइन मनमाने ढंग से पास के बिंदुओं के पास हैएक रों एक्स + टी y = डब्ल्यू एस टी अल्फा ≡ $\mathbf{a}$$sx+ty=w$$s$$t$t {nα$\alpha \equiv \frac{s}{t}$$\left\{n\alpha\right\}\pmod 1$

— स्टीवन स्टडनिक

विशेष रूप से, इसका मतलब यह है कि आपका 'मिनट' एक 'inf' होना चाहिए (साइन आप इसे असीम रूप से कई बिंदुओं पर ले जा रहे हैं), और इस बात की समस्या कि क्या इस सवाल से अलग है कि क्या साथ कुछ मौजूद है । इसका मतलब यह है कि समस्या के लिए nontrivial solution के लिए के गुणांकों के तर्कसंगत संख्याएँ होनी चाहिए, और फिर समस्या को एक बहुत ही यूक्लिडियन रूप में लिया जाना चाहिए, जो बहुआयामी ACD एल्गोरिदम को बारीकी से युग्मित करता है। क्या मैं कुछ भूल रहा हूँ? मैं एन एफ  d ( x , H ) = 0 x d ( x , H ) = 0 $\mathrm{inf}\ d(\mathbf{x},H)=0$$\mathbf{x}$$d(\mathbf{x},H)=0$$\mathbf{a}$

— स्टीवन स्टैडनिक

@StevenStadnicki सही है। आप और मान सकते हैं (मैं प्रश्न में जोड़ दूंगा, मुझे यह याद आ गया होगा)। इनपुट मानक बाइनरी प्रतिनिधित्व में दिया गया है। सवाल दिलचस्प है जब भी । तब यह साथ सभी संभावित समाधानों पर विचार करने के लिए पर्याप्त है , लेकिन खोज के बाइनरी प्रतिनिधित्व में । एक ∈ जेड एन ख ∈ जेड एन = 2 ( एक्स 1 , एक्स 2 ) x 1 ≤ | ए 1 | / छ ग घ ( एक 1 , एक 2 ) एक 1 , एक $\mathbf{a} \in \mathbb{Z}^n$$b \in \mathbb{Z}$$n = 2$$(x_1, x_2)$$x_1 \leq |a_1|/\mathsf{gcd}(a_1, a_2)$$a_1, a_2$

— साशो निकोलेव

Answer 1

सब ठीक है, इसके बारे में अधिक सोचने से मुझे विश्वास है कि इस समस्या से विस्तारित जीसीडी में मेरी स्पष्ट कमी है; मैं इसे n = 2 मामले में समझाता हूँ , लेकिन मेरा मानना ​​है कि यह मनमाना n तक फैला हुआ है । ध्यान दें कि यह एक ऐसा एक्स ढूंढता है जो हाइपरप्लेन की दूरी को कम करता है, लेकिन जरूरी नहीं कि सबसे छोटा एक्स (वास्तव में असीम रूप से कई मान हो जो समान न्यूनतम दूरी प्राप्त करते हैं) - मेरा मानना ​​है कि बाद की समस्या भी संभव है, लेकिन नहीं दी गई है यह अभी तक किसी भी वास्तविक विचार है। एल्गोरिथ्म कुछ सरल सिद्धांतों पर आधारित है:$n=2$$n$ $\mathbf{x}$$\mathbf{x}$

• यदि , तो मानों का समूह द्वारा है, ठीक है ; इसके अलावा, मानों और साथ को कुशलता से पाया जा सकता है (यह बिल्कुल विस्तारित यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म है)।जी = जी सी डी ( एक 1 , एक 2 ) एक ⋅ एक्स = एक 1 एक्स 1 + एक 2 एक्स 2 { 0 , ± जी , ± 2 जी , ± 3 जी , ... } x 1 x 2 एक 1 एक्स 1 + एक 2 x 2 = $g=\mathrm{GCD}(a_1, a_2)$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{x} = a_1 x_1 + a_2 x_2$$\left\{0, \pm g, \pm 2g, \pm 3g, \ldots\right\}$$x_1$$x_2$$a_1 x_1 + a_2 x_2 = g$
• जाली पर हाइपरप्लेन से एक बिंदु तक की न्यूनतम दूरी जाली से हाइपरप्लेन (स्पष्ट, लेकिन समस्या का एक उपयोगी उलटा) पर एक बिंदु से न्यूनतम दूरी है।
• एक भी बिंदु से दूरी hyperplane के लिए है आनुपातिक करने के लिए(विशेष रूप से, यह इस मूल्य का समय है - लेकिन चूंकि इस मान द्वारा सभी दूरी को गुणा करने से न्यूनतम के स्थान पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है, इसलिए हम सामान्यकरण कारक को अनदेखा कर सकते हैं)।x a ⋅ y = b | a ⋅ x - बी | 1 / | ए $\mathbf{x}$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{y} = b$$\left|\mathbf{a}\cdot\mathbf{x}-b\right|$$1/|\mathbf{a}|$

यह निम्नलिखित प्रक्रिया का सुझाव देता है:

• गणना करें , साथ में जैसे कि ।जी = जी सी डी ( एक 1 , एक 2 ) x 0 1 , x 0 2 एक 1 एक्स 0 1 + एक 2 x 0 2 = $g=\mathrm{GCD}(a_1,a_2)$$x^0_1, x^0_2$$a_1x^0_1+a_2x^0_2 = g$
• गणना और गणना ; जाली से हाइपरप्लेन से कम (स्केल्ड) दूरी है। चलो या तो या ( , जब तक कि का गुणज है जो एक पा लेता है कम से कम दूरी के आधार पर)।$r = \left\lfloor{b\over g}\right\rfloor$$d =\min(b-rg, (r+1)g-b)$$d$$s$$r$$r+1$$=\left\lceil{b\over g}\right\rceil$$b$$g$
• कंप्यूट और ; तब , से निकटतम का बहु गुणक है , और इस प्रकारसभी जाली बिंदुओं पर इस दूरी की न्यूनतम प्राप्त करता है।$x_1 = sx^0_1$$x_2 = s x^0_2$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{x} = sg$$g$$b$$\left|\mathbf{a}\cdot\mathbf{x}-b\right|$

जहां तक ​​मुझे पता है, ठीक उसी प्रक्रिया को मनमाने आयामों में सही ढंग से काम करना चाहिए; महत्वपूर्ण यह है कि है आयामी GCD अभी भी संतुष्ट Bézout की पहचान है, और इसलिए एक जाली बिंदु आप केवल के निकटतम गुणज खोजने के लिए न्यूनतम दूरी को खोजने के लिए के लिए ।$n$$g$$b$