क्रमपरिवर्तन खेल redux

Question

यह पहले वाले प्रश्न का विवरण है ।

दो खिलाड़ियों, ऐलिस और बॉब के बीच निम्नलिखित निष्पक्ष जानकारी गेम पर विचार करें । खिलाड़ियों को एन के माध्यम से पूर्णांक 1 का क्रमचय दिया जाता है। प्रत्येक मोड़ पर, यदि वर्तमान क्रमांकन बढ़ रहा है, तो वर्तमान खिलाड़ी हार जाता है और अन्य खिलाड़ी जीत जाता है; अन्यथा, मौजूदा खिलाड़ी संख्याओं में से एक को निकालता है, और दूसरे खिलाड़ी को पास देता है। ऐलिस पहले खेलता है। उदाहरण के लिए:

• (1,2,3,4) - बॉब परिभाषा के अनुसार तुरंत जीत जाता है।

• (४,३,२,१) - ऐलिस तीन मोड़ के बाद जीतता है, चाहे कोई भी खेलता हो।

• (2,4,1,3) - बॉब अपनी पहली पारी में जीत सकता है, चाहे वह एलिस कैसे भी खेले।

• (1,3,2,4) - 2 या 3 को हटाकर ऐलिस तुरंत जीत जाता है; अन्यथा, बॉब 2 या 3 को हटाकर अपनी पहली पारी में जीत सकता है।

• (1,4,3,2) - एलिस अंततः जीत जाती है यदि वह अपनी पहली पारी में 1 लेती है; अन्यथा, बॉब 1 नहीं हटाकर अपनी पहली पारी में जीत सकता है ।

क्या एक बहुपद-कालिक एल्गोरिथ्म यह निर्धारित करने के लिए है कि कौन सा खिलाड़ी सही खेल मानकर, एक दिए गए शुरुआती क्रमचय से यह खेल जीतता है ? अधिक आम तौर पर, क्योंकि यह एक मानक निष्पक्ष खेल है, प्रत्येक क्रमपरिवर्तन में एक Sprague-Grundy मान है ; उदाहरण के लिए, (1,2,4,3) का मूल्य * 1 है और (1,3,2) का मूल्य * 2 है। इस मूल्य की गणना करना कितना कठिन है?

स्पष्ट बैकट्रैकिंग एल्गोरिथ्म O (n!) समय में चलता है, हालांकि इसे डायनेमिक प्रोग्रामिंग के माध्यम से $O(2^n poly(n))$ समय तक घटाया जा सकता है ।

Comments

मुझे लगता है कि भोली एल्गोरिथ्म O (2 ^ nolypoly (n)) समय में चलता है।

— Tsuyoshi Ito

आपके उदाहरणों से, यह स्पष्ट है कि एलिस हमेशा जीतता है यदि अनुक्रम नीचे आता है और बॉब हमेशा जीतता है यदि अनुक्रम आरोही है। यह समस्या मुझे छांटने वाले एल्गोरिदम का विश्लेषण करने की याद दिलाती है, जिसका बड़े पैमाने पर अध्ययन किया गया है और आप एक विस्तृत शस्त्रागार का उपयोग करने की अनुमति देते हैं।

— चेज़िसॉप

@ अचज़िसोप: "एलिस हमेशा जीतता है यदि अनुक्रम नीचे उतर रहा है": यह मामला है अगर और केवल अगर एन भी है।

— त्सुयोशी इतो

@ J @ ɛ E 3 के मामले में, बॉब अपनी पहली पारी में कैसे जीता है?

— सुरेश वेंकट

@ सुरेश: (2,4,1,3) के मामले में, ग्राफ प्रतिनिधित्व 4 कोने (2-1-4-3) पर रेखीय ग्राफ है। यदि ऐलिस एक अंत नोड को हटाता है, तो यह 3 लंबों पर रैखिक ग्राफ छोड़ देता है; बॉब केंद्र के शीर्ष को हटाकर जीतता है (इसलिए 3 को 1 से उत्तर दिया जाता है, और 2 को 4 से उत्तर दिया जाता है)। यदि ऐलिस एक आंतरिक नोड को हटा देता है, तो यह दो जुड़े हुए कोने और एक अलग नोड छोड़ देता है; बॉब कनेक्ट किए गए दो में से किसी एक को हटाकर जीतता है (इसलिए 1 का उत्तर 3 या 4 से दिया जाता है, और 4 का उत्तर 1 या 2 से होता है)।

— mjqxxxx

Answer 1

निम्नलिखित खेल के लिए "क्रमपरिवर्तन खेल" isomorphic है:

डिस्कनेक्ट। खिलाड़ी वैकल्पिक रूप से एक ग्राफ से कोने हटाते हैं । वह खिलाड़ी जो पूरी तरह से डिस्कनेक्ट किया गया ग्राफ़ बनाता है (अर्थात, बिना किनारों वाला ग्राफ़) विजेता है।$G$

ग्राफ एक विशेष प्रारंभिक परिवर्तन करने के लिए इसी π ∈ एस एन शामिल सिर्फ उन किनारों ( मैं , जे ) जिसके लिए मैं - जे और π ( मैं ) - π ( जे ) विपरीत संकेत है। यही है, गलत में संख्याओं की प्रत्येक जोड़ी$G_{\pi}$$\pi\in S_n$$(i,j)$$i-j$$\pi(i)-\pi(j)$क्रमचय में क्रम एक किनारे से जुड़ा हुआ है। स्पष्ट रूप से अनुमत चालों को अनुमेय खेल में उन लोगों के लिए आइसोमोर्फिक है (एक संख्या को हटा दें = एक नोड को हटा दें), और जीतने की स्थिति में आइसोमोर्फिक हैं (अवरोही क्रम में कोई जोड़े = कोई किनारा शेष नहीं)।

एक पूरक दृश्य ग्राफ पूरक पर एक "दोहरी" खेल खेल पर विचार करके प्राप्त किया जाता है है, जो उन किनारों शामिल ( मैं , जे ) जिसके लिए मैं और जे में हैं सही क्रमचय में आदेश। डिस्कनेक्ट करने का दोहरा खेल है:$G^{c}_\pi = G_{R(\pi)}$$(i,j)$$i$$j$

रिकनेक्ट। खिलाड़ी वैकल्पिक रूप से एक ग्राफ से कोने हटाते हैं । पूर्ण ग्राफ़ बनाने वाला खिलाड़ी विजेता होता है।$G$

विशेष क्रमपरिवर्तन के आधार पर, इन खेलों में से एक विश्लेषण करने के लिए अन्य की तुलना में सरल लग सकता है। ग्राफ प्रतिनिधित्व का लाभ यह है कि यह स्पष्ट है कि ग्राफ़ के डिस्कनेक्ट किए गए घटक अलग-अलग गेम हैं, और इसलिए जटिलता में कुछ कमी की उम्मीद है। यह स्थिति की समरूपता को और अधिक स्पष्ट बनाता है। दुर्भाग्य से, जीतने की स्थिति गैर-मानक है ... क्रमबद्धता खेल हमेशा सभी चालों का उपयोग करने से पहले समाप्त हो जाएगा, यह एक गलत चरित्र के कुछ दे रहा है । विशेष रूप से, nim-value को डिस्कनेक्ट किए गए घटकों के nim-मानों के nim-sum (बाइनरी XOR) के रूप में गणना नहीं की जा सकती है।

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डिस्कनेक्ट के लिए, यह देखने के लिए कि किसी भी ग्राफ के लिए कठिन नहीं है और किसी भी भी n , खेल जी ∪ ˉ कश्मीर एन के बराबर है जी (जहां ˉ कश्मीर n पर भोथरा ग्राफ है n कोने)। यह साबित करने के लिए हमें पता चलता है कि वियोगी राशि की जरूरत है जी + जी ∪ ˉ कश्मीर n एक दूसरे खिलाड़ी जीत है। प्रमाण पर प्रेरण द्वारा है | जी | + एन । यदि $G$$n$$G \cup \bar{K}_n$$G$$\bar{K}_n$$n$$G + G\cup\bar{K}_n$$|G|+n$$G$एडगलेस है, तो पहले खिलाड़ी तुरंत हार जाता है (दोनों गेम खत्म हो जाते हैं)। अन्यथा, पहले खिलाड़ी या तो में स्थानांतरित कर सकते हैं , और दूसरे खिलाड़ी एक दूसरे में अपने कदम कॉपी कर सकते हैं (करने के लिए कम करने के जी ' + जी ' ∪ ¯ कश्मीर एन के साथ | जी ' | = | जी | - 1 ); या, यदि n ≥ 2 , पहले खिलाड़ी कट टुकड़े में स्थानांतरित कर सकते हैं, और दूसरे खिलाड़ी भी ऐसा ही कर सकते हैं (करने के लिए कम करने के जी + जी ∪ ˉ कश्मीर एन - 2 )।$G$$G' + G'\cup \bar{K_n}$$|G'|=|G|-1$$n\ge 2$$G + G\cup\bar{K}_{n-2}$

इससे पता चलता है कि किसी भी ग्राफ के बराबर है एच ∪ कश्मीर पी , जहां एच का हिस्सा है जी कोई कट कोने के साथ, और पी = 0 या 1 है समता में कट कोने की संख्या के जी । एक तुल्यता वर्ग में सभी खेल ही nim-मूल्य है, और इसके अलावा, तुल्यता संबंध मामलों संघ आपरेशन: यदि जी ~ एच ∪ कश्मीर पी और जी ' ~ एच ' ∪ कश्मीर पी ' तो $G$$H \cup K_p$$H$$G$$p=0$$1$$G$$G \sim H \cup K_p$$G' \sim H' \cup K_{p'}$ । इसके अलावा, एक देख सकते हैं कि में खेल [ एच ∪ कश्मीर 0 ] और [ एच ∪ कश्मीर 1 ] विभिन्न nim-मान हैं जब तक एच अशक्त ग्राफ है: जब खेल रहा एच + एच ∪ कश्मीर 1 , पहले खिलाड़ी अलग-थलग ले जा सकते हैं वर्टेक्स, H + H को छोड़कर, और उसके बाद दूसरे खिलाड़ी के मूव्स को कॉपी करें।$G \cup G' \sim (H \cup H')\cup K_{p\oplus p'}$$[H \cup K_0]$$[H \cup K_1]$$H$$H + H \cup K_1$$H+H$

मुझे रीकनेक्ट के लिए कोई संबंधित अपघटन परिणाम नहीं पता है।

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दो विशेष प्रकार के क्रमपरिवर्तन विशेष रूप से सरल ढेर खेलों के अनुरूप हैं।

1. पहला वंशजों का चढ़ा हुआ रन है , उदाहरण के लिए, । जब π इस रूप लेता है, ग्राफ जी π संबंध तोड़ना क्लिक्स का एक संघ है, और डिस्कनेक्ट का खेल ढेर पर एक खेल के लिए कम कर देता है: खिलाड़ियों बारी-बारी से एक ढेर से एक भी सेम को दूर जब तक सभी ढेर आकार 1 ।$32165487$$\pi$$G_{\pi}$$1$
2. दूसरा आरोही का रनिंग रन है , उदाहरण के लिए, । जब π इस फार्म, ग्राफ लेता है जी सी π संबंध तोड़ना क्लिक्स का एक संघ है, और पुन: कनेक्ट के खेल ढेर पर एक खेल के लिए कम कर देता है: खिलाड़ियों बारी-बारी से एक ढेर से एक भी सेम को दूर जब तक वहाँ केवल एक ढेर छोड़ दिया है ।$78456123$$\pi$$G^{c}_{\pi}$

थोड़ा विचार से पता चलता है कि ढेर पर ये दो अलग-अलग खेल (हम उन्हें 1-हीप्स और वन-हीप कह सकते हैं, भ्रम के कुछ जोखिम में), वास्तव में, स्वयं आइसोमॉर्फिक हैं। दोनों को यंग आरेख पर एक गेम द्वारा दर्शाया जा सकता है (जैसा कि शुरू में @domotorp द्वारा प्रस्तावित किया गया था) जिसमें खिलाड़ी केवल एक पंक्ति को छोड़ देने तक निचले-दाएं वर्ग को हटाते हैं। यह स्पष्ट रूप से 1-हीप्स के रूप में एक ही गेम है जब कॉलम ढेर के अनुरूप होते हैं, और एक ही गेम वन-हीप के रूप में जब पंक्तियाँ ढेर के अनुरूप होती हैं।

इस गेम का एक प्रमुख तत्व, जो डिस्कनेक्ट और रीकनेक्ट तक फैला हुआ है, वह यह है कि यह अवधि एक साधारण तरीके से अंतिम गेम स्थिति से संबंधित है। जब आपकी बारी होगी, तो आप जीतेंगे यदि गेम में विषम संख्या में चालें हैं, जिसमें आप बनाने वाले हैं। चूँकि प्रत्येक चाल को एक एकल वर्ग निकाल दिया जाता है, इसका मतलब है कि आप चाहते हैं कि खेल के अंत में शेष वर्गों की संख्या विपरीत समता के साथ हो जो अब है। इसके अलावा, वर्गों की संख्या में आपके सभी घुमावों पर समान समानता होगी; तो आप जानते हैं कि आप किस समानता से अंतिम गिनती चाहते हैं। हम दो खिलाड़ियों को ईव और ओटो कह सकते हैं, उनके अनुसार जीतने के लिए अंतिम गिनती भी होनी चाहिए या विषम। ईव हमेशा विषम समता वाले राज्यों में चलते हैं और समता वाले राज्यों का निर्माण करते हैं, और ओटो इसके विपरीत है।

अपने जवाब में, @PeterShor वन-हीप का संपूर्ण विश्लेषण देता है। सबूत को दोहराए बिना, अपशॉट निम्नलिखित है:

• $1$$2$$\le 2$$(1,n)$$(1,1,n>1)$$n$
• $1$$\ge 2$$1$$2$$1$

जैसा कि उल्लेख किया गया है, यह 1-हीप्स के लिए इष्टतम रणनीति भी देता है, हालांकि वे वाक्यांश के लिए कुछ और अधिक अजीब हैं (और मैं अच्छी तरह से प्राथमिक-टू-ड्यूल "अनुवाद" में त्रुटि कर सकता हूं)। 1-हीप्स के खेल में:

• $1$$1$$(1,1,\dots,1,2)$
• ईव सबसे बड़े और दूसरे-सबसे बड़े ढेर के बीच एक अंतर को नापसंद करता है। वह जीतती है अगर वह दो सबसे बड़े आकार को एक समान कर सकती है। ईव के लिए एक इष्टतम रणनीति हमेशा सबसे बड़े ढेर से लेना है, अगर यह अद्वितीय है, और कभी नहीं तो सबसे बड़े आकार के दो हैं।

@PeterShor नोटों के रूप में, यह स्पष्ट नहीं है कि कैसे (या यदि) इन विश्लेषणों को डिस्कनेक्ट और रीकनेक्ट के अधिक सामान्य गेम तक बढ़ाया जा सकता है।

Comments

मुझे लगता है कि इस तरह के खेलों को सामूहिक रूप से "शीर्ष विलोपन खेल" के रूप में जाना जाता है, लेकिन मैं आपसे सहमत हूं कि जीतने की स्थिति काफी गैर-मानक है जिसमें यह स्थानीय गुणों के बजाय ग्राफ की वैश्विक संपत्ति को संदर्भित करता है जैसे कि डिग्री एक शीर्ष।

— त्सुयोशी इतो

निर्मित ग्राफ को साहित्य में क्रमपरिवर्तन ग्राफ ( en.wikipedia.org/wiki/Permutation_graph ) कहा जाता है । कुछ संरचनात्मक गुण मदद कर सकते हैं।

— योशियो ओकामोटो

@ योशियो: यह एक अच्छी बात है। क्रमांकन खेल ग्राफ गेम के लिए आइसोमोर्फिक है, लेकिन शुरुआती ग्राफ़ मनमाने नहीं हैं। इसलिए, भले ही सामान्य ग्राफ़ गेम का विश्लेषण करना कठिन हो, यह संभव है कि जब ग्राफ़ के इस उपवर्ग को प्रतिबंधित किया जाए, तो यह सरल हो जाता है।

— mjqxxxx

दूसरी ओर, अधिक सामान्य सूत्रीकरण कठिन साबित होने में आसान हो सकता है। वर्टेक्स-डिलीशन गेम्स के वेरिएंट्स को PSPACE-

— जेफ

मैंने विशेष रूप से math.SE ( math.stackexchange.com/questions/95895/… ) पर इस तरह के खेल पर एक प्रश्न जोड़ा है । संयोग से, चूंकि क्रमचय रेखांकन सर्कल ग्राफ हैं, एक वैकल्पिक सूत्रीकरण निम्नलिखित है: खिलाड़ी प्रारंभिक सेट से कॉर्ड को हटाने की बारी करते हैं; खिलाड़ी जो जीवा के एक गैर-प्रतिच्छेदन सेट को छोड़ देता है, विजेता है।

— mjqxxxx

Answer 2

$i$$h_i$$h_i$$h_i$3,3,2,1 हैं। मैंने टिप्पणी करने के लिए इस गेम के विश्लेषण को डोमोटर के उत्तर में देने की कोशिश की, लेकिन (ए) मुझे यह गलत लगा और (बी) टिप्पणियों में एक वास्तविक प्रमाण देने के लिए पर्याप्त जगह नहीं है।

$s$$t=\sum_{i\geq 2, h_i>2\,} h_i -2$

1. $t \leq s-2$

2. $t \geq s$

$t - s$

यह दिखाने के लिए कि यह सही है, हमें यह दिखाने की आवश्यकता है कि किसी भी स्थिति से जो श्रेणी (1) या (2) में नहीं है, पहला खिलाड़ी एक चाल में या तो श्रेणी (1) या (2) में एक स्थान पर पहुँच सकता है। या सीधे जीत।

दो मामले हैं:

1. $t \geq s-1$$s>0$$t \geq s$$s = 0$$t \geq s$

2. $t \leq s-1$$t$$s$$t \leq s-2$

मैंने मूल गेम में इस रणनीति को सामान्य बनाने की कोशिश की है, और यह पता नहीं लगाया है कि यह कैसे करना है।

Comments

मेरे उत्तर में, मैंने नोट किया कि इस विशेष मामले का हल होने के साथ-साथ विशेष मामले को घटते रनों की बढ़ती श्रृंखला के साथ हल किया जाता है, जो युवा आरेख को ट्रांसप्लांट करके प्राप्त "दोहरी" स्थिति में खेलता है। विशेष रूप से, ईव की इष्टतम रणनीति "सबसे बड़े ढेर से ले जाती है, जब तक कि उस आकार के दो बिल्कुल नहीं होते हैं" और ओटो की इष्टतम रणनीति "सबसे छोटे ढेर से ले" बन जाती है।

— mjqxxxx

मुझे यकीन है कि इस दृष्टिकोण से एक सही समाधान निकलेगा, लेकिन इस समय अभी भी एक छोटी सी गलती है, उदाहरण के लिए (3,1) नहीं हार रही है और (3,1,1) है। समस्या यह है कि 2 की परिभाषा को इस मामले को छोड़ देना चाहिए, क्योंकि हम एक चरण में एक हीप स्थिति तक पहुंच सकते हैं। लेकिन मुझे लगता है कि यह 2 के साथ एकमात्र समस्या है। और उम्मीद है कि इसे ठीक करना मुश्किल नहीं है।

— डोमोटर

$\not\geq$ $\leq$ $-$

बेशक, मैं अंत में उस हिस्से को भूल गया ... फिर यह खेल हल हो गया है!

— डोमोटर

एक पूर्ण उत्तर नहीं, लेकिन फिर भी यह इनाम के लायक है।

— जेफ

Answer 3

मैंने त्वरित परिकल्पना जाँच के लिए समाधान लागू किया है । इसके साथ खेलने के लिए स्वतंत्र महसूस करें । यदि आपके पास स्थानीय रूप से C ++ कंपाइलर नहीं है, तो आप इसे "नए इनपुट के साथ अपलोड" लिंक का उपयोग करके अलग-अलग इनपुट पर चला सकते हैं।$O(2^n n)$

@ J @ ɛ E ऐसा हुआ कि (1,4,3,2) का मान * 1 है, * 2 नहीं जैसा कि आपने सुझाव दिया है।

Comments

उफ़, मेरी ग़लती। निश्चित प्रश्न: जी (1,3,2) = मेक्सिको {जी (1,3), जी (1,2), जी (3,2)} = मेक्सिको {0, 0, * 1} = * 2।

— जेफ

$n \le 10$$n$

@ बाल्डिनी: यह आशा करता है कि खेल में कुछ अच्छे गुण हैं, जो इसे ट्रैक्टेबल बना सकते हैं। मुझे आश्चर्य है कि ग्राफ़ के लिए सामान्यीकृत खेल के साथ क्या होता है, या गेम केवल सही ग्राफ़ के लिए सामान्यीकृत होता है।

— पीटर शोर

Answer 4

5 जनवरी को संपादित करें: वास्तव में नीचे वर्णित वन हीप गेम समस्या का एक विशेष मामला है, अर्थात जब संख्याएँ एक दूसरे का विशिष्ट तरीके से अनुसरण करती हैं जैसे कि पहला समूह दूसरे समूह से बड़ा होता है जो तीसरे से बड़ा होता है आदि। और प्रत्येक समूह में संख्या बढ़ रही है। जैसे, ९, ४, ५, ६, 4, २, ३, १ ऐसे क्रमपरिवर्तन है। इसलिए मैं पहले इस विशेष मामले को हल करने का प्रस्ताव करता हूं।

डिस्क्लेमर: मैं अब यह दावा नहीं करता कि नीचे का प्रमाण सही है, उदाहरण के लिए त्सुयोशी की टिप्पणी देखें जो दर्शाता है कि क्रमचय से एक संख्या को हटाने से एक आरेख प्राप्त होगा जो क्रमचय के आरेख से एक वर्ग को हटाने के द्वारा प्राप्त करने योग्य नहीं है। मैंने यह दिखाने के लिए उत्तर छोड़ दिया कि यह दृष्टिकोण काम नहीं करता है, साथ ही चूंकि इसमें एक और सरल गेम शामिल है।

खेल में यंग टैबलक्स के लिए एक बहुत ही सरल अन्य सूत्रीकरण है। मुझे यकीन है कि इसका अन्य खेलों की तरह वहां से विश्लेषण किया जा सकता है और यह एक रेखीय समय एल्गोरिथ्म का उत्पादन करेगा।

पहले युवा डायग्राम पर निम्नलिखित गेम को परिभाषित करें: प्रत्येक मोड़ पर, यदि वर्तमान आरेख क्षैतिज है (एक पंक्ति में सभी वर्ग), वर्तमान खिलाड़ी हार जाता है और दूसरा खिलाड़ी जीत जाता है; अन्यथा, मौजूदा खिलाड़ी नीचे-दाएं वर्गों में से एक को निकालता है, और दूसरे खिलाड़ी को पास देता है।

अब संख्याओं के क्रम को यंग टैबलक्स में क्रमबद्ध करें। मुख्य दावा यह है कि मूल खेल के विजेता विजेता के रूप में ही होते हैं क्योंकि आरेख खेल इस आकृति से शुरू होता है। यह देखने के लिए, ध्यान दें कि जब भी खिलाड़ी किसी संख्या को हटाते हैं, तो नए अनुक्रम के आरेख को आरेख के निचले-दाएँ वर्ग को हटाकर प्राप्त किया जा सकता है। इसके अलावा, किसी भी ऐसे आरेख को संबंधित निचले-दाएं वर्ग से संख्या हटाकर प्राप्त किया जा सकता है। ये कथन मानक यंग टैबलक्स सिद्धांत से अनुसरण करते हैं।

हालांकि यह आरेख खेल काफी सरल है, यह तुच्छ रूप से निम्नलिखित खेल के बराबर है, जो अधिक मानक लगता है:

वन हीप गेम: खिलाड़ियों को प्रत्येक में कुछ कंकड़ के साथ कुछ ढेर दिए जाते हैं। प्रत्येक मोड़ पर, यदि उनका केवल एक ही बचा है, तो वर्तमान खिलाड़ी हार जाता है और दूसरा खिलाड़ी जीत जाता है; अन्यथा, वर्तमान खिलाड़ी ढेर से एक कंकड़ निकालता है, और दूसरे खिलाड़ी को पास देता है।

यदि हीप गेम का एक सरल समाधान है (और मैं दृढ़ता से विश्वास करता हूं कि एक है) तो हमें मूल गेम का भी समाधान मिलेगा: बस एक युवा टैबलक्स में अनुक्रम डालें, और इसके आरेख को ढेर में बदल दें।

दुर्भाग्य से मैं यह नहीं देखता कि स्प्रिग-ग्रांडी मूल्यों को निर्धारित करने के लिए कौन से ढेर पद जीत रहे हैं / कैसे। मैंने हाथ से कुछ मामलों की जाँच की, और निम्नलिखित में सबसे अधिक 6 कंकड़ के साथ हारने की स्थिति है:

एक ढेर; (1,1,1); (2,2); (3,1,1); (2,1,1,1); (1,1,1,1,1); (4,2); (3,3); (2,2,2)।

कोई भी इस खेल को हल कर सकता है?

संपादित करें: पीटर शोर अपना जवाब देख सकते हैं!

Comments

क्या आप कम से कम एक उदाहरण दे सकते हैं कि कैसे एक विशेष क्रमपरिवर्तन को एक युवा झांकी में बदल दिया जाता है और कैसे एक ही खेल (संख्या को तब तक हटाया जाता है जब तक कि एक आरोही क्रम पूरा न हो जाए) तबले पर खेला जाता है? विशेष रूप से मुझे समझ में नहीं आता है कि "निचले-दाएं वर्गों में से एक" को हटाने का क्या मतलब है।

— mjqxxxx

यहां एक कमजोर दावे का प्रतिवाद है कि क्रमपरिवर्तन से एक संख्या को हटाने से संबंधित यंग आरेख (यंग झांकी के बजाय ) से नीचे-दाएं कोशिकाओं में से एक को हटाने से मेल खाती है । N = 5, और क्रमचय द्वारा निर्दिष्ट स्थिति पर विचार करें [4,1,3,5,2] (अर्थात, = (1) = 4, σ (2) = 1, और इसी तरह), और 3 निकालें इसमें से। चाल से पहले संबंधित यंग आरेख 5 = 3 + 1 + 1 है, लेकिन इस कदम के बाद संबंधित यंग आरेख 4 = 2 + 2 है, जो 3 + 1 + 1 से एक सेल को हटाने से प्राप्त नहीं होता है।

— त्सुयोशी इतो

और क्रमचय [५,४,१,२,३] में एक ही यंग चित्र है [४,१,३,५,२], लेकिन आप यंग चित्र ४ = २ + २ तक नहीं पहुँच सकते। तो खेल युवा झांकी के आकार से अधिक पर निर्भर करता है।

— पीटर शोर

रचनात्मक गलतफहमी के लिए हुर्रे!

— जेफ

@ J @ ɛ E: हाँ, यह गलतफहमी के मात्र अस्तित्व के प्रमाण से कहीं अधिक उपयोगी है।

— त्सुयोशी इतो