रैंडम क्यूब ग्राफ के आयाम

Question

एक जुड़ा पर विचार करें यादृच्छिक घन ग्राफ $G=(V,E)$ के $n =|V|$वर्टिकल, $G(n, 3$ -reg से तैयार किए गए $)$(जैसा कि यहाँ परिभाषित किया गया है , अर्थात $3n$ सम है और किसी भी दो ग्राफ़ में समान संभावना है)।

बेशक देखते हैं $n$ संभव चौड़ाई पहले खोज, प्रत्येक शुरू करने नोड के लिए एक $s \in V$ । एक चौड़ाई पहले खोज $B_G$ नोड पर शुरू $s \in V$ प्रदान करती है एक स्तर $d(s, v)$ प्रत्येक नोड के लिए $v \in V$ , जहां $d(s, v)$ के बीच की दूरी है $s$ और $v$ में $G$ ।

$B_G$ई = { यू , वी } ∈

$$L(s, \{u,v\}) = \max\{ d(s,u), d(s,v) \}$$ $e=\{u,v\} \in E$

एक विशिष्ट चौड़ाई को देखते हुए पहले खोजें $B_G$ , let $\alpha(B_G,i)$ उन किनारों की संख्या होगी जिन्हें मुझे स्तर दिया गया है $i$, और let $\alpha(B_G) = max_i\{\alpha(B_G,i)\}$ । दूसरे शब्दों में $\alpha(B_G)$ किसी भी अन्य स्तर की तुलना में अधिक किनारों वाले स्तर के किनारों की संख्या है। अंत में, चलो $\alpha(G)$ अधिकतम हो $\alpha(B_G)$ से किसी के लिए $n$ की चौड़ाई पहले खोज $G$ ।

हमें कहते हैं \ अल्फा (G) आयाम की जी ।$\alpha(G)$$G$

सवाल

एन के रूप में \ अल्फा (जी) का अनुमानित मूल्य कैसे बढ़ता है अनंत तक जाता है? याद है कि जी है यादृच्छिक घन । दरअसल, क्या मैं सच में जानना चाहते हैं कि क्या है उम्मीद की मूल्य \ अल्फा (G) के अंतर्गत आता है ओ (एन) ।$\alpha(G)$$n$$G$$\alpha(G)$$o(n)$

चूंकि $n$ सम है, इसलिए सीमा पर विचार किया जाता है ताकि मुझे विषम $n$ की परवाह न हो ।

Comments

(1) कृपया निर्दिष्ट करें कि आप किस संभावना वितरण से अपना घन ग्राफ बनाते हैं। (2) क्या आप , या कुछ और के कार्य के रूप में की उम्मीद में रुचि रखते हैं ? (3) मुझे लगता है सम है (अन्यथा एक घन ग्राफ मौजूद नहीं है)। इसलिए, मुझे लगता है कि सीमा को इसलिए माना जाता है ताकि आप विषम की परवाह न करें । n n $\alpha(G)$$n$$n$$n$

— योशियो ओकामोटो

@YoshioOkamoto: (1) से -reg के रूप में के रूप में परिभाषित stanford.edu/class/msande337/notes/... ( भी है और किसी भी दो रेखांकन एक ही संभावना है)। (२) मैंने इस बिंदु को स्पष्ट करने के लिए प्रश्न को समृद्ध किया है। (३) हां, सम है और सीमा को माना जाता है ताकि मुझे विषम की परवाह न हो । ) 3 एन एन $G(n, 3$$)$$3n$$n$$n$

— जियोर्जियो कैमरानी

@ सुरेश वेंकट: सवाल की पठनीयता में सुधार लाने के लिए धन्यवाद ;-)

— जियोर्जियो कैमरानी

मुझे कहना है कि यह काफी संभावना है कि यादृच्छिक क्यूब ग्राफ पर लिए एकाग्रता परिणाम हैं, जिसका अर्थ है कि अपेक्षित मूल्य, उच्च संभावना मूल्य, और इसी तरह, सभी समान हैं। जब तक ओपी स्पष्ट नहीं करता, मुझे लगता है कि इनमें से किसी भी प्रश्न का उत्तर इस प्रश्न का एक उचित उत्तर होगा। $\alpha(G)$

— पीटर शोर

@AlterBishop: मुझे एक और सवाल पूछना है। आप कैसे परिभाषित करते हैं यदि डिस्कनेक्ट हो गया है? $\alpha(G)$$G$

— योशियो ओकामोटो

Answer 1

विस्तारक रेखांकन के लिए आयाम । एक यादृच्छिक 3-नियमित ग्राफ लगभग निश्चित रूप से एक विस्तारक ग्राफ (विकिपीडिया देखें) है , इसलिए आयाम की उम्मीद , क्योंकि संभावना यह नहीं है कि विस्तारक ग्राफ जाता है क्योंकि जाता है। ।Θ ( n ) 0 एन $\alpha(n) = \Theta(n)$$\Theta(n)$$0$$n$$\infty$

पैरामीटर के साथ एक विस्तारक ग्राफ लिए , के किसी सेट के लिए कोने के साथ , देखते हैं सेट के पड़ोसियों। अब, स्तर पर कोने की संख्या जाने हो , साथ । हमारे पास विस्तार की संपत्ति है कि जब तक बहुत बड़ा नहीं है (यानी, हमने अभी तक आधा शामिल नहीं किया है) अब, स्तर को देखें जिसमें वर्टेक्स । अर्थात्, इसलिए औररों रों ≤ n / 2 बीटा रों जे ℓ जे ℓ 0 = 1 जे ℓ जे ≥ $\beta$$s$$s \leq n/2$$\beta s$$j$$\ell_j$$\ell_0=1$$j$ℓजे

$$\ell_j \geq \beta\, \sum_{i=0}^{j-1} \ell_{i}$$ $\ell_j$ Σ j - 1 मैं = 0 ℓमैं<n/3Σ जे मैं = 0 ℓमैं≥n/3ℓजे≥n/6ℓj+1≥$\frac{n}{3}$$\sum_{i=0}^{j-1} \ell_i < n/3$$\sum_{i=0}^{j} \ell_i \geq n/3$। यदि यह स्तर बड़ा है, अर्थात, , हम कर रहे हैं। अन्यथा, अगले स्तर का आकार और है। हमारा हो गया।$\ell_j \geq n/6$ $$\ell_{j+1} \geq \beta \, \sum_{i=0}^{j} \ell_{i} \geq \beta \frac{n}{3},$$

हालांकि यह प्रमाण किनारों की संख्या (जो कि ओपी के बारे में पूछा गया) के बजाय एक स्तर में स्थितियों की संख्या को देखता है, वहाँ हमेशा कम से कम कई किनारों को चरण में जोड़ा जाता है जैसा कि स्तर में करता , क्योंकि प्रत्येक शीर्ष पर पहुंचना आवश्यक है कुछ किनारे से।$i$$i$

Comments

आपके उत्तर के लिए धन्यवाद! यह बहुत ही आश्चर्यजनक है (कम से कम मेरे लिए): भले ही किनारों की कुल संख्या , और स्तरों की संख्या , सबसे भीड़ के स्तर में अभी भी किनारे हैं। इस प्रकार किनारों को समान रूप से स्तरों के बीच नहीं बिखेरा जाता है: मेरा (अनुभवजन्य, गलत) अंतर्ज्ञान यह था कि कुछ प्रारंभिक स्तरों और कुछ अंतिम स्तरों को छोड़कर, केंद्रीय स्तर होना चाहिए था जिसके बीच किनारों कुछ समान रूप से बिखरे हुए हैं। $m = 1.5 \cdot n \in \Theta(n)$$\Omega(log(n))$$\Theta(n)$$\Omega(log(n))$

— जियोर्जियो कैमरानी

"अनुभवजन्य" के साथ आपका मतलब है कि आपने वास्तव में परीक्षण किए हैं? के बारे में है घन यादृच्छिक रेखांकन के लिए, को देखने के ftp-sop.inria.fr/mascotte/personnel/Stephane.Perennes/Bol88.pdf$\beta$$0.1845$

— didest

हां, मैंने से तक परीक्षण चलाया और मात्रा मापा । यदि ने रूप में में वृद्धि की है, तो यह अनुभवजन्य साक्ष्य देता है कि । लगभग , लगभग था , जबकि आसपास , लगभग था (निश्चित रूप से मैंने कभी भी इन संख्याओं को अनुभवजन्य साक्ष्य के रूप में नहीं माना है, क्योंकि अभी भी एक स्पर्शोन्मुख का प्रतिनिधित्व करने के लिए बहुत छोटा है)। हालाँकि जब मैंने कहा कि "अनुभवजन्य अंतर्ज्ञान"$n = 100$$n = 150000$ कश्मीर0एनα(जी)∈ओ(n)n=100कश्मीर0.3n=150000कश्मीर0.26n=$k = \frac{\alpha(G)}{m}$$k$$0$$n$$\alpha(G) \in o(n)$$n=100$$k$$0.3$$n=150000$$k$$0.26$$n = 150000$

— जियोर्जियो कैमरानी

... मेरा मतलब था कि परीक्षणों के परिणाम के बजाय एक वास्तविक (गलत) भावना: मैंने कुछ हद तक महसूस किया कि उन बीएफएस में एक "सॉसेज" आकार होना चाहिए (यानी चरम पर छोटे, और बीच में निरंतर गुदगुदी)। "उन्हें वैसा ही बनना है", मैंने सोचा। उपरोक्त प्रमाण से पता चलता है कि मेरा अंतर्ज्ञान कितना स्पष्ट था। फिर भी, मैं अब भी हैरान कर रही है: किनारों, का स्तर है, लेकिन नहीं प्रत्येक स्तर पर किनारों। Ω ( एल ओ जी ( एन ) ) हे ( $\Theta(n)$$\Omega(log(n))$ $O(\frac{n}{log(n)})$

— जियोर्जियो कैमरानी 15

Answer 2

पीटर शोर का जवाब वास्तव में अच्छा है, लेकिन इसका जवाब देने का एक और तरीका है: यह साबित करना कि ट्रिव्यूथ ऊपरी दो बार आयाम (वर्टेक्स संस्करण) से घिरा हुआ है। चूँकि हम जानते हैं कि 3-नियमित विस्तारकों में रैखिक त्रिभुज होते हैं, इसलिए हमें किया जाता है।

एक बीएफएस पेड़ को दिए गए एक पेड़ के अपघटन के निर्माण को देखें, यह इस प्रस्तुति की 15 स्लाइड है: http://www.liafa.jussieu.fr/~pierref/ALADDIN/MEETING2/soto.pdf

यह देखना आसान है कि हर बैग का आकार ऊपरी स्तर से दो गुना अधिक है।

Comments

आपके उत्तर के लिए धन्यवाद, वह प्रस्तुति बहुत सहायक रही।

— जियोर्जियो कैमरानी